Rekenen en Redeneren met Oneindig Jeroen Spandaw NWD, 5 februari 2016.

Slides:



Advertisements
Verwante presentaties
Het Web als een graaf Mathematical Institute LAPP-Top C-I We kunnen het (Surface) Web zien als een gerichte graaf: •Iedere webpagina is een knoop… •Er.
Advertisements

PM zijn de Principia Mathematica. Deze vormen een formeel systeem voor de wiskunde. Ze zijn beschreven door A.N. Whitehead and B. Russell. Gödel bepaalt.
Uitwerking tentamen Functioneel Programmeren 29 januari 2009.
Hogere Wiskunde Complexe getallen college week 6
Fractalen zien en schilderen
donderdag 17 juli 2014 Thursday, 17 July 2014 Those who smoke, will die !!!! Those who don’t smoke……….. RIGHT !! Zij die roken, zullen sterven !!!! Zij.
Datastructuren Analyse van Algoritmen en O
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 9
Prijsuitreiking Wiskunde B-dag 2002
1 Datastructuren Sorteren: alleen of niet alleen vergelijkingen College 5.
Fibonacci & Friends Met dank aan Gerard Tel.
Algebra en tellen Subdomein B1: Rekenen en algebra
NP-volledigheid Algoritmiek © Hans Bodlaender, Oktober 2002.
1 Datastructuren Sorteren: alleen of niet alleen vergelijkingen (II) College 6.
Logisch redeneren in wiskunde C
Omtrekshoeken Stelling van de constante hoek:
Licht van de sterren Paul Groot Afdeling Sterrenkunde, IMAPP Radboud Universiteit Nijmegen
PARADOXEN EN ONBEWIJSBAARHEID
REKENEN, REDENEREN, COMPLEXITEIT
TU Delft Groep Parallelle en Gedistribueerde Systemen Voorbeeld uitwerking reductie bewijs in3120 Cees Witteveen.
Wetenschappelijke methode
Optellen en aftrekken tot 100 TE + E = TE mb
BEWIJSPATRONEN EN LOGICA
Door : Lucas Van Der Haven
From computer power and human reason. Joseph Weizenbaum.
Over grootheden, eenheden en apparatuur
T U Delft Parallel and Distributed Systems group PGS Fundamentele Informatica in345 Deel 2 College 3 Cees Witteveen.
‘Geef uw team vleugels’
H2 Lineaire Verbanden.
Bewerkingen met splitsbeentjes.
Hoofdstuk 4 Argumentatieleer
Tellen van Stemmen … FEB, Studiedag Leraren Wiskunde, 6 mei 2010 Luc Lauwers.
T U Delft Parallel and Distributed Systems group PGS Fundamentele Informatica in345 Deel 2 College 4 Cees Witteveen
Fascinerende priemgetallen
Deelbaarheid.
Game ON!. Wat gaan we doen: Introductie: wie ben ik? Inspiratiebronnen Game On! 2008.
Het schandaal van de Propositie logica
Hoofdstuk 3.
Spelen Instructions: 1) Verdeel klas in teams. 2) Stel een vraag aan een team. 3) Bij een goed antwoord mag er aan het rad gedraaid worden. 4) Typ het.
Standaardvormen Standaardnotatie Wetenschappelijke notatie
3 vwo 3 Draagkracht : tussen hoop en vrees § 1-5
Skin by Roald Dahl What do you think this text will be about?
Oneindig E. Vanlommel NWD 2016.
Professionele nieuwsgierigheid Coaching en gesprekstechnieken
Functioneel | Herstel Een visie vanuit de psychische gezondheidszorg Jaap van der Stel – Lector GGz – Hogeschool Leiden.
Expertiseteam Toetsenbank 1. Doel van vragen stellen 2. Welke soorten vragen zijn er 3. Veel voorkomende fouten 4. Zelf een vraag maken 5. Zelf een vraag.
Dyscalculie uit: en APS workshop dyscalculie.
Minimum Opspannende Bomen Algoritmiek. 2 Inhoud Het minimum opspannende bomen probleem Een principe om een minimum opspannende boom te laten groeien Twee.
STRATEGISCHE CONTENTMARKETING CONTENTMARKETING IS OUDE WIJN IN NIEUWE ZAKKEN Stelling CONTENTMARKETING IS OUDE WIJN IN NIEUWE ZAKKEN.
Wiskunde G3 Samenvatting H2: Parabolen
Vandaag les3 Vorige: inleiding – Big Bang Big bang Heelal als geheel
Minimum Opspannende Bomen
KRITISCH DENKEN 2 Groeperen © Kritisch Denken.
18 Evalueren van Beweringen en Redenen. Scenariotest
KRITISCH DENKEN 13 Deductieve redeneringen
KRITISCH DENKEN 11 Co-premissen II © Kritisch Denken.
Nauwkeurigheid bij Practica
Recursie in de wiskunde
Wat is het grootste getal
24 Deskundigen & deskundigheid
Modelleren en Programmeren voor KI Practicumopdracht 4: SAT Solver
Toegepast rekenen HEO Lijnen.
Significante cijfers © Johan Driesse © 2013 – Johan Driesse.
G4 2 Wetenschappelijke schrijfwijze van een getal M A R T X I
Minimodules voor de 3e klas
Praktijkgericht onderzoek
Assignment: calling for a meeting about internet use at work
Kettingbreuk = = = = = =[0;3;6;2]
Voorkennis Wiskunde Les 7 Hoofdstuk 2/3: §2.5, 3.1 en 3.2.
Transcript van de presentatie:

Rekenen en Redeneren met Oneindig Jeroen Spandaw NWD, 5 februari 2016

Hercules & de Hydra

De veelkoppige draak gemodelleerd als boom (bepaald type graaf) Bladeren van de boom = koppen van de hydra Regels die het aangroeien van nieuwe koppen van de hydra beschrijven wanneer Hercules er een afslaat (Kirby & Paris). Aantal koppen groeit i.h.a verschrikkelijk snel. Bestaat er een winnende strategie voor H?

De Koningin der Wetenschappen Wiskunde is heel precies. In wiskunde weet je exact waar het over gaat in tegenstelling tot vage  - en  -vakken. Een bewezen wiskundige bewering is waar.

Bertrand Russell (1872 – 1970) Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.

Voorbeeld: Lijnen bij Euclides & Hilbert Paar axioma’s over punten & lijnen, zoals: Door 2 verschillende punten gaat precies één lijn. Maar wat is een lijn? Formalisme van David Hilbert: Irrelevant: onze voorstelling van ‘lijnen’ Relevant: voldoen ‘lijnen’ aan de axioma’s? We weten niet waar wiskunde over gaat.

Waarheid en Wiskunde = 1 + (1 + 1)volgens de definitie van 2 = (1 + 1) + 1volgens rekenregel = 2 + 1volgens de definitie van 2 = 3volgens de definitie van 3 Moraal: We moeten starten met axioma’s. Axioma’s zijn simpele beweringen waarvan we de waarheid aannemen.

Axioma’s van Peano voor rekenkunde 0  N, dus 0 is een natuurlijk getal. n  N  n + 1  N. m + 1 = n + 1  m = n. n + 1  0. Inductieprincipe

Axioma’s van Peano (vervolg) a + 0 = a & a + (b + 1) = (a + b) + 1 a  0 = 0 & a  (b + 1) = a  b + a a 0 = 1 & a b + 1 = a b  a a  b  a + c  b + c & a  c  b  c

De 2 onvolledigheidsstellingen van Gödel (1931) 1)In de standaard-rekenkunde (Peano) bestaan onbeslisbare beweringen, d.w.z. noch bewijsbaar juist, noch bewijsbaar onjuist zijn. 2)De consistentie van de standaard-rekenkunde is niet bewijsbaar met de middelen van die rekenkunde.

Onvolledigheid Verzameling beweringenA: = 2 B:1 + 1 = 5 A’:  2 B’:  5 spiegelsymmetrie tussen waar/onwaar: P  niet-P = P’ = -P

Onvolledigheid

Gödel: In de gewone rekenkunde (Peano) bestaan ‘vraagtekens’, d.w.z. onbeslisbare beweringen: noch bewijsbaar juist, noch bewijsbaar onjuist

Onvolledigheid Voorbeeld van zo’n onbeslisbaar vraagteken: Stelling van Goodstein over Goodstein-rijtjes

Contrast: Propositielogica is WEL volledig Stelling. Iedere bewering uit propositielogica is beslisbaar, dus bewijsbaar juist of bewijsbaar onjuist. Propositielogica is daarom aantoonbaar consistent. Bewijsidee: Juistheid van bewering kan worden geverifieerd d.m.v. waarheidstabel. Voorbeelden: P  - P is waar, P  -P is onwaar,

Waarheidstabel voor P  -P

Waarheidstabel voor P  -P PP  -P

Waarheidstabel voor P  Q PQP  Q

(P  Q)  (Q  P) Maak Waarheidstabel voor (P  Q)  (Q  P) Is dit een tautologie?

(P  Q)  (Q  P) PQ(P  Q)  (Q  P)

(P  Q)  (Q  P) PQ(P  Q)  (Q  P)

Appendices Lengte Goodsteinrijtje bij startgetal g 2 = 3 en bij startgetal g 2 = 4. Nog een groot getal: grootste bekende priemgetal Drakendoden voor beginners

Goodstein bij startgetal g 2 = 3 g 2 = 3 = g 3 = – 1 = 3 g 4 = 4 – 1 = 3 g 5 = 3 – 1 = 2 g 6 = 2 – 1 = 1 g 7 = 1 – 1 = 0

Goodstein bij startgetal g 2 = 4 = 2 2 g 3 = 3 3 – 1 = 2   g 4 = 2   g 5 = 2   5 g 6 = 2   6 – 1 = 2  g 23 = 2  23 2 g 24 = 2  24 2 – 1 =  g n = 0 voor welke n? n = 3  – 2  7 

Hoe groot is 7  ? Stel je start met g 2 = 4. Je produceert 1 nieuwe g n per seconde. Hoeveel jaar ben je bezig? 1 jaar = 32 miljoen sec Voldoende tijd sinds Oerknal (14 miljard jaar)? Zo nee: Is 10 × Leeftijd Universum genoeg? Of 100 × LU? Of miljard LU?

Grootste bekende priemgetal p = – 1 Hoeveel cijfers heeft p? Ongeveer: / 3  25 miljoen Precies:  log (2) = ,48… Dus cijfers.

Hercules & de Hydra Kan Hercules winnen? Zo ja, strategie?

Hercules & de Hydra Hercules wint, ongeacht zijn strategie!

To infinity and beyond! 1, 2, 3, … ,  + 1,  + 2,  + 3, … 2 , 2  + 1, 2  + 2, 2  + 3, …  2,  2 + 1,  2 + 2,  2 + 3, … 2  2, …, 3  2, …,  3, …,  4, …,  5, …,  ,   + 1, …, 2  , …,   +1, …,  2 , …,  ^(  ^  ), …