Algebra oefenen met inzicht Johan Deprez CNO, Wilrijk, 19/11/14 http://perswww.kuleuven.be/johan_deprez

Kennismaking

Wie zijn jullie? gra(a)d(en) waarin je lesgeeft? basisdiploma? (derde) // tweede // eerste basisdiploma? bachelor onderwijs: wiskunde // andere master/licentiaat: wiskunde // andere ervaring als wiskundeleraar? < 5 jaar //  5 jaar, < 10 jaar //  10 jaar

Wie ben ik? verantwoordelijke voor de Specifieke Lerarenopleiding wiskunde KU Leuven (en een verleden als docent wiskunde in het economisch onderwijs aan de hogeschool/universiteit verantwoordelijke voor de Specifieke Lerarenopleiding wiskunde aan de Universiteit Antwerpen)

gebaseerd op artikel in Uitwiskeling 29/1 (winter 2013) = syllabus mede-auteur: Regi Op de Beeck (lerares) + grondig besproken met de hele redactie van Uitwiskeling artikel schatplichtig aan vele bronnen, maar o.a. aan Paul Drijvers en Martin Kindt (medewerkers Freundenthal Instituut)

Werkmoment 1 Los werktekst 1 op

Aanleiding voor deze nascholing

Peiling wiskunde 2de graad aso (2011) resultaten voor algebra niet goed genoeg

Twee voorbeeldvragen

Peiling eerste graad A-stroom

Resultaten voor algebra niet goed genoeg enkele nuanceringen grote verschillen tussen studierichtingen op het einde van het vierde jaar zonder vooraf studeren oorzaken? te moeilijke vragen? eerder niet leraren vinden algebra niet belangrijk? leraren geven in de peiling aan dat ze algebra belangrijk vinden weinig lestijd besteed aan algebra? leraren besteden veel tijd aan algebra

Oplossingen? problemen zijn niet nieuw niet typisch voor Vlaanderen zoals oudere collega’s wel weten is ook gedocumenteerd in wetenschappelijk onderzoek niet typisch voor Vlaanderen in internationaal perspectief doen we het zelfs vrij goed geen wonderoplossingen bekend vandaag inzoomen op verdere verbetering didactiek (lang) niet enige element in de oplossing bv. grote problemen bij Humane Wetenschappen zijn niet zomaar op te lossen met betere didactiek betere oriëntering? eindtermen differentiëren …

Werkmoment 2

Zoek 𝑥 5 𝑥 2 −3𝑥=0 𝑥−2 𝑥−3 =5 2−𝑥 3𝑥+ 𝑎 =−2𝑥+1−3𝑎 12 2+ 24 8+ 28 2+ 9 𝑥 =3

5. Wat verkies je? Los op: 𝑥− 𝑥 ⋅ 𝑥 2 +𝑥 =0. OF Los op: 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑥 + 𝑥 2 −𝑥 𝑥 =0. Bereken: 𝑥− 𝑥 ⋅ 𝑥 2 +𝑥 d𝑥. Bereken: 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑥 + 𝑥 2 −𝑥 𝑥 d𝑥.

Wat werkt niet?

Wat werkt niet? [S]tudies over several decades ha[ve] shown that an exclusively skills-based approach to the teaching of algebra did not lead to skilled performance among algebra students […]. Nor, according to the ample number of studies of the late 1970s and 1980s, ha[ve] such approaches led to students’ being able to interpret adequately the various ways in which letters are used in algebra […], or the structural features of algebraic expressions […], or equivalence constraints on equations and equation solving […]. Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building meaning for symbols and their manipulation. In F. K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching

Vaardigheden + inzicht! basisvaardigheden alleen: werkt niet doel moet hoger liggen: basisvaardigheden + algebraïsch inzicht flexibel met verschillende methodes (WM2 oef. 1 en 2) inzicht in de structuur van een uitdrukking (WM2 oef. 4 en 5) deeluitdrukkingen als een geheel zien (WM2 oef. 3 en 4) welke vorm is best: product of som? (WM2 oef. 5) je niet laten verleiden door aandachtstrekkers (WM2 oef. 3) …

Vaardigheden + inzicht! techniek, begrip, … inzichtelijk aanbrengen gedurende een korte tijd directe oefeningen maken oefenen combineren met versterken van inzicht VANDAAG!

Wat kunnen we je bieden? een menu met veel kleine gerechtjes!

Wat we je al geboden hebben gevarieerd oefenen oef. 1 en 2: rechthoeksmodel voor vermenigvuldigen oef. 3: band tussen getallen en algebra oef. 4 en 5: inzicht in structuur van een uitdrukking oef. 5: omkeeroefeningen

Werkmoment 3 Verrassende resultaten Omkeervragen Slimme rijtjes

Formules, regels, …

Rekenregels die nuttig zijn Bij welke van de onderstaande berekeningen… … mag je de haakjes wegwerken? … vind je het nuttig om de haakjes weg te werken? −4 2𝑥+3𝑦 5−11 ⋅ 2 8⋅(55−49) 8⋅(90−1)

Rekenregels die nuttig zijn Haakjes wegwerken is soms nuttig, maar soms ook niet. moet een optie zijn mag geen automatisme worden breng dit aan met voorbeelden waaruit de nuttigheidswaarde blijkt oefen dit in in situaties waarin het nuttig is

Rekenregels die nuttig zijn Ken je andere voorbeelden van rekenregels die soms wel, soms niet nuttig zijn? Geldt ook voor: associatieve eigenschap 88+25=88+ 12+13 = 88+12 +13=… ontbinden in factoren …

Optellen van breuken? 3 4 + 5 6 =? Gebruikte je de formule 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑏𝑑 ? niet de formule maar een algoritme Is deze formule nuttig?

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules Ken je nog voorbeelden? nulpunt van 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑞 is – 𝑞 𝑚 𝑦-coö van de top van een parabool is ?? versus werkwijze: bereken 𝑥-coö en functiewaarde beter werkwijze aanleren i.p.v. formule, want werkwijze steunt louter op inzicht formule wordt na verloop van tijd vergeten formule voor 𝑥-coö van de top wel nuttig

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules Ken je nog voorbeelden? tabellen met tekenverloop van een algemene tweedegraadsfunctie laat leerlingen de 6 types grafieken onthouden… … en het tekenverloop (en nog veel meer) daaruit afleiden…

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules 𝑎+𝑏 4 =… in mijn vroegere job in het hoger onderwijs: veel studenten wisten dat ze een formule geleerd hadden voor 𝑎+𝑏 3 stelden vast dat ze ze vergeten waren en voelden zich machteloos… Wat is belangrijker? formule kennen voor 𝑎+𝑏 3 ? weten wat een 3-de macht is?

Van abstract terug kunnen gaan naar concreet inzichtelijk aanbrengen: van concreet naar abstract bij oefenen: verband abstract - concreet levendig houden (zie werktekst 1) bij twijfel: van abstract terug kunnen gaan naar concreet verschillende vormen zien sprekende voorbeelden narekenen …

Formules zien bij het aanbrengen bij het oefenen bij twijfel op een poster in de klas? op het formularium? 𝑎+𝑏+𝑐 2 =… 𝑎+𝑏 3 =…

Formules zien

Formules zien 1 3 + 1 2 1 5 ≠

Sprekende voorbeelden 𝑎 𝑚 𝑛 = ? een prototypisch voorbeeld 𝑎 3 2 = 𝑎 3 ∙ 𝑎 3 2 factoren = 𝑎∙𝑎∙𝑎 3 factoren ∙ 𝑎∙𝑎∙𝑎 3 factoren 2 factoren =… bij het aanbrengen ernaar teruggrijpen bij twijfel opnemen in formularium?

Formules narekenen steunen op de betekenis met leerlingen die formules vergeten zijn: 𝑎+𝑏 2 = 𝑎+𝑏 ⋅ 𝑎+𝑏 =… getallenvoorbeelden invullen 𝑎+𝑏 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 ? 3+4 2 ≠ 3 2 + 4 2 getallenvoorbeeld is vaak voldoende om de incorrectheid van een vermeende formule aan te tonen let op: getallenvoorbeeld is niet voldoende om de correctheid van een formule aan te tonen

Werkmoment 4 Oplossingen van een vergelijking zien Tweedegraadsvergelijkingen oplossen …

Vergelijkingen

Los komen van standaardoplossingen (plan B) Hoe los je de volgende eerstegraadsongelijkheden op? 3+𝑥>5−2𝑥 5−2𝑥<3+𝑥 ALTIJD termen met 𝑥 naar het linkerlid brengen en de constanten naar het rechterlid OF flexibel gebruik maken van verschillende methoden? vaste methode kan zekerheid bieden vaste methode kan inefficiënt zijn of leiden tot meer rekenfouten afweging maken! Hoe los je de volgende tweedegraadsvergelijkingen op? 𝑥−3 2𝑥−1 =0 7 𝑥 2 −5𝑥=0 7 𝑥 2 −5=0 4 𝑥−1 2 +11=9 7 (𝑥−1) 2 −5(𝑥−1)=0

Twee vraagstukjes 208 vertegenwoordigers van de verschillende Belgische gewesten waren aanwezig op een congres over euthanasie. Er waren 3 keer zoveel Vlamingen als Brusselaars, en 16 Walen minder dan Vlamingen. Hoeveel vertegenwoordigers had elk gewest op het congres? Een lagere school telt 345 leerlingen. Op de schoolsportdag konden ze kiezen tussen in-line skaten, zwemmen en een fietstocht. Er kozen twee keer zoveel leerlingen voor in-line skaten dan voor de fietstocht, en er kozen 30 leerlingen minder om te gaan zwemmen dan voor in-line skaten. Als je nu weet dat er 120 leerlingen gingen zwemmen, hoeveel gingen er dan mee in-line skaten, en hoeveel kozen voor de fietstocht?

Twee vraagstukjes … Een lagere school telt 345 leerlingen. Op de schoolsportdag konden ze kiezen tussen in-line skaten, zwemmen en een fietstocht. Er kozen twee keer zoveel leerlingen voor in-line skaten dan voor de fietstocht, en er kozen 30 leerlingen minder om te gaan zwemmen dan voor in-line skaten. Als je nu weet dat er 120 leerlingen gingen zwemmen, hoeveel gingen er dan mee in-line skaten, en hoeveel kozen voor de fietstocht?

Zijn variabelen en vergelijkingen nuttig? basisonderwijs: ‘rekenkundige oplossingsmethoden’, bv. terugrekenen secundair onderwijs: algebraïsche oplossingsmethoden overgang kan beter voor sommige vraagstukken zijn rekenkundige methoden prima voor andere vraagstukken is algebra beter (sneller, routine i.p.v. inventiviteit, …) wees flexibel waardeer rekenkundige methoden… … maar laat de voordelen van algebra zien: zoek problemen waar algebra echt nuttig is en laat leerlingen hierover nadenken, zie bv. werktekst in syllabus

Zijn variabelen en vergelijkingen nuttig? There is a stage in the curriculum when the introduction of algebra may make simple things hard, but not teaching algebra will soon render it impossible to make hard things simple. Tall, D., Thomas, M. (1991). Encouraging versatile thinking in algebra using the computer. Educational Studies in Mathematics 22, 125–147. simple things hard er is een serieuze drempel die overschreden moet worden hard things simple algebra maakt veel mogelijk voor wie het begrijpt

Globaal kijken naar uitdrukkingen

Voorbeeld 1 Bepaal het domein van 𝑓:𝑦= 2−𝑥 . Ken je courante fouten? inzicht nodig in de manier waarop deze uitdrukking opgebouwd is eerst 𝑥 aftrekken van 2 (dat geeft een tussenresultaat) daarna wortel trekken het tussenresultaat moet positief zijn (want daaruit moet je de wortel kunnen trekken) pijlenschema: 𝑥→𝑢=2−𝑥→𝑦= 𝑢 = 2−𝑥 zie applet Algebra pijlen op www.wisweb.nl (let op: je moet zelf opgaven maken)

Voorbeeld 2 Hoe ontstaat de grafiek van grafiek van 𝑔:𝑦=2 𝑥 3 −1 uit die van 𝑓:𝑦= 𝑥 3 ? Hoe ontstaat de grafiek van ℎ:𝑦=2 (𝑥 3 −1) uit die van 𝑓:𝑦= 𝑥 3 ? Ook hier helpt het inzicht dat je opbouwt met de applet Algebra pijlen!

Voorbeeld 3 Waarom is 𝑒 2⋅ ln 𝑥 ≠2𝑥 ? Maak een pijlenketting! 𝑥 ln ln 𝑥 ⋅2 2⋅ ln 𝑥 exp 𝑒 2⋅ ln 𝑥 Exponentiële en logaritmische functie worden niet onmiddellijk na elkaar toegepast.

Voorbeeld 4 Herschrijf ln(100∙ 1.05 𝑡 ) argument van de logaritme is een product onderdruk nog even de aandachtstrekker ‘macht’ gebruik kadertjes om deze ideeën te ondersteunen pas nadat je de regel voor de logaritme van een product toegepast hebt, wordt de macht in de tweede factor belangrijk Laat leerlingen uitdrukkingen benoemen 3𝑥+2 2 − 2𝑥−3 2 is een verschil ontbinden in factoren: een som omzetten in een product … zie applet Algebra expressies op www.wisweb.nl

Algebra expressies op www.wisweb.nl

Slot we kunnen niet alle problemen zelf oplossen, wel ons steentje bijdragen door in te zetten op het combineren van basisvaardigheden met het werken aan algebraïsch inzicht. Een menu met veel kleine gerechtjes Variatie in de vraagstelling, Omkeervragen, Slimme rijtjes, Kunnen weerstaan aan aandachtstrekkers, Uitdrukkingen als een object kunnen zien, Rekenregels moeten functioneel zijn, Spaarzaam zijn met formules, Van abstract terug naar concreet, Globaal kijken naar uitdrukkingen, Algebra inzetten om patronen te beschrijven, Vergelijkingen interpreteren met grafieken, Loskomen van standaard- oplossingsmethoden, Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig En ook nog: Niet te snel en niet teveel verkorten, Niet alleen successen maar ook mislukkingen, Geregeld oefenen, Ook bij andere onderwerpen algebra oefenen, …

Bedankt voor uw aandacht!