Exponentiële functies en logaritmische functies

Machten: voorbeeld 1000 euro staat uit op samengestelde intrest aan 3% per jaar Over hoeveel beschikken we over 1 jaar? 1000 + 0.031000 = 1000(1+0.03) = 10001.03 = 1030 Onthoud: “+ 3% =  1.03” Over 2 jaar? 10001.031.03 Over 10 jaar? 10001.031.03  … 1.03 = 10001.0310 1.0310: tiende macht van 1.03

Machten: uitbreiding Afspraak: 40 = 1 REKEN-MACHINE!

Machten: algemeen r a r-de MACHT van a a: GRONDTAL (strikt positief) r: EXPONENT (om het even welk reëel getal) Oefening 1

Rekenregels voor machten (1) a3  a4 kan eenvoudiger geschreven worden: Geldt voor alle soorten exponenten: Geldt voor alle soorten exponenten:

Rekenregels voor machten (2) Geldt voor alle soorten exponenten:

Rekenregels voor machten (3) Geldt voor alle soorten exponenten: Geldt voor alle soorten exponenten:

“Rekenregel”(!) voor machten DIE GEEN REKENREGEL IS Geldt voor alle soorten exponenten: Oefening 5 Oefening 6

Logaritmen: inleiding Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13. Zolang zijn nummer niet uitkomt verdubbelt hij zijn inzet. Op een bepaald ogenblik zien we hem 1024 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer al niet uitgekomen? 1 keer niet uitgekomen: inzet is 1  2 = 21 (euro) 2 keer niet uitgekomen: inzet is 21  2 = 22 (euro) … enz. x keer niet uitgekomen: inzet is 2x (euro) Bijgevolg: 2x = 1024 en dus … x = 10 want 210 = 1024 Nieuwe “wiskundige bewerking” nodig om x te vinden, EXPONENT “PLUKKEN” VAN 2 BIJ 1024: x = exppl2 1024 = 10 notatie: x = 2log 1024 = 10

Logaritmen: algemeen Voorbeeld van de inleiding: x = 2log 1024 is hetzelfde als x = exppl2 1024 en omdat 1024 = 210 is dus x = 10! Zo ook bijvoorbeeld: x = 5log 125 is hetzelfde als… x = exppl5 125 en omdat 125 = 53 is dus x = 3! Oefening 2 Algemeen: y = glog x betekent x = gy (g > 0, g  1 en x > 0)

Bijzondere grondtallen g = 10: decimale of Briggse logaritme: 10log = log voorbeeld: log 10 000 = 10log 10 000 = 10log 104 = 4 g = e = 2.71…: natuurlijke of Neperiaanse logaritme: elog = ln voorbeeld: ln (1/e3)= elog e 3 = 3 Beide staan op rekenmachine! Oefeningen 3 en 4

Rekenregels logaritmen (1) Voorbeeld: Algemeen: (g > 0, g  1 en x1, x2 > 0)

Rekenregels logaritmen (2) Voorbeeld: Algemeen: (g > 0, g  1 en x1, x2 > 0)

Rekenregels logaritmen (3) Voorbeeld: Algemeen: (g > 0, g  1 en x > 0, r willekeurig getal)

“Rekenregel” (!) logaritme DIE GEEN REKENREGEL IS Voorbeeld: Bijgevolg: Algemeen:

Exponentiële vergelijkingen (1) Een kapitaal van 10 000 euro staat uit op samengestelde intrest aan 10% per jaar. Hoelang duurt het vooraleer het verdubbeld is? na 1 jaar: 10 000  1.10, na 2 jaar: 10 000  1.10  1.10, … na t jaar: 10 000  1.10t (bij uitbreiding ook voor fracties!) Bijgevolg moet gelden: De onbekende t staat in een exponent: EXPONENTIËLE VERGELIJKING.

Exponentiële vergelijkingen (2) Oplossen van de vergelijking links en rechts delen door 10 000 links en rechts logaritme nemen rekenregel (3) links en rechts delen door log 1.1 Dus na ongeveer 7 jaar en 3 maanden verdubbeld.

Oefeningen Oefening 7 Oefening 8 Oefening 9 enz. WISKUNDE LEREN = ZELF VEEL OEFENINGEN MAKEN, FOUTEN BEGRIJPEN EN DE OEFENINGEN CORRECT OPNIEUW MAKEN