Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde Snaren Theorie Dr. Ronald Westra Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde

The Elegant Universe Inhoud De grens van onze kennis De ruimtetijd tegenover de kwantumpakketjes De kosmische symfonie Het weefsel van ruimtetijd en de snarentheorie Een Theorie voor Alles

LEZING 5: Een Theorie voor Alles Snarentheorie LEZING 5: Een Theorie voor Alles De tweede superstringrevolutie Duale partners Superzwaartekracht De M van M-theorie

0. Korte samenvatting DE ESSENTIE: maar ‘snaren’: Elementaire deeltjes zijn geen puntmassa’s maar ‘snaren’: ultra-kleine trillende draadjes

0. Korte samenvatting van voorgaande Wat zijn snaren? Snaren zijn erg klein: 1,6x10-35 m Melkweg: 1021 m Zichtbare heelal: 1027 m Virus: 6x10-8 m snaar: mens ≈ virus : zichtbare heelal

0. Korte samenvatting van voorgaande Met de aanname dat de kleinste deeltjes geen punten zijn maar snaren lossen we op: - het conflict tussen GRT en QM - een ‘geunificeerde theorie’: alle deeltjes en krachten zijn wezenlijk trillende snaren - leiden tot een nieuw begrip van ruimtetijd

Muzikale noten en de vioolsnaar 0. Korte samenvatting van voorgaande Muzikale noten en de vioolsnaar Massa’s en ladingen en de elementaire snaar

Zwaartekracht en QM met snaren 0. Korte samenvatting van voorgaande Zwaartekracht en QM met snaren Dat heeft een belangrijke consequentie: Als niets in de natuur op kleinere schaal dan h (= de Planck-constante) kan ‘aftasten’, dan hebben de catastrophale effecten op schalen kleiner dan h ook geen enkele invloed!!! Het gevolg is dat de oneindigheden in QM en SM nu geheel verdwijnen !!! Er is geen quantumschuim. Filosophisch: geen manier om kleiner dan h te kijken. (Dus bestaat het niet???)

0. Korte samenvatting van voorgaande

0. Korte samenvatting van voorgaande Interacties

Rondtollende spinoren 0. Korte samenvatting van voorgaande Rondtollende spinoren Een spin of een spinor is een rondtollende deeltje. Het heeft een draairichting en een grootte (draaisnelheid). Maar wat is de spin van een puntmassa? Dat is niet voor te stellen en heet daarom maar een intrinsieke grootheid.

Supersymmetrie en superpartners 0. Korte samenvatting van voorgaande Supersymmetrie en superpartners In 1971 begreep men dat rotaties, dus de spin, een wezenlijke extra symmetrie in de Natuurwetten konden opleveren. Deze mogelijk extra wiskundige symmetrie in de noemt men nu super-symmetrie, afkorting: SUSY.

Supersymmetrie vóór ST 0. Korte samenvatting van voorgaande Supersymmetrie vóór ST Supersymmetrie is tot nu toe nog nooit waargenomen! Het zou echter vreemd zijn als de Natuur een symmetrie zomaar laat liggen! Bovendien, zelfs in puntmassa-theorien als het SM blijken allerlei netelige kwesties elegant oplosbaar als we SUSY aannemen. Met name allerlei processen vergden zeer nauwe zetting van de SM-natuurconstanten, 1 op de 1015, maar met SUSY verdween dit.

0. Korte samenvatting van voorgaande Supersymmetrie in ST De oorspronkelijke snaartheorie (ST) (Veneziano en Susskind) ging over bosonen (=geheeltallige spins), later kwamen er ook STs voor fermionen (halftallige spins). Vanaf 1971 combineerde men die in één ST. Toen (1977) bleek – tot ieders verrassing – dat fermion- en boson-vibraties altijd samengingen: voor elke fermion moest een boson ontstaan en vv Maw: Deze ST was automatisch en gratis SUSY !!!

Het bedriegelijke van het bekende 0. Korte samenvatting van voorgaande Het bedriegelijke van het bekende Intuitie ‘leert’ ons dat de ruimte 3 dimensies heeft, en dat tijd 1 dimensionaal is. Einstein leerde ons met de ART dat zwaartekracht een ‘illusie’ is van een gekromde 4D-ruimtetijd. De truck is dus dat de zwaartekracht vervangen kan worden door kromming te introduceren in 4D ruimtetijd De extra dimensie is compect: opgerold, heel klein.

0. Korte samenvatting van voorgaande De compacte dimensie P 192

Meer-Dimensionale Modellen 0. Korte samenvatting van voorgaande Meer-Dimensionale Modellen Vanaf 1975 veel interesse in meer-dimensionale modellen, de zg Kaluza-Klein theorie. Met name de SUSY modellen en de zg Super-Gravity SUGR De hoger-dimensionale theorien gaven krachten die veel op EM, Zwak en Sterk leken, SUSY zorgde dat de divergenties mild bleven, maar andere zaken (chiraliteit: verschil links en rechts) kreeg men er niet in.

Meer dimensies en snarentheorie 0. Korte samenvatting van voorgaande Meer dimensies en snarentheorie In ST zijn deze extra dimensies ook noodzakelijk, want pas vanaf 10 ruimtelijke dimensies zijn er stabiele snaar-vibraties, in minder dimensies bestaan geen stabiele snaren! ST heeft dus echt minimaal 10 dimensies nodig: daarvan is 1 tijd en de rest ruimtelijke dimensie. Zonder die 10 dimensies is er geen zinvolle ST !!!

Hoe zien de opgerolde dimensies er uit? 0. Korte samenvatting van voorgaande Hoe zien de opgerolde dimensies er uit? De extra ruimtelijke dimensies kunnen niet zomaar lukraak opgerold worden. In 1984 vond men dat slechts een bepaalde meetkundige klasse van 6-D objecten aan alle noodzakelijke voorwaarden voldeed. Dit zijn de zg Calabi-Yau ruimten.

Hoe zien de opgerolde dimensies er uit? 0. Korte samenvatting van voorgaande Hoe zien de opgerolde dimensies er uit? Een 6D Calabi-Yau ruimte geprojecteerd op 3D ziet er zo uit:

0. Korte samenvatting van voorgaande Op elk punt van de ruimtetijd zit nu zo’n 6-dimensionale Calabi-Yau ruimte. Het is dus in deze totale 10-D ruimte dat de supersnaren moeten trillen!

0. Korte samenvatting van voorgaande Wat gebeurt er als we de ruimte laten krimpen of groeien? In de klassieke puntdeeltjes-natuurkunde is er geen beperking hoe klein het heelal kan worden. Verder laat de Riemann-meetkunde dus de AR theorie toe dat de ruimtetijd willekeurig klein kan worden gemaakt (of althans gedacht). Nieuw aan de snaartheorie is dat de snaren verhinderen dat de ruimte willekeurig klein worden. Zowel open, gesloten, als gewonden snaren.

0. Korte samenvatting van voorgaande Gesloten snaren kunnen om de gekromde dimensie zitten. Dat heeft grote gevolgen

0. Korte samenvatting van voorgaande Interacties

0. Korte samenvatting van voorgaande Interacties

0. Korte samenvatting van voorgaande Interacties

Het Spectrum van Snaar-states 0. Korte samenvatting van voorgaande Het Spectrum van Snaar-states Ordinare vibraties : gewone trillingen in de snaar : omgekeerd evenredig met straal R van opgerolde dimensie (dus 1/R) : recht evenredig met het trillingsgetal T Uniforme vibraties : bewegingen van de gehele snaar : recht evenredig met straal R van opgerolde dimensie (dus R) : recht evenreding met windingsgetal W p239

0. Korte samenvatting van voorgaande Snaar spectra windingsgetal trillingsgetal Totale Energie Straal R W T T/R + W*R

0. Korte samenvatting van voorgaande Snaar spectra windingsgetal trillingsgetal Totale Energie Straal 10 2 3 3/10 + 20 = 20.3 Straal 1/10 20 + 3/10 = 20.3 windingsgetal trillingsgetal Totale Energie Straal 10 5 4 4/10 + 50 = 50.4 Straal 1/10 50 + 4/10 = 50.4

Het Spectrum van Snaar-states 0. Korte samenvatting van voorgaande Het Spectrum van Snaar-states Hierdoor zijn straat R en straal 1/R on-onderscheidbaar geworden Het is onmogelijk on een fysisch experiment te bedenken waarmee je kunt testen of het heelal een straal R dan wel 1/R heeft (NB voor gemak h even op 1 gesteld)

0. Korte samenvatting van voorgaande De kleinste afstand Om te meten hebben we alleen het lichtste soort foton beschikbaar; dat is de ongewonden in een groot heelal (R groter dan h ), en de gewonden in een klein heelal (R kleiner dan h ). Beide methoden geven lengten voor de ruimtestraal groter dan h. Op deze manier blijven wederom lengten kleiner dan de Planck-schaal h onbereikbaar. Dit komt omdat het fysisch begrip ‘afstand’ subtiel is. Bij opgerolde dimensies kleiner dan h, past toch een heelal met kromtestraal groter dan h.

0. Korte samenvatting van voorgaande De Spiegelsymmetrie De ruimtetijd is de klankkast van de strings en bepaalt hoe we ze waarnemen: de natuurwetten. We zagen net dat gekromde ruimten met straal R en straal 1/R ononderscheidbaar zijn. We kunnen niet door een experiment beslissen in welke we zitten. Daardoor lijkt het alsof steeds in een groot heelal zitten. Zijn er meer klassen van ruimte die topologisch ‘anders’ zijn, maar die we niet kunnen onderscheiden?

0. Korte samenvatting van voorgaande Denk eraan, dit is een 3D-projectie van een 6D-plaatje! Het kan zijn dat dit gat in zijn definitie 5D nodig heeft En dit gat 4D En dit gat 2 D En dit gat 6D En dit 3D Totaal 5 gaten: 3 in even aantal, 2 in oneven aantal D

Orbifolding Calabi-Yau ruimten 0. Korte samenvatting van voorgaande Orbifolding Calabi-Yau ruimten CYR1 CYR2 Het aantal even-D gaten in CYR1 = het aantal oneven-D gaten in CYR2 Het aantal oneven-D gaten in CYR1 = het aantal even-D gaten in CYR2 Het totaal aantal gaten in CYR1 = Het totaal aantal gaten in CYR2

0. Korte samenvatting van voorgaande De Spiegelsymmetrie Spiegel-varieteit: (Greene, Plesser, Candelas, 1987) Spiegel-paren: Topologisch verschillende CYRn die natuurkundig equivalent zijn (dus dezelfde natuurwetten geven). p 255 Spiegel-paren

De Natuurkunde van Spiegelsymmetrie 0. Korte samenvatting van voorgaande De Natuurkunde van Spiegelsymmetrie Wiskundigen werkten al aan Calabi-Yau ruimten (CYRn) ver voor de snarentheorie in de z.g. Algebraische Geometrie. Sommige eigenschappen van CYRn waren echter veel te moeilijk om op te lossen. Maar dankzij spiegel-varieteiten uit snaartheorie is er een leuke oplossing. De spiegel-varieteit van een ‘moeilijke’ CYR blijkt een makkelijke CYR! p 259 Spiegel-paren makkelijk moeilijk

0. Korte samenvatting van voorgaande Kan ruimtetijd plaatselijk scheuren tgv grote krachten of drukken? ‘Scheuren’ is hier in de topologische betekenis van het woord. In de Algemene Relativiteits Theorie van Einstein kan de ruimte niet scheuren. Maar kan dit wel in snaartheorie? In ST blijkt de ruimte wel te kunnen scheuren!

Het Spiegel-perspectief 0. Korte samenvatting van voorgaande Het Spiegel-perspectief boven: ruimte-scheurende flop-overgang onder: vanuit het spiegelperspectief A A’ B B’ Bewijs dat als B het SP van A is dat A’ het SP van B’ is. En dat de fysica van A’ en B’ hetzelfde zijn. Dit blijkt precies waar te zijn! Dus kan de ruimte echt scheuren! Maar waarom merken we daar niets van???

De Verklaring volgens Witten 0. Korte samenvatting van voorgaande De Verklaring volgens Witten Waarom merken we niet dat de ruimte scheurt? Edward Witten liet zien dat als een snaar de scheur omcirkeld (iets wat een puntdeeltje niet kan doen) dat deze de catastrophale effecten van de scheur voor de rest van de kosmos afschermd.

De Verklaring volgens Witten 0. Korte samenvatting van voorgaande De Verklaring volgens Witten Maar wat als er geen snaar is die de scheur omcirkeld ? Denk aan het wezenlijke kenmerk van de Quantum Mechanica: alle mogelijke paden van begin tot eind worden feitelijk bewandeld!

Sommeren over alle mogelijke paden 0. Korte samenvatting van voorgaande Sommeren over alle mogelijke paden

De gevolgen van scheurende ruimten 0. Korte samenvatting van voorgaande De gevolgen van scheurende ruimten Er zijn geen drastische gevolgen van scheuren in de ruimte , wel varieren de massa’s van de deeltjes licht maar niet abrupt. Kunnen deze scheuren ook in de ‘echte’ grote dimensies gebeuren? Ja, wederom vanwege de dualiteit tussen groot en klein Kunnen deze scheuren ook vandaag of morgen gebeuren, of in het verleden? Ja, maar de massa’s van elementaire deeltjes blijkt heel erg stabiel te zijn. Misschien zitten we wel in zo’n breuk.

Scheuren en discontinuiteiten 0. Korte samenvatting van voorgaande Scheuren en discontinuiteiten

VERVOLG

Een Theorie voor Alles De tweede superstringrevolutie Duale partners Superzwaartekracht De ‘M’ van M-theorie

1. De tweede superstringrevolutie Het grote probleem in snaartheorie is dat er 5 totaal verschillende snaartheorieen (STs) zijn. Tot 1995 was er een sektarische strijd tussen de vijf STs en dacht men dat er een waar was en de anderen niet. In 1995 beschreef Edward Witten hoe die 5 STs samen met Superzwaartekracht SUGR samen één enkele theorie vormen: de zg M-theorie.

1. De tweede superstringrevolutie De Ultieme Theorie Is er misschien maar één enkele manier waarop de Natuurwetten logisch in elkaar kunnen zitten, zodanig dat zelfs God geen enkele vrijheid had om andere te maken dan deze? (Einstein, in zijn speurtocht naar de “Grand Unified Theory”) p 283

1. De tweede superstringrevolutie De Ultieme Theorie Zou het zo kunnen zijn dat er dus geen andere theorie mogelijk is dan de enige ultieme? Dat andere theorieen paradoxen of tegenspraken bevatten. (D it doet aan Descartes denken …) Maar waarom zijn er dan vijf verschillende van? p 283

1. De tweede superstringrevolutie 5 Snaartheorieën Het grote probleem in snaartheorie is dat er 5 totaal verschillende snaartheorieen (STs) zijn. Tot 1995 was er een sektarische strijd tussen de vijf STs en dacht men dat er een waar was en de anderen niet. In 1995 beschreef Edward Witten hoe die 5 STs samen met Superzwaartekracht SUGR samen één enkele theorie vormen: de zg M-theorie. p 283

Meerduidige Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Meerduidige Snaartheorieën Wat was de verwarring? Snaartheorien staan op twee verschillende manieren meerdere oplossingen toe. [1] Er zijn vijf verschillende snaartheorieen. Ze hebben veel overeenkomsten: de manier waarop ze vibreren, de massa’s en (hyper)ladingen, de struktuur van de ruimte die ze opleggen (Calabi-Yau), maar ook wezenlijke verschillen

1. De tweede superstringrevolutie

1. De tweede superstringrevolutie Vijf Snaartheorieën

Type II Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Type II Snaartheorieën Beide type II STs zijn supersymmetrisch. Echter, in type IIA zijn klokrichting en tegenklokrichting rotaties anders, terwijl deze in type IIB identiek zijn (verschillende fysische eigenschappen, bv vibratiepatronen).

Heterotische Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Heterotische Snaartheorieën Beide Heterotische STs zijn zeer verschillend maar ook SUSY. Voor kloksgewijze rotaties zijn de snaren identiek aan type II snaren. Maar voor tegen-kloksgewijze rotaties zijn ze gelijk aan de originele 26D Bosonische snaren (van Suskind uit 1969). Deze schijnbare tegenspraak (Grieks: heterosis) valt enigszins te begrijpen doordat de extra 16D zeer compact zijn opgerold. Er zijn twee manieren waarop die extra 16D opgevouwen kunnen zijn: (Heterotic SO(32): H-O en Heterotic E8xE8: H-E) – dit is de reden van hun verschillende naam. p XXX

1. De tweede superstringrevolutie Type I Snaartheorie Het type I ST lijkt veel op type IIB ST, maar hier zijn ook open snaren toegestaan, terwijl in type II alleen gesloten snaren zijn.

1. De tweede superstringrevolutie Meerduidigheid in STs Behalve dat er vijf verschillende STs zijn nog dit: [2] Elke snaartheorie lijkt meerdere oplossingen te hebben. Bijvoorbeeld de vergelijking: twee maal een bepaald getal is 10 (dat is: 2X = 10) heeft één oplosing: 5 (X = 5). Maar de vergelijking: nul maal een bepaald getal is 0 (dat is: 0X = 0) heeft oneindig veel oplossingen (want elk getal keer nul is nul). p 284

Meerduidige Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Meerduidige Snaartheorieën Ook deze meerduidigheid is van toepassing; de STs staan meerdere oplossingen toe, en welke daarvan beschrijven onze wereld? Nu is duidelijk dat dit veroorzaakt wordt omdat we alleen met benaderde vergelijkingen werken, domweg omdat we de echte vergelijking nog niet kennen. Ook is duidelijk dat de vijf verschuillende STs in een ‘betere’ opzet gewoon facetten van één enkele theorie (‘M’) zijn. p 285

1. De tweede superstringrevolutie Nieuw in de 2e SSRev Edward Witten heeft geschetst hoe de 5 STs samenhangen, namelijk door dualiteiten. Wezenlijk is het volgende: 1. Op deze manier zijn al deze 10D-theorieen onderdeel van één enkele 11D-theorie – de M-theorie. Net als bij ART en in Kaluza-theorie de ene extra D verschillende krachten verenigd, kan deze ene extra D de verschillende STs verenigen. Deze extra D is er echter niet kunstmatig bijgehaald maar eerder over het hoofd gezien. p 287

1. De tweede superstringrevolutie Nieuw in de 2e SSRev 2. De ‘ingredienten’ in M-theorie zijn niet alleen de 1D-strings, maar ook 2D-membranen (genaamd branen of 2-branen), 3D-bubbels (3-branen) en nog meer complexe en hoger-dimensionale ‘dingen’ (de zg p-branen). Op deze manier biedt M-theorie een prachtig overkoepelende theorie die alle vijf STs verenigd. Grootste probleem: M-theorie bestaat nog niet! We kennen alleen enkele groffe corrspondenties. p 288

De Vergelijkingen van de STs 1. De tweede superstringrevolutie De Vergelijkingen van de STs Elk van de STs zijn vanuit een fysisch redelijk standpunt geformuleerd. De verwachting was dat ze allen eigenlijk equivalent zouden moeten zijn. In de klassieke natuurkunde was dat al eerder gebeurd, zowel de (i) Newton-, (ii) Lagraniaan-, (iii) Hamiltoniaan-, (iv) ‘kleinste actie’-, en (v) ergoden- methode geven allemaal oplossingen die exact analoog zijn hoewel de wiskundige beschrijving geheel anders is. Het zijn als het ware andere invalshoeken. Bv: Newton geeft de geparameteriseerde baan terwijl de lagrangiaan de curve geeft. p 288

De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie De vergelijkingen van snaartheorie Bij elk van de STs zijn niet alleen de beschrijvingen anders, ook de oplossingen zijn totaal anders! Zijn dus echt verschillend! Dat gegeven werd (voor 1995) nooit goed begrepen en gold als een serieus tegenagument tegen ST in het geheel! p 295

De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie De vergelijkingen van snaartheorie Wat we zoeken is één vergelijking die de interactie tussen snaren beschrijft. Elk van de STs heeft zo’n impliciete vergelijking, en die bevat een vrije constante g die de sterkte van de koppeling tussen snaren beschrijft – de zg koppelingsconstante. p 295

1. De tweede superstringrevolutie Storingsrekening De vergelijkingen voor de STs zijn zo algemeen dat alleen met groffe benaderingen ruwweg iets benaderd kan worden. Onze kennis over de vijf STs is gebaseerd op zg perturbatie-methoden oftewel “storingsrekening”. Dit gaat vaak aan de hand van termen: * term 1 (lineair) is al heel dichtbij de ‘echte’ oplossing – zeg 95% correct * term 2 (kwadratisch) geeft een kleine correctie op term 1 – tot zeg 98% * term 3 (3e macht) geeft nog kleinere correctie – tot zeg 99,5% In principe zijn er oneindig veel termen, maar hun bijdrage wordt progressief kleiner. p 288

1. De tweede superstringrevolutie Storingsrekening De storingsrekening werkt dus in ontwikkeling van storingstermen. De bijdrage van elke term wordt bepaald door de zg koppelingsconstante g. In het algemeen ziet de schatting eruit als: schatting ≈ term0 + g.term1 + g2.term2 + g3.term3 + … p 288

1. De tweede superstringrevolutie Storingsrekening schatting ≈ term0 + g.term1 + g2.term2 + g3.term3 + … Als de koppelingsconstante g kleiner is dan 1 werkt dit prima, bv als alle termen 1 zijn en de g = 0.1: schatting ≈ 1 + 0.1.1 + 0.01.1 + 0.001.1 + … = 1.111111 Als de koppelingsconstante g echter groter is dan of gelijk 1 werkt dit totaal niet, bv als alle termen 1 zijn en de g = 10: schatting ≈ 1 + 10.1 + 100.1 + 1000.1 + … = 1111… = ∞ Voor storingsreeksen is de waarde de koppelingsconstante g dus van groot belang – ze moet kleiner dan 1 zijn!!! p 288

1. De tweede superstringrevolutie Storingsrekening Storingsrekening wordt al eeuwen met succes toegepast, bv bij het berekenen van kometenbanen: term0 = invloed van zon term1 = invloed van Jupiter etcetera … De koppelingsconstante g is hier: totale_massa_planeten/massa_zon p 288

1. De tweede superstringrevolutie Storingsrekening Als de koppelingsconstante g = totale_massa_planeten/massa_zon niet kleiner dan 1 is werk deze aanpak niet! Bv: het drielichamen-probleem p 288

1. De tweede superstringrevolutie Storingsrekening Ander probleem: met storingsreeksen kom je niet tot complex, niet-lineair gedrag. Voorbeeld: de niet-harmonische slinger De koppelingsconstante g is hier ≈ v2/g Voor kleine uitwijkingen (v2/g <<1) krijgen we de bekende slingerbeweging p 288

De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie De vergelijkingen van snaartheorie Als we dus storingsreeksen (perturbatietheorie) willen toepassen op ST moeten we weten hoe groot de koppelingsconstante g is. Als we echter proberen te berekenen hoe groot die g is krijgen we een vergelijking als: 0xg = 0 Dat betekent dat we de koppelingsconstante g niet op deze manier kunnen berekenen! En dus niet weten of storings-rekening mag worden toegepast! p 295

De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie De vergelijkingen van snaartheorie Wat betekent dit voor ST? 1. De vergelijkingen laten echt meerdere oplossingen toe 2. De koppelingsconstante g is gewoon niet kleiner dan 1 en dus mogen we geen storingsontwikkeling toepassen, en daarom verschillen de 5 STs. 3. De koppelingsconstante g is wel kleiner dan 1 maar de termen (term1, term2, ..) worden steeds groter zodanig dat het niet sommeert tot een eindig getal. p 296

De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie De vergelijkingen van snaartheorie Dit alles betekent dat we echt behoefte hebben aan een andere exacte aanpak voor ST die niet gebaseerd is op stroringsreeksen. p 297

2. Duale partners Wat nu zijn de relaties tussen de 5 verschillende STs? Hierbij blijkt het begrip dualiteit van groot belang te zijn. We zijn het begrip al twee keer tegen gekomen: de dualiteit klein-groot, en de spiegel-symmetrie. p 297

2. Duale partners Wat is dualiteit? Natuurkundige gebruiken het begrip dualiteit als (twee) verschillende modellen dezelfde natuurkundige werkelijkheid beschrijven. Voorbeeld 1: translatie van 1 m (of wat dan ook) maakt geen verschil voor de natuurwetten, ook niet voor een rotatie, of zelfs voor een eenparige beweging (Einstein’s inertiaal-stelsels). Voorbeeld 2: Een natuurkundige theorie in Chinees of Nederlands vertellen (nou ja ...) p 298

Wat is dualiteit? Deze voorbeelden heten triviale dualiteiten. 2. Duale partners Wat is dualiteit? Deze voorbeelden heten triviale dualiteiten. We hebben al eerder (vorige lezing) twee niet-triviale dualiteiten gezien: * groot-klein (R versus 1/R) (de zg T-dualiteit) * spiegel-symmetrie van Calabi-Yau ruimten in 6D. p 298

2. Duale partners Wat is dualiteit? Edward Witten heeft in 1995 laten zien dat er verscheidene dualiteiten bestaan tussen bepaalde STs, en dat ze dus eigenlijk één werkelijkheid weergeven. De reden waarom we 5 STs zien, is omdat ze allemaal verschillend zijn voor kleine waarden van hun koppelingsconstanten (gI, gIIA, gIIB, gHO, gHE) – typisch de waarden waarop we storingsrekening konden uitvoeren. Dat heet als een ST zg zwak-gekoppeld is – dat is g << 1. p 299

2. Duale partners Wat is dualiteit? Wat bleek nu (dankzij Witten 1995) tot ieders verbazing?: dat een bepaalde zwak-gekoppelde ST de duale beschrijving is van een andere sterk-gekoppelde theorie (dat is g >> 1). Vergelijk dit met drie mensen waarvan een alleen water, een andere alleen ijs, en een derde alleen stoom kent. Alle drie hebben een ander beeld van deze stof – tot ze er achter komen dat alle drie modellen één stof beschrijven: H2O. p 300

De kracht van symmetrie 2. Duale partners De kracht van symmetrie Symmetrie maakt dat we meer weten over de oplossing: Als je een deel van de oplossing kent kun je mbv symmetrie het geheel volledig reconstrueren. p 300

De kracht van symmetrie 2. Duale partners De kracht van symmetrie

De kracht van symmetrie 2. Duale partners De kracht van symmetrie Het is door gebruik te maken van zulke sterke symmetrieën dat Witten de dualiteiten tussen de STs kon ontdekken. Hij gebruikte nl de zg BPS-states, en die zijn gebaseerd op supersymmetrie SUSY. p 300

2. Duale partners BPS states BPS-toestanden: E. Bogolny, Prasad, en Sommerfield konden door gebruik te maken van SUSY (super-symmetrie) en van het gegeven van de minimale massa-per-lading uniek de identiteit van een deeltje (= snaar) bepalen – zonder storingsrekening! Dus om een deeltje in een doos met gegeven lading de kleinst-mogelijke massa geven. Zulke toestanden heten naar hen: BPS-states. Dit is natuurlijk een heel klein deel van M-theorie, maar dit kunnen we tenminste helemaal exact berekenen!!! p 303

De kracht van symmetrie 2. Duale partners De kracht van symmetrie BPS-toestanden: De Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfeld grens is een ongelijkheid voor de oplossingen voor een dynamisch systeem. Als we aanemen dat de toestand verzadigd is dan geldt het gelijk-teken ( = ) en kunnen we dus de ondergrens E exact berekenen. Deze verzadigde oplossingen heten BPS states en zijn dus zonder storingsreeksen te berekenen!!!

Van BPS naar dualiteit in ST 2. Duale partners Van BPS naar dualiteit in ST Laten we eens kijken naar bv een type I-snaar met zwakke koppeling (gI << 1). Laten we nu eens naar de BPS-states kijken van deze snaar – die kunnen we tenminste berekenen onafhankelijk van gI. Wat blijkt nu: de sterke koppelings eigenschappen van type I (gI >>1) zijn exact gelijk aan de zwakke koppelings-eigenschappen van de Heterotic-O snaar (gHO <<1)!!! Sterker nog blijkt dat: gHO* gI = 1 !!! HO en I zijn dus duale theorieen!!! p 304

Van BPS naar dualiteit in ST 2. Duale partners Van BPS naar dualiteit in ST De BPS-states bieden nu een anker (of hefkraan) om de STs te onderzoeken onafhankelijk van de waarden van de koppelingsconstanten. p 304

Dus wat is de dualiteit in STs? 2. Duale partners Dus wat is de dualiteit in STs? Sommige van de STs zijn op deze manier verbonden door dualiteiten (dit is de zg sterk-zwakke dualiteit of S-dualiteit): p 306

3. Superzwaartekracht Er is nog een andere verbinding: voor lage energieen (veel lager dan de Planck-schaal) lijken snaren gewoon puntdeeltjes. Dan is traditionele QFT van toepassing. Deze theorie is Super-symmetrische zwaartekrachts-theorie, ook bekend als de 11D supergravity (SUGR). p 307

3. Superzwaartekracht 11D SUGRA Superzwaartekracht (ENG: supergravity theory: SUGRA) is een kwantumveldentheorie die de principes van lokale SUSY (supersymmetrie) en ART (algemene relativiteitstheorie) combineert. p 307

3. Superzwaartekracht 11D SUGRA Werner Nahm toonde aan dat 11 dimensies het grootste aantal dimensies was dat consistent is met een enkelvoudige graviton, en dat een theorie met meer dimensies ook deeltjes zou hebben met spins groter dan 2. (of je moet multiple-tijden toelaten) → D ≤ 11 Iets later toonde Ed Witten aan dat 11 het kleinste aantal dimensies was dat groot genoeg was om de zg ijkgroepen van het Standaard Model te bevatten → D ≥ 11. Dus: D = 11 !!! p 307

Intermediaire koppelings-waarden 3. Superzwaartekracht Intermediaire koppelings-waarden In 1995 liet Witten zien dat voor bv type IIA snaar de koppelingsconstante laten toenemen tot waarden ver voorbij 1, dat de BPS-verzadigde states in lage-energie benadering gelijk is aan 11D-SUGRA!!! Met andere woorden: 11D-SUGRA is de benadering van de werkelijkheid als de energieën veel kleiner zijn dan de Planck-schaal – en de snaren dus puntmassa’s lijken. p 308-309

11D SUGRA Dit verklaart ook (achteraf) waarom er vier SUGRAs waren: 3. Superzwaartekracht 11D SUGRA Dit verklaart ook (achteraf) waarom er vier SUGRAs waren: SUGRA-1 : type IIA ST SUGRA-2 : type IIB ST SUGRA-3 : type Heterotic-E ST SUGRA-4 : type I + Heterotic-O STs In alle gevallen zijn de SUGRAs de lage-energie benaderingen van de STs. Overigens laat de laatste equivalentie (achteraf) al de dualiteit tussen type I + Heterotic-O STs zien. p 308

De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht De rol van de koppelingsconstanten Ed Witten liet zien dat de lage-energie benadering van 11D- SUGRA blijft behouden voor alle waarden van de koppelingsconstanten. (Hij deed dat door gebruik te maken van verzadigde BPS-states) Daarmee toonde hij aan dat de natuur van alle STs wezenlijk 11D is! Die 11e D was vanwege de storingsreeks nooit duidelijk geworden! p 308/309

De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht De rol van de koppelingsconstanten Maar er is iets geheels nieuws en onverwachts aan de hand: Als we een koppelings-constante laten toenemen, komt er opeens een nieuwe dimensie bij!!! Dit is een nieuwe – tiende – ruimtelijke dimensie, dus met tijd erbij totaal 11Ds. p 309

3. Superzwaartekracht

De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht De rol van de koppelingsconstanten Hieruit blijkt ook dat de HE-snaar eigenlijk een 2D lint is ipv een 1D elastiekje. De breedte van dit HE-membraan wordt bepaald door de koppelingsconstante gHE. Als gHE = 0 dan is het een pure snaar, anders een lint. Analoog bij type IIA, daar vervormt de snaar tot een torus met doorsnede gIIA. Een soort ‘interne’ dimensie. Verdere analyse liet zien dat de nieuwe extra dimensie speciaal was: ze is niet toegankelijk voor vibraties van de snaar! Daardoor blijven alle conclusies van de 10D-STs gewoon overeind. p 310

De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht De rol van de koppelingsconstanten Hieruit blijkt dat de nieuwe extra dimensie de snaar/membraan zeer zwaar maakt, ze zullen dus erg zeldzaam zijn. Des te meer reden waarom de 10D-STs van belang blijven!

De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht De rol van de koppelingsconstanten Wat nu is de 11D theorie? Voor lage energieën is het de 11D-SUGRA, maar wat voor hoge energieën? NIEMAND DIE HET WEET! Om die reden noemde Witten de theorie ‘M’-theorie met M van: Mysterious, mother, matrix, membrane, maar ook ‘murky’ en ‘missing’. p 311-312

4. De ‘M’ van M-theorie In 1995 beschreef Edward Witten hoe de vijf STs met 11D-SUGRA samen onderdeel zouden kunnen zijn van een enkele 11D theorie: de M-theorie. p 312

Een spinneweb van relaties 4. De ‘M’ van M-Theorie Een spinneweb van relaties We kunnen nu een web van relaties tussen de STs schetsen: T-dualiteit tussen type I en type HO, en tussen M-theorie en HE en type IIA. Verder is type IIB zelf-duaal: het is duaal aan zichzelf. S-dualiteit bestaat tussen HO en HE en type IIA en type IIB. Zo komen we tot het volgende web: p 313

De S en T dualiteiten tussen de STs en M-theorie. 4. De ‘M’van M-theorie Titel De S en T dualiteiten tussen de STs en M-theorie.

4. De ‘M’ van M-Theorie Het gehele plaatje We kunnen nu ook het gehele plaatje laten zien, de relatie tussen M-theorie en de vijf STs, en de relatie tot 11D-SUGRA. * De STs zijn benaderingen van M-theorie voor een lage waarde van hun koppelingsparameter: het zijn ieder voor zich de uithoeken van de M-ruimte. * 11D-SUGRA is de lage-energie-benadering van M-theorie, en relateert met de vier typen 10D SUGRA voor lage koppelingswaarden. p 314

M-theorie

Nog een verrassende eigenschap van M-theorie 4. De ‘M’ van M-Theorie Nog een verrassende eigenschap van M-theorie De hoger-dimensionale branes (p-branes) komen in alle STs voor. (wandel maar in gedachten door M-ruimte door de koppelingswaarden te variëren). Nu weten we (weer gebruik maken van BPS-states) dat er 1D-, 2D-, 3D-, …, 8D-, 9D-branes kunnen zijn! Maar 1D-branes (dus snaren) zijn speciaal; binnen alle 5 STs geldt voor alle p-branes met p>1 geldt dat hun massa omgekeerd evenredig is met de koppelingsconstante: m ≈ 1/g. Daarom zijn p-branes met p>1 enorm massief! p 316/317

Nog een verrassende eigenschap van M-theorie 4. De ‘M’ van M-Theorie Nog een verrassende eigenschap van M-theorie Als we echter buiten de uithoeken van de 5 STs wandelen naar het centrale gebied in de M-ruimte geldt deze beperking niet meer, en hier kunnen p-branes lichtere massa’s hebben. Dat centrale deel kan dus bevolkt met allerhande p-branes. p 317

4. De ‘M’ van M-Theorie p-branes

Nog een verrassende eigenschap van M-theorie 4. De ‘M’ van M-Theorie Nog een verrassende eigenschap van M-theorie Verder blijken er relaties te bestaan tussen p-branes en open snaren. Het blijkt dat open snaren (dus van type I) met een vrij uiteinde vast kunnen zitten in een hoger-dimensionale p-brane, een zg Dirichlet p-brane (Polchinski 1995).

Nog een verrassende eigenschap van M-theorie 4. De ‘M’ van M-Theorie Nog een verrassende eigenschap van M-theorie Bestaan er ook zulke beperkingen tussen p-branes en gesloten snaren?

Membraan Interacties 4. De ‘M’ van M-Theorie Een van de redenen dat M-theorie zo moeilijk formuleerbaar is is dat het aantal mogelijke membranen in verschillende dimensies exponentieel toeneemt. Bijvoorbeeld voor 3-dimensionale hypervlakken heb je te maken met vaste objecten met knoop-vormige gaten, en is de gehele knopen theorie nodig om deze te klassificeren. Omdat M-Theorie in 11D is gedefinieerd wordt dit probleem nog moeilijker! Echter, net als in ST moet M-theorie om causaal te zijn strikt lokaal zijn, dus topologie-veranderingen kunnen alleen per punt voorkomen. De elementaire orienteerbare 2-brane interacties kunnen we wel tonen. Orienteerbare 2-branes zijn veel-gatige torussen met meerdere gaten eruit gesneden.

Knopentheorie Knopentheorie is een deelgebied van de topologie. 4. De ‘M’ van M-Theorie Knopentheorie Knopentheorie is een deelgebied van de topologie. De topologie bestudeert eigenschappen van lichamen die niet veranderen bij continue vervorming. Knopentheorie onderzoekt welke knopen in elkaar kunnen worden vervormd. Daarbij is een knoop een wiskundige idealisering van een stuk touw waarvan de eindjes zijn samengebonden.

4. De ‘M’ van M-Theorie

Zijn hiermee alle vragen beantwoord? 4. De ‘M’ van M-Theorie Zijn hiermee alle vragen beantwoord? Ja en Nee. Ja: we hebben nu een vaag idee van een overkoepelende theorie. Nee: we hebben nog geen exacte vergelijkingen; alleen benaderende voor de 5 STs en voor lage energie in 11D-SUGRA. Nee: waarom zijn er precies 3-niet opgerolde ruimtelijke dimensies en 1-tijd, wat is die extra 11e-dimensie, waarom zien we geen monopolen, waarom geen SUSY, … ??? p 318

Sommigen voorspelden hierop het einde van de wetenschap. … 4. De ‘M’ van M-Theorie Sommigen voorspelden hierop het einde van de wetenschap. …

De uitdaging * Welk punt in de M-ruimte stelt onze wereld voor? 4. De ‘M’ van M-Theorie De uitdaging * Welk punt in de M-ruimte stelt onze wereld voor? * Waarom dat punt? * Daarvoor moeten we de volledige en exacte vergelijkingen van M-theorie eerst vinden – en oplossen. Dit is het programma voor Grand Unification in de 21e eeuw. p 319

Snaren Theorie EINDE LEZING 5