Elektromagnetisme & Licht Doel: “Tour d`horizon” elektromagnetisme: Elektrische krachten, velden, (statisch) Magnetische krachten, velden, (statisch) Unificatie elektriciteit & magnetisme Maxwell vergelijkingen  Licht Vorm: Hoorcollege, demonstraties, werkcollege & prakticum Docenten: “Hoorcollege”: Frank Linde & Marcel Vreeswijk “Werkcollege”: Niels v. Eldik, Thijs Cornelissen en Jeroen Luigjes. Opgaves in “Question Mark”: Hans van Bemmel en Wolter Kaper Experimenten: Paul Vlaanderen Beoordeling: Prakticum (1 stp): 1 verslag (Millikan) en labjournaals Theorie (4 stp): Cijfer = 0.66 T+0.33 (Q + O) (mits (Q+O)>T) “Q”: Question Mark opgaves (wekelijks) “O”: Oefen-Tentamen opgave (3x) “T”: Tentamen – cijfer minstens 5

Elektromagnetisme  Licht Elektrostatica Magnetostatica Elektromagnetisme  Licht

College Web lokaties Studiemateriaal: Question Mark: BlackBoard: http://www.nikhef.nl/user/h73/kn1c.html hier vind je o.a. de Mathematica opgaves en/of animaties Question Mark: Voor de wekelijke opgaves (bonus-optelling voor cijfer) http://wiske.ic-icdlab.uva.nl/q/perception.dll Login: collegekaartnummer, Password: student BlackBoard: Voor medelingen en inleveren (mathematica) opgaves, verslagen, labjournaals e.d. (hier gebruik je je standaard UvA account) http://blackboard.ic.uva.nl/portal

Web lokaties Leuke animaties: Goede cursussen: http://www.colorado.edu/physics/2000/waves_particles/wavpart2.html Goede cursussen: http://academic.mu.edu/phys/matthysd/web004/lectures.htm http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/07elecst/ http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/08magnet/default.htm Hoe dingen werken (bliksem, microwave): http://www.howstuffworks.com

Het Boek: “Introduction to Electrodynamics” David J. Griffiths Te gebruiken bij (“good value for money!”): 1e jaars college “Klassieke Natuurkunde IC” (dit college) 3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 1” 3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 2” Hoofdstukken uit Griffith voor deze inleidende & oriënterende cursus: # 1 Vector Analysis: vektor, gradiënt, divergentie, rotatie & integralen # 2 Electrostatics: grotendeels # 4 Electric Fields in Matter: grotendeels # 5 Magnetostatics: grotendeels m.u.v. de vektor potentiaal # 6 Magnetic Fields in Matter: grotendeels # 7 Electrodynamics: grotendeels # 9 Electromagnetic Waves: alleen het bestaan van e.m. golven Uiteraard gaat Griffiths iets dieper in de materie dan wij van jullie verwachten in het eerste jaar. De moeilijkere voorbeelden en opgaven in Griffiths moet je gewoon overslaan. Als je de werkcollege opgaven beheerst dan zit je riant voor het tentamen.

Inhoud Elektrostatica Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Vektor: §1.1 m.u.v. §1.1.3 en §1.1.5 Wet van Coulomb: §2.1

De elektrische veldsterkte Wet van Coulomb De elektrische lading De elektrische kracht De elektrische veldsterkte Voorbeelden

DEMO: fenomeen elektriciteit

Elektrostatica: experiment +/- lading glas eboniet + - nieuwe kracht: Felektrisch >> Fgravitatie positief: + & negatief: - + + & - -: afstotend + - & - +: aantrekkend quantisatie: qelektron ladingsbehoud: S q = constant krachtwet 1777: C. de Coulomb q Q Fq superpositie Q1 Q3 Q2 Q4 Fq q r1

“Ontdekking” kosmische straling Voor liefhebbers! “Ontdekking” kosmische straling Een opgeladen elektroscoop ontlaadt spontaan op zeeniveau Theodor Wulf: 1909 (Nederlandse priester!)

“Ontdekking” kosmische straling Voor liefhebbers! “Ontdekking” kosmische straling Op het topje v/d Eiffel toren ontlaadt een elektroscoop zich ook; en nog sneller dan op zeeniveau! Victor Hess (1912) Onder luchtballon nog snellere ontlading!

Voor liefhebbers! Kosmische Straling 1909-heden

Wet van Coulomb  kracht & veld q Q r Eenheden: Lengte [l]: meter m Tijd [t]: seconde s Massa [m]: kilogram kg Lading [q]: Coulomb C Veld: Q Constanten: eenheidslading: permittiviteit:

DEMO: elektrische veldlijnen Puntlading

FElektrisch  FGravitatie 10-10 m elektron m=9.110-31 kg q=-1.610-19 C proton m=1.710-27 kg q=+1.610-19 C V.b. behoud van lading anti-proton (p-p) ontdekking (1955): p reaktie: wel: p+p+p+p+p+p- niet: p+p+p+p- p

Quantisatie elektrische lading http://www.bun.falkenberg.se/gymnasium/amnen/fysik/millikaneng.html Beweging oliedruppeltjes in: - constant elektrisch veld E: [E]=N/C (V/m; zie later) - constant gravitatie veld g10 m/s2: [g]=m/s2=N/kg Veronderstel voor ieder oliedruppeltje: Massa: 110-16 kg  Fg10-15 Newton Lading: NeN1.610-19 C  FEEN1.610-19 Newton Indien E=0: alle oliedruppeltjes vallen omlaag Indien E0: beweging oliedruppeltjes afhankelijk lading: Lading N  6250/E: beweegt omlaag Lading N  6250/E: staat stil Lading N  6250/E: beweegt omhoog

Quantisatie elektrische lading http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/07elecst/millikan/millikan.htm

PRAKTICUM: Millikan

Millikan Experiment Millikan oil-drop experiment, First direct and compelling measurement of the electric charge of a single electron. It was performed originally in 1909 by the American physicist Robert Millikan, who devised a straightforward method of measuring the minute electric charge that is present on many of the droplets in an oil mist. The force on any electric charge in an electric field is equal to the product of the charge and the electric field. Millikan was able to measure both the amount of electric force and magnitude of electric field on the tiny charge of an isolated oil droplet and from the data determine the magnitude of the charge itself. Millikan's original experiment or any modified version, such as the following, is called the oil-drop experiment. The apparatus associated with Millikan's oil-drop experiment is shown in the Figure. A closed chamber with transparent sides is fitted with two parallel metal plates, which acquire a positive or negative charge when an electric current is applied. At the start of the experiment, an atomizer sprays a fine mist of oil droplets into the upper portion of the chamber. Under the influence of gravity and air resistance, some of the oil droplets fall through a small hole cut in the top metal plate. When the space between the metal plates is ionized by radiation (e.g., X rays), electrons from the air attach themselves to the falling oil droplets, causing them to acquire a negative charge. A light source, set at right angles to a viewing microscope, illuminates the oil droplets and makes them appear as bright stars while they fall. The mass of a single charged droplet can be calculated by observing how fast it falls. By adjusting the potential difference, or voltage, between the metal plates, the speed of the droplet's motion can be increased or decreased; when the amount of upward electric force equals the known downward gravitational force, the charged droplet remains stationary. The amount of voltage needed to suspend a droplet is used along with its mass to determine the overall electric charge on the droplet. Through repeated application of this method, the values of the electric charge on individual oil drops are always whole-number multiples of a lowest value--that value being the elementary electric charge itself (about 1.602 x 10-19 coulomb). From the time of Millikan's original experiment, this method offered convincing proof that electric charge exists in basic natural units. All subsequent distinct methods of measuring the basic unit of electric charge point to its having the same fundamental value.

De elementaire deeltjes Voor liefhebbers! De elementaire deeltjes q -e I II III c s   t b   q -e u d e e Opmerking: ieder quark komt voor in drie “kleuren: rood geel blauw

Ladingsverdeling  E-veld qi ri [q]=C P Diskreet: Continu: P r l dl []=C/m r s do []=C/m2 P r r dv []=C/m3 P

Welk veldlijnenpatroon hoort bij twee gelijke positieve ladingen? Discussievraag 1 Welk veldlijnenpatroon hoort bij twee gelijke positieve ladingen? A B C

DEMO: elektrische veldlijnen Twee Puntladingen

V.b. E-veld puntladingen http://www.colorado.edu/physics/2000/waves_particles/wavpart2.html Q r q Lading Q in oorsprong Drie ladingen: Q1, Q2 en Q3 Q3 Q1 Q2 q r r1 r2 r3

V.b. E-veld dipool Ladingen +q en -q op afstand 2d:  P d Veld langs lijn o r>>d Taylor truc r>>d - + o 9o E Veld langs lijn o

Taylor expansie ƒ(x) x y= ƒ(x) dx dƒ a+ ƒ(a+) a ƒ(a)

Of via een trucje

DEMO: elektrische veldlijnen Dipool

Mathematische dipool

V.b. E-veld  lange draad Lijnlading: Berekening E-veld: homogeen geladen draad ladingsdichtheid dq=dz []=C/m Berekening E-veld: z r O y x P - nadenken: cilinder symmetrie: (rz) dE dEr  - rekenen: dq=dz

Getallen  vectoren Etotaal Etotaal P Let op: Integrant is een vector, d.w.z. Of: je berekent Ex, Ey en Ez   (werk: 3 integralen i.p.v. 1) Of: je beredeneert welke      component je nodig hebt en    vervolgens bereken je die! P Etotaal Etotaal Nooit: de r weglaten d.w.z.    i.p.v. r zelf |r|=1 lezen!

DEMO: elektrische veldlijnen Lijnlading

DEMO: Twee Lijnladingen

I: Wat heb ik geleerd? Lading + of - Kracht en E-Veld Veld uit (r) (Coulomb) Veld uit (r) Configuraties: puntladingen dipool lijnlading

DEMO: Verklaring correct?

Inhoud Elektrostatica Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Coordinaten: Cartesisch: die ken je hopelijk al! Bol: §1.4.1 (definitie en volume elementje) Cilinder: §1.4.2 (definitie en volume elementje) Integreren: §1.3.1 (inleiding) Wet van Gauss: §2.2 m.u.v. §2.2.2 (komt pas in college # 4)

Coördinaat systemen Cilinder coördinaten Bol coördinaten Volume integralen Coördinaat systemen Cilinder coördinaten Bol coördinaten

Coördinaat systemen Z e  z e ez ex ey er Y X (r,,z) (x,y,z)

Volume integraal: cilinder coördinaten Z dv=(dz) (rd) dr =r dzdrd  dz z dr r  d

Voorbeeld: cilinder inhoud y z x Om de cilinder inhoud te bepalen integreer je de functie “1” over het cilinder volume: Integratie domein: z: [h/2,+h/2] r: [0,R] : [0,2] z=+h/2 z=h/2 r=0 r=R z  r Integraal:

Volume integraal: bol coördinaten Z dv=(rd) (rsind) (dr) =r2sin  d d dr  dr r  rsin d

Voorbeeld: bol inhoud z y x   r=R Integratie domein: r: [0,R] Om de bol inhoud te bepalen integreer je de functie “1” over het bol volume: Integratie domein: r: [0,R] : [0,] : [0,2] r=R r=0   Integraal:

V.b.: hoeveel m3 H2O ongeveer op aarde? Straal aarde:  6.400106 m Gemiddelde H2O laag:  103 m  integratie domein: r: [Ri6.399106 m, Ro6.400106 m] : [0,] : [0,2] Natuurlijk zelfde als volume van een 103 m dikke bolschil bij r= 6.400106 m: H2O  4(6.400106)2 103  5.151017 m3

De elektrische flux De wet van Gauss Voorbeelden

Flux E E Waterkraan: O O E O Verband tussen:  E O open/dicht van de kraan “flux” door oppervlak O Waterkraan: O E O  E

Gevolg wet van Coulomb Lading Q in middelpunt bol do R Flux E door boloppervlak wordt: De essentie: - E  1/r2 - boloppervlak  r2 E =Q/0 geldt voor ieder omsluitend oppervlak; niet alleen voor bol met Q in middelpunt!

Wet van Gauss: Lading Q omsloten door een boloppervlak Q Lading Q omsloten door willekeurig oppervlak q Lading q buiten een willekeurig oppervlak

V.b. Gauss: dunne draad  E r r h Lijn Dunne  draad:  - symmetrie: E  draad, E(r) z Dunne  draad: ladingsverdeling: l C/m Lijn  “Gauss box”: cilindertje h r

 V.b. Gauss: vlakke plaat y E a Plaat Vlakke  plaat: z x y Vlakke  plaat: ladingsverdeling: s C/m2  Plaat y E symmetrie: E  vlak, E(y) “Gauss box”: kubusje a

Discussievraag 2 We beschouwen een massieve niet-geleidende bol met uniforme ladingsdichtheid. Welke grafiek geeft het elektrisch veld als functie van de afstand tot het middelpunt van de bol? R E r A B C D

Analyseer via “schetsje” E-veld voor: bol met straal R uniforme ladingsdichtheid E E E Dus: Indien r<R: E-veld groeit met afstand tot centrum Indien r>R: E-veld neemt af met afstand tot centrum

 V.b. Gauss: bolvolume E r R r Bol Bolvolume: ladingsverdeling: r C/m3 R r E R symmetrie: E  bol, E(r) “Gauss box”: bolletje r

Overzicht toepassingen wet van Gauss Symmetrie voor E-veld de essentie! Lijn  E  Plaat E  Bol E

II: Wat heb ik geleerd?    E E E Plaat Bol Lijn Veld uit (r) Volume integralen: • cartesische, cilinder & bol coördinaten Veld uit (r) Lijn  E  Plaat E  Bol E

Inhoud Elektrostatica Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Gradiënt: §1.3.2 en §1.3.3 Potentiaal V: §2.3 m.u.v. §2.3.3 Energie & Arbeid: §2.4 m.u.v. begrip divergentie

Gradiënt (wiskunde) De gradiënt Voorbeeld

Verandering in functie f(x): Gradiënt: f(x) x Verandering in functie f(x): - lokaal: df dx b a f(a) f(b) - globaal: Verandering in functie T(x,y,z): T(x,y,z) - lokaal: - globaal: TA TB A B

dT=Tdl maximaal indien V.b. gradiënt dT=Tdl maximaal indien (dus “gradiënt”) expliciet voorbeeld: redeneren: T in de radiële richting |T|=1 want dT=dr rekenen:

Grafisch

De potentiaal Voorbeelden

(Elektrische) Potentiële Energie Hoe bepaal je potentiële energie? Even terug naar Newton en de Zwaartekracht! Arbeid (Work): Hoeveel Arbeid nodig om massa m van hoogte h=0 op hoogte h=h te brengen? object massa m Toren hoogte h h=0 h=h Verschil in potentiële energie  Benodigde Arbeid (Let op: dit is de arbeid die ik moet verrichten!) Ik werk! Laten we dit principe nu eens toepassen om de elektrische potentiële energie te bestuderen!

Elektrische Potentiële Energie Aan ieder punt P kan je een getal VPUP/Q toekennen:  Kracht om een puntlading Q te bewegen in veld van de puntlading q: P q Omdat alleen radiële bijdrage Benodigde Arbeid voor Q van AB (verschil in potentiële energie) A B kring De electrische potentiaal V wordt dus bepaald door , (wanneer we het ‘ijkpunt’ van de potentiaal V slim kiezen)

Potentiaal V Dus Gradiënt van V, bepaalt Potentiaal verschil: Eindpunten A en B bepalen VAB beschouw X,Y,Z componenten: Differentieer VP(X,Y,Z): Controle: Dus Gradiënt van V, bepaalt

V.b. potentiaal dipool  P(r,) r Coördinaten voor punt P: (r,): dcos -q +q 2d p=2qd Bereken nu E via de potentiaal V:

Grafisch: elektrische veldlijnen equipotentiaalijnen Veldlijnen, equipotentiaal lijnen etc. Elektrische veldlijnen: Lijnenpatroon die richting en sterkte van het elektrisch veld weergeeft Equipotentiaallijnen: Kollectie van krommen waarbij langs iedere kromme de potentiaal een constante waarde heeft Omdat E-V en omdat V de richting aangeeft waarin V het sterkst verandert staat E  krommen met V=constant!

Discussievraag 3 Voor een puntlading geldt E~1/r2 en V~1/r Voor een lijnlading geldt E~1/r je verwacht voor V: A V = constante B V ~ ln r C V ~ 1/r D V ~ r

V.b. potentiaal  lange draad z rP p Bereken VP direct: dq=dz Wat mis? Uitdrukking V geldt indien V()=0! Hoe wel? Kies V=0 referentie punt anders: b.v. @ r=1 i.p.v. @ r= 

Energie Het verslepen van lading: arbeid De energie van een collectie puntladingen

Lading verslepen  arbeid Voor veld puntlading geldt: q Arbeid bij verplaatsing E-veld: F.Linde: Tenzij anders wordt vermeld: arbeid verricht door E-veld! F.Linde l Superpositie principe leert dat elk E-veld gelijk is vectorsom E-velden puntladingen! Voor de kracht F op lading q in veld E geldt: E F q

Energie van een ladingsverdeling Energie in ladingsconfiguratie? q1 q2 q4 q3 r24 Voor N ladingen q1, q2, ... Integreer kracht op q van    q Q P Voor energie U: (Uveld=-Wveld)

Energie ladingsverdeling III: Wat heb ik geleerd? Kracht, E-Veld en Potentiaal Gradiënt Energie ladingsverdeling

Inhoud Elektrostatica Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Divergentie: §1.2.4 Stelling van Gauss: §1.3.4 Energie & Arbeid: §2.4 inclusief begrip divergentie

Stelling van Gauss (wiskunde) De divergentie De stelling van Gauss Voorbeeld

Divergentie: dz dy dx Beschouw lokaal de uitdrukking (Gauss): Compactere notatie via “divergentie”: dx dy E(x+dx,y,z) dz E(x,y,z) Beschouw lokaal de uitdrukking (Gauss): Dus:

 R E Bol  de term divergentie! simpel bolvolume r Voor r>R vind je .E=0 (mogen jullie zelf verifiëren)

Stelling van Gauss (wiskunde) Er volgt meer! dx dy A(x+dx,y,z) dz A(x,y,z) Opmerking: consistentie keuze oriëntaties vereist! Willekeurig volume: volume i oppervlak

V.b. divergentie en Gauss x y z A(x,y,z) expliciet voorbeeld: rekenen: Gauss:

De link: wiskunde & natuurkunde M.b.v. Wet van Coulomb gevonden: Q M.b.v. Stelling van Gauss kan je “integrale” verband tussen E-veld en ladingsverdeling omzetten in “differentiaal verband: Wiskunde: Gauss Natuurkunde: Coulomb/Gauss Q

Discussievraag 4 Het veld rond lijnlading is hieronder geschetst. De gelijkheid •E = 0 geldt: Zij-aanzicht A overal B overal, behalve op de lijn C nergens, behalve op de lijn D nergens bovenaanzicht

De energie van een ladingsverdeling (r) Voorbeelden

Energie ladingsverdeling: Nogmaals de energie Energie ladingsverdeling: Energie in termen van E-veld? Gebruik: Afleiding voor liefhebbers!  0

Energie geladen boloppervlak straal R en lading Q (dus =Q/4R2) R  Energie geladen boloppervlak R r V-E 1e methode: via  en potentiaal 2emethode: via E-veld

Energie geladen bolvolume straal R en lading Q (dus =3Q/4R3)  R Energie geladen bolvolume r V-E R 1e methode: via het E-veld 2e methode: via  en de potentiaal V 3e methode: laagsgewijs: straal r “groeit” van r=0 naar r=R

Energie ladingsverdeling IV: Wat heb ik geleerd? Divergentie Verband E en  Wiskunde: Gauss Natuurkunde: Coulomb/Gauss Energie ladingsverdeling

Inhoud Elektrostatica Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Geleiders: §2.5 Beeldladingen: §3.2 m.u.v. §3.2.4 Condensator: §2.5.4

De beeldladings methode De symmetrie (Gauss) methode Geleider De karakteristieken De beeldladings methode De symmetrie (Gauss) methode De condensator Voorbeelden

Materie: de geleider  E Eextern Geleider: () veel vrije ladingsdragers! +Q Extern veld Eextern  lading op de rand E E  geleideroppervlak E=0 in geleider Vgeleider=constant V=constant Karakteristieken: =0 in geleider

DEMO: Ladingstransport

Geleider: Hoe pak je het aan? Bekend: E=0 in geleider E  geleideroppervlak potentiaal V (of lading Q) Onbekend: oppervlakteladingsverdeling  II. Simuleer invloed geleider door ladingen? “beeldladings methode” geeft E V=0 Q d I. symmetrie  richting van E? wet van Gauss geeft E Q E Q -Q

Beeldladingsmethode -Q Q E +d -d V=0 Q E d z y x

Discussievraag 5 In de onderstaande situatie met twee even grote maar tegengestelde ladingen geldt: A E=0 op het hele oppervlak oppervlak B De component van E loodrecht op het oppervlak is overal nul C A en B zijn beide onjuist

Puntlading met geleidende bolschil Symmetrie: E-veld radieel  wet van Gauss E r a b E-V b a Q

Condensator E -Q +Q C heet: “capaciteit” Eenheid: [C]=[Q]/[V]=Coulomb/VoltFarad Praktijk: F d.w.z. 10-6 F

V.b. plaatcondensator Plaatcondensator: lading Q separatie d E oppervlak A

DEMO: Plaatcondensator

V.b. Cilinder- en bolcondensator lengte L>>b stralen a en b lading Q a b +Q E Boloppervlakken stralen a en b lading Q a b +Q E

E via Gauss (symmetrie) V: Wat heb ik geleerd? Materialen: Geleider E via Gauss (symmetrie) Beeldladingsmethode V=constant  E Condensator E -Q +Q

Inhoud Elektrostatica Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Griffiths: Materie: §4 m.u.v. de moeilijke stukken!

Isolator (Dielektricum) De polarisatie microscopisch bekeken Polarisatie en “gebonden” lading De elektrische verschuiving D Lineaire isolatoren Voorbeelden: energie en kracht

Polarisatie neutraal atoom -Q d E +Q FE Fe bolsymmetrisch dipoolmoment R elektronenwolk uniforme bol (R) +Q -Q Element Z /0 ------------------------------- Helium 2 3x10-30 m3 Neon 10 5x10-30 m3 Argon 18 20x10-30 m3 Waterdamp 500x10-30 m3 Kern lading

Polarisatie polair molecuul H O Moleculen intrinsiek dipoolmoment p Voor E=0: oriëntatie p random O H E Voor E0: oriëntatie p // E +q -q E F-q F+q

Materie: de isolator (lastig!) Isolator: geen vrije ladingsdragers! Eextern Karakteristieken in E-veld: P - materie polariseert d.w.z. atomaire dipooltjes p - deze lading genereert E-veld: tegengesteld externe E-veld Epolarisatie E - polarisatie geeft ladingsscheiding + lading in richting p - lading tegengesteld p Tenslotte: originele E-veld verandert!

MicroscopischMacroscopisch dipoolmoment/volume  Polarisatie P P [P] = Coulomb/meter2 p [p] = Coulombmeter “Eenvoudige” lineaire relatie tussen: polarisatie P en resulterend veld E

Polarisatie P “gebonden” lading Onder aanname Van uniforme polarisatie Polarisatie P “gebonden” lading s P p P P P  Dus equivalentie: - uniform gepolariseerd volume - lading pol=Pcos op oppervlak

oppervlakte en volume lading (I) dz

oppervlakte en volume lading (II)

Polarisatie P(x,y,z) “gebonden” lading (III) Voor liefhebbers  Pz t.g.v. Pz O z x y dy dx dz (x,y+dy,z) (x,y,z+dz) (x,y,z) t.g.v. Py Py 

E veld van een gepolariseerd materiaal + Netto + - ALTIJD oplosbaar mbv superpositie-beginsel Non-uniforme polarisatie: later Van uniforme polarisatie Onder aanname + - =Pn Fysisch equivalent: 2 geladen platen Ofwel de Plaatcondensator! + - E

Polarisatie van een materiaal in E-veld Wij werken in dit college alleen met lineaire materialen! Eenvoudigste relatie E en P : + Netto P + - Onder aanname van lineair di-elektrikum Opgelegd veld: Eo

Lading op een gepolariseerde bolschil Een bolschil van een lineair di-electrikum wordt gepolariseerd d.m.v. een puntlading in de oorsprong en daarna ‘ingevroren’. Waar zit de gebonden lading? Wat is het resulterende E veld? P Nu we ladingen kennen, kunnen we E-veld overal berekenen. Dat zou ondertussen een eenvoudige bezigheid moeten zijn! Volgende stap: wat is Qpol ?

De elektrische verschuiving D E-veld wordt bepaald door totale ladingsverdeling. Daarom beschouwen het E-veld ten gevolge van vrije lading en gebonden (of polarisatie) lading. Voor E-veld (divergentie stelling): D is een ‘hulpveld’ om rekenen makkelijker te maken! Gevolg: het uiteindelijke E-veld ten gevolge van vrije ladingen en gepolariseerde (lineaire) materialen hangt alleen en slechts alleen af van de vrije ladingen! En de polarisatie P dus ook.

De elektrische verschuiving D E-veld wordt bepaald door totale ladingsverdeling. Gebruik daarom i.p.v. polarisatie equivalente oppervlakte spol en volume pol ladingsdichtheden!  0 Voor liefhebbers D=Q/4r2 Voor E-veld (divergentie stelling): Qvrij 0E=D E=? P E Voor D-veld: Epol

Vlakke isolator met di-electrikum Eenvoudigste relatie E en P: Nu volgt overal E uit D: d a + D E pol=Pn -0eEcond

DEMO: Plaatcondensator met dielektricum

Microscopisch  Macroscopisch -Q +Q Neutraal atoom Neutraal atoom: Lineaire isolator:  Isolator gas E P Van  naar e voor gas:  6x1023 [atomen/Mol] x 50 [Mol/m3]  3x1025 [atomen/m3] Element Z /0 e --------------------------------------- Helium 2 2.4x10-30 m3 0.00007 Neon 10 4.8x10-30 m3 0.00013 Argon 18 20.0x10-30 m3 0.00055

VI: Wat heb ik geleerd? Materialen: Isolator p D via Gauss (symmetrie) Integratie polarisatieveld

Discussievraag 6 Een diëlektrische plaat bevindt zich voor de helft in een geladen condensator. De condensator is geïsoleerd van de omgeving. Op de plaat werkt: A geen kracht +++++++++ B een kracht naar links C een kracht naar rechts - - - - - - - - -

Isolatoren: energie en kracht Vacuüm: Isolator: d a Gevraagd: - Kracht F op isolator Aanpak: 1. Via U(x)  F=-dU/dx Opties: A. Q constant B. V constant (lastig!) E -Q +Q Condensator V Batterij doet werk! Condensator e x F

Sectie voor liefhebbers! Inhoud Elektrostatica Sectie voor Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld Elektrische potentiaal Veldvergelijkingen nader bekeken: Elektrische velden in materie: Geleiders Elektrische velden in materie: Isolatoren Potentiaal vergelijkingen (geen college stof; niet behandeld) Griffiths: Poisson & Laplace: §3.1 Sectie voor liefhebbers! Sectie voor liefhebbers!

Potentiaal vergelijkingen Sectie voor liefhebbers! Potentiaal vergelijkingen De Poisson en Laplace vergelijkingen Karakteristieke eigenschappen Uniciteit van V en E Voorbeeld: beeldladings methode

Poisson en Laplace vergelijkingen Coulomb krachtwet levert: 1e integraal:  potentiaal V 2e integraal:  verband E en  Gevonden: 2e orde differentiaal (afgeleiden) vergelijking voor potentiaal V!

Laplace () in 1 dimensie 1 dimensie: V=V(x) en oplossing: x V V(x) Eigenschappen: Bewijs: Bewijs: extremum weg van rand in conflict met (1)

Laplace () in 3 dimensies 3 dimensies: V=V(x,y,z) en oplossingen: Bewijs (q buiten bol want  binnen bol): Voor liefhebbers! P q rP  R Eigenschappen:

Uniciteit van de potentiaal Vraag: - begin(rand)voorwaarden voor potentiaal probleem? - oplossing potentiaal probleem uniek? 1 dimensie: x V V(x) V(x) op de rand geeft unieke oplossing 3 dimensies: stel 2 verschillende oplossingen V1 en V2 V geen extrema binnen volume  overal V=0! Algemeen: Specificatie V(x,y,z) op alle randen  unieke oplossing Laplace (Poisson) vergelijking! wat is potentiaal hier? potentiaal gegeven op de rand V(x,y,z)

V.b. uniciteit: beeldladings methode Q d x y z Configuratie: lading Q op afstand d van  plaat plaat wordt op V=0 gehouden Vraag: hoe ziet veld eruit? Rekenen lukt niet! Denken wel: dipool! Q -Q 1. Voldoet aan randvoorwaarden 2. Uniciteit garandeert oplossing correct! (althans in het gebied z>0)