Module ribBMC Beginnen met construeren Week 06 Studiejaar 2007 - 2008 Studiepunten 3 ECTS Bouwkunde / Civiele techniek

Week 06 Theorie: Spanningsleer Onderwerp: Relatie buiging en moment Opdracht: Bereken weerstandsmomenten en de max. optredende buigspanning Boek: F.Vink, hst. 14 en 15 + opgaven

Toets Gevraagd: D – en M-lijn 10 kN 20 kN q = 10 kN/m 50 kN q = 5kN/m B A 3 4 3 2 3 2

Oplossing reactiekrachten 10 kN 20 kN q = 10 kN/m 50 kN q = 5kN/m B A 80.54 kN 54.46 kN ΣM t.o.v. A = 0 30 * 1 ½ - 50 * 4 – 25 * 9 ½ -10 * 9 – 20 * 14 + 14Fb = 0 Fb = 54.46 kN ΣFv = 0 30 – Fa + 50 + 25 + 10 + 20 – 54,46 = 0 Fa = 80.54 kN

Oplossing D-lijn 10 kN 20 kN q = 10 kN/m 50 kN q = 5kN/m B A 80.54 kN 3 4 3 2 3 2 54.46 kN 50.54 0.54 -9.46 -19.46 30 -34.46 V0 = -10 * 3 = 30 kN V1 = -30 + 80.54 = 50.54 kN V2 = 50.54 – 50 = 0.54 kN V3 = 0.54 – (5 * 2) = -9.46 V4 = -19.46 – 10 = -19.46 V5 = -19.46 – (5 * 3) = - 34.46 V6 = -34.46 + 54.46 – 20 = 0

Oplossing M-lijn 3 4 3 2 3 2 50.54 0.108 1.892 0.54 a b c d e f g a b c d e f g -9.46 -19.46 30 -34.46 -45 68.979 157.16 158.78 149.859 158.809

Momentenlijn Momentenlijn Ma = (30*3)/2 = 45 kNm Mb = 45 – (50.54 * 4) = - 157.16 kNm Mc = -157.16 – (0.54 * 3) = -158.78 kNm Md = -158.78 – (0.54 * 0.108)2 = - 158.809 kNm Me = -158.809 + (9.46 * 1.892)/2 = - 149.86 kNm Mf = -149.86 + (19.46 * 3) + (15 * 3)/2 = - 68.98 kNm Mg = -68.98 + (34.46 *2) = 0 Of Ma = 30 * 1.5 = 45 kNm Mb = 30 * 5.5 – 80.54 * 4 = -157.16 kNm Mc = 30 * 8.5 – 80.54 * 7 + 50 * 3 = -158.78 kNm Md = 30 * 8.608 – 80.54 * 7.108 + 50 * 3.108 + (5 * 0.108 * 0.108/2) = -158.809 kNm Me = 30 * 10.5 – 80.54 * 9 + 50 * 5 + (5 * 2) * 1 = -149.86 kNm Mf = 30 * 13.5 – 80.54 * 12 + 50 * 8 + 10 * 3 + (5 * 5) * 2.5 = -68.98 kNm Mg =30 * 15.5 – 80.54 * 14 + 50 * 10 + 10 * 5 + (5 * 5) * 4.5 = 0 kNm

Buiging Als de balk belast wordt wil deze doorbuigen. In de balk treden dan buigspanningen op.

Materiaalspanningen Trek- en drukspanningen (Normaalkrachten) Aan de bovenkant van de balk treedt een verkorting op onder invloed van drukspanningen, Aan de onderkant van de balk treedt een verlenging op onder invloed van trekspanningen. Neutrale laag In het midden van de balk blijft de balk even lang. Hier treden geen trek- of drukspanningen op. Men noemt dit gebied de neutrale laag. De trek- en drukspanningen zijn rechtevenredig met de lengteverandering. De grootste spanningen treden bij buiging op in de uiterste vezelafstanden. In de neutrale laag is de spanning nul.

Trek – en drukspanning Behalve trek- en drukspanning treden er bij buiging ook nog schuifspanningen op.

Schuifspanning Bovenstaand figuur bestaat uit losse planken die op elkaar gestapeld zijn. Onder een invloed van belasting zullen deze losse planken t.o.v. van elkaar willen verschuiven. Bij een balk treden deze schuifspanningen nu ook op. In tegenstelling tot de trek- en drukkrachten is de schuifspanning in de neutrale laag juist maximaal.

Buigend moment Buigend moment. Ten gevolge van een uitwendig moment (door belasting) ontstaan er dus spanningen in het materiaal. Deze spanningen moeten door het materiaal worden weerstaan, anders zal deze bezwijken.

Maximale buigspanning De drukspanningen vormen gezamenlijk een drukkracht Fc De trekspanningen vormen gezamenlijk een trekkracht Ft Beide krachten grijpen aan op het zwaartepunt van de prisma’s.

Buigend moment Beide krachten vormen een koppel met z als inwendige hefboomarm. De hefboomarm ligt tussen de beide zwaartepunten van beide prisma’s in.

Buigend moment Het Moment is dan gelijk aan: M = Fc * z = Ft * z Ft en Fc grijpen op het zwaartepunt van hun prisma aan. Het zwaarte punt van Ft en Fc ligt dan op een 1/3 van halve hoogte van de balk: ½ * 1/3 = 1/6 De lengte van de inwendige hefboomarm (z) bedraagt dan: z = (1h – 2/6h) = 1h – 1/3h = 2/3 * h z = 2/3h

Buigend moment De gemiddelde trek- cq drukspanning is een ½ σmax: Fc = Ft = gemiddelde spanning * oppervlakte Fc = Ft = ½ σmax * ½ hb Fc = Ft = ¼ σmax * h * b

Buigend moment Het buigend moment: M = F * z M = ¼ σmax * h * b * 2/3h M = σmax * 2/12 * b * h2 M = σmax * 1/6 * b * h2

Weerstandsmoment Weerstandsmoment De term geeft de mate van weerstand (sterkte ) aan die de balk levert tegen een buigend moment en wordt het weerstandsmoment W genoemd. W = 1/6 * b * h2 (mm3)

Buigingsformule Hoe groter de hoogte hoe groter het opgenomen Moment. Unity check σmax / fm ≤ 1 Buigingsformule: Mb = Wb * σb

Sterke – en zwakke as Y-as = de sterke as Groot Weerstandsmoment Groot Traagheidsmoment Z-as = de zwakke as Klein Weerstandsmoment Klein Traagheidsmoment

Buiging om de zwakke as (z-as)

Buiging om de sterke as (y-as)

Weerstandsmoment y-as z Wy = y Wy = y z-as z Wz= Wz=

Controle sterkte buigspanning Wy = σy = Wy = fm hout = 12 N/mm2 fm staal = 235 N/mm2

Spanningsdiagram fc = drukspanning ft = trekspanning

Tabel staalprofielen y-y z-z

Voorbeeld 1 Wy = σy = Wy =

Voorbeeld 2 Wy = σy = Wy σy * Wy

Voorbeeld 3 Bepaling houten balkprofiel uit opgave Het maximaal buigend moment in ons voorbeeld is: 158.84 kNm Mb = Wb * σb De maximale rekenspanning (fm) van een houten balk C18 is 18 N/mm2 Wb = 158840000 / 18 Wb = 8824 * 103 mm3

Voorbeeld 3 Dimensioneren balk: Gelamineerde ligger bh2 = 8824 * 103 * 6 = 52944000 Neem voor b = 110 mm h = wortel(52944000/110) h = 694 mm, rond af naar 700 mm

Voorbeeld 3 Controle: Wy = 1/6 * 110 * 7002 Wy = 8983 * 103 mm3 σb = M/W = 158840000 Nmm / 8983 * 103 mm3 σb = 17,7 N/mm2 Unity check: 17,7 / 18 = 0,98 ≤ 1 Gelamineerde ligger 110 mm * 700 mm voldoet op sterkte.

Voorbeeld 4 Bepaling IPE-profiel fm = 235 N/mm2 Wb = 158840000 / 235 = 676 * 103 mm3 Zoek op in tabel (blz 143 tabellenboek) Wy = 713 * 103 mm3 IPE 330

Voorbeeld 4 Controle: σb = 158840000 Nmm / 713 * 103 mm3 Unity check: 223 / 235 = 0,95 ≤ 1 IPE 330 voldoet op sterkte.

Weerstand van de constructie Een constructie moet voldoende weerstand bieden tegen belastingen en vervormingen de gedurende de levensduur van het bouwwerk kunnen optreden. b. De weerstand tegen belastingen noemen we de sterkte of het draagvermogen van de constructie. c. De weerstand tegen vervormingen noemen we stijfheid.

Sterkte De sterkte De sterkte van een constructie hangt af van vier factoren. a. het constructiesysteem b. de sterkte van de gebruikte materialen c. de grootte van de doorsnede van de constructie-elementen d. de vorm van de doorsnede van de constructie-elementen

Sterkte van materialen a. Het draagvermogen neemt toe met de sterkte van het materiaal b. In de berekeningen worden waarden gebruikt die afgeleid zijn van de werkelijke sterkte (bezwijkspanning) van het toepaste materiaal.. c. Iedere constructie heeft bij een bepaalde materiaalkeuze een zekere maximumoverspanning. Bij een nog grotere overspanning kan de constructie niet bestaan, hij zal bezwijken onder zijn eigen gewicht.

Grootte van de doorsnede a. Het draagvermogen neemt toe wanneer de dwarsdoorsnede van het constructieelement wordt vergroot. b. Bij op zuiver trek belaste elementen neemt het draagvermogen rechtevenredig toe met de grootte van de doorsnede. c. Bij belasting op druk houdt men rekening met de instabiliteit (knik), maar in het algemeen betekent meer materiaal ook meer druksterkte. d. Bij belasting op buiging neemt het draagvermogen meer dan rechtevenredig toe met de toename van de doorsnede.. Wanneer we de doorsnede met een factor 2 verhogen neemt het draagvermogen (weerstandsmoment) met een factor 4 toe.

Vorm van de doorsnede Vorm van de doorsnede a. Door een hoeveelheid materiaal anders over de doorsnede te verdelen kan het draagvermogen aanzienlijk toenemen, dit geldt met name voor op buiging belaste liggers. b. Een I-vormige doorsnede kan meer draagvermogen opnemen dan een rechthoekige doorsnede met nagenoeg dezelfde hoeveelheid materiaal. Een I-vormige doorsnede heeft dan een hoger weerstandsmoment. c. Het vergroten van de constructiehoogte bij gelijkblijvend hoeveelheid aan materiaal vergroot het draagvermogen met bijna een factor 4.

Weerstandsmoment De waarde I / e wordt het weerstandsmoment tegen buigen van de doorsnede genoemd. Wb = I / e (in mm3) Het weerstandsmoment tegen buigen van een doorsnede is gelijk aan het lineair traagheidsmoment van deze doorsnede, gedeeld door de uiterste vezelafstand.

Traagheids- en weerstandsmoment in een rechthoekige doorsnede Het lineaire traagheidsheidsmoment van een rechthoekige doorsnede bedraagt: Iy = 1/12 * b * h3 in mm4 Iz = 1/12 * h * b3 in mm4 Het weerstandsmoment van een rechthoekige doorsnede bedraagt: Wy = 1/6 * b * h2 in mm3 Wz = 1/6 * h * b2 in mm3

Bepaal afmeting IPE-profiel Berekening op sterkte Mmax = 9,42 kNm Buigspanning = 235 N/mm2 Wy = 9420000/235 = 40 * 103 mm3 Uit tabel kies IPE 120 (Wy=53*103 mm3) U.C = 40/53 ≤ 1 AKKOORD

Schuifspanning IPE-profiel fy = 235 N/mm2 Vmax = 7,86 kN 8 5 114 8 120

Schuifspanning IPE-profiel Vz;u;d=0,58 * hd * tw * fy;d Vz;u;d=0,58 * (114 –(2*8) * 5 * 235 Vz;u;d= 66787 N = 67 kN U.C. = 7,86 / 67 ≤ 1 Sterkte op afschuiving is akkoord

EINDE Docent: M.J.Roos