havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 1

Telproblemen overzichtelijk weergeven. Boomdiagram. Wegendiagram. Rooster maken. Alle mogelijkheden systematisch uit schrijven. Hoe maak je een boomdiagram ? Zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt. Zet de keuzemogelijkheden langs de takken. Zet de volgorde achter de laatste takken. 1.1

v.b. Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets. 1e set 2e set 3e set N-N N wint N wint N-G-N N wint G wint N-G-G N-G-G G wint geef aan hoe G in 3 sets wint N wint G-N-N N wint G wint G-N-G G-N-G G wint G wint G-G 1.1

∙ ∙ ∙ ∙ Wegendiagram kip soep ham ijs cocktail pizza meloen schnitzel 1.1

Rooster maken Je gooit met een rode en een blauwe dobbelsteen tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster. som 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 1.1

Systematisch de mogelijkheden noteren. Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien. 1112 1121 1211 2111 1.1

Je speelt niet tegen jezelf. Halve competitie Je speelt maar 1x tegen elkaar. vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden. Hele competitie Je speelt 2x tegen elkaar. vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 = 12 wedstrijden. Je speelt niet tegen jezelf. A B C D A B C D A X A-B A-C A-D A X A-B A-C A-D B X X B-C B-D B B-A X B-C B-D C X X X C-D C C-A C-B X C-D D X X X X D D-A D-B D-C X 6 wedstrijden 12 wedstrijden 1.1

∙ ∙ ∙ ∙ Wegendiagram kip soep ham ijs cocktail pizza meloen schnitzel 2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden vermenigvuldigingsregel 2 x 4 x 2 = 16 1.2

De vermenigvuldigingsregel Een gecombineerde handeling die bestaat uit : handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd kan op p x q x r manieren worden uitgevoerd. De vermenigvuldigingsregel of de somregel Kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren, dan kan : handeling I EN handeling II op p x q manieren. handeling I OF handeling II op p + q manieren. 1.2

Zonder herhaling aantal = 5 x 4 = 20 Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris het aantal manieren is aantal = 5 x 4 = 20 eerst de voorzitter : keuze uit 5 personen dan de secretaris : keuze uit 4 personen 1.2

Met herhaling aantal = 10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19.448.100 enz. In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters, hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan. Het aantal mogelijke nummerborden is aantal = 10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19.448.100 10 cijfers voor de eerste plaats 10 cijfers voor de tweede plaats 26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats 26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats enz. 1.2

Permutaties en faculteiten Een ander woord voor rangschikking is permutatie Het aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingen van drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 · 7 · 6 Het aantal permutaties van 4 uit 9 is 9 · 8 · 7 · 6 Het aantal permutaties van 9 uit 9 is 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 de notatie voor dit product is 9! (faculteit) Het aantal permutaties van 9 dingen is 9! Het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n! n ! = n · (n -1) · (n -2) · (n -3) · …… · 4 · 3 · 2 · 1 GR het aantal permutaties van 6 uit 10 is optie nPr 10 nPr 6 = 151 200 1.3

Rangschikking Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op : 8! manieren op een boekenplank rangschikken. 4! · 5! manieren rangschikken als de stripboeken naast elkaar moeten staan. 2 · 5! · 3! manieren rangschikken als de stripboeken en ook de romans naast elkaar moeten staan. Beschouw de stripboeken als één groep Je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1 groep stripboeken) die je op 4! manieren kunt rangschikken. Binnen de groep van de stripboeken zijn er telkens 5! rangschikkingen. In totaal heb je 4! · 5! rangschikkingen. 1.3

Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn Het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn (en de rest verschillend is) is Zo kun je de letters van het woord ADRIANA op manieren rangschikken. De letters van het woord ALESSANRA kun je op n! p! 7! 3! 9! 3! · 2! 1.3

Combinaties Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7. Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als spreek uit : ‘7 boven 4’ Het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten is Hetaantal combinaties van r uit n, ofwel het aantal manieren om r dingen te kiezen uit n dingen zonder op de volgorde te letten, 7 4 7 4 n r 1.4

Combinaties vermenigvuldigen en optellen Uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormd het aantal mogelijke comités met 3 jongens is x = 29 920 3 jongens EN 2 meisjes, dus VERMENIGVULDIGEN Minstens 4 jongens is x + x = 9207 4 jongens OF 5 jongens, dus OPTELLEN 3 van de 12 jongens 2 van de 17 meisjes 12 3 17 2 15 jaar 16 jaar jongen 8 4 12 meisje 10 7 17 18 11 29 4 jongens + 1 meisje 5 jongens + 0 meisjes 12 4 17 1 12 5 17 0 1.4

Schema 1.4

Rijtjes bestaande uit A’s en B’s Het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt : B A 114 117 Dus er zijn = = 165 manieren Er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoort. Totaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren Het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is en ook Het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211 114 117 1.5

Routes in een rooster ∙ ∙ ∙ Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B ? Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande uit 1 N en 2 O’s dat zijn = 3 mogelijkheden Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s dat zijn = 5 mogelijkheden Het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus x = 3 x 5 = 15 C ∙  Noord ∙ 3 1 B ∙ A  Oost 5 2 Van A naar B EN van B naar C dus vermenigvuldigen. 3 1 5 2 1.5

De driehoek van Pascal In de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan. Elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen. In de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen De som van de getallen in de vierde rij is 24 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 , , , en rij 0 1 1 = 20 rij 1 1 1 2 = 21 rij 2 1 2 1 4 = 22 rij 3 1 3 3 1 8 = 23 rij 4 1 4 6 4 1 16 = 24 1.5

1.5

Het binomium van Newton 1.5