Toegepaste wiskunde Vergeet-mij-nietjes ribWBKII HRO-IBB Toegepaste wiskunde Vergeet-mij-nietjes

Kromming, zakking, hoekverandering

Relaties

verband tussen verplaatsing en vervorming

Buigingstheorie

Hoekverdraaiing en zakking

Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Methode gereduceerde momentenvlak

Methode gereduceerde momentenvlak

Methode gereduceerde momentenvlak

Stellingen gereduceerd momentvlak

Uitkragende ligger met constant momentverloop Oppervlakte: Opp.(θ1) = M * L 1e stelling φB = φA + θ1 φB = φA + ML/EI. φB = ML/EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = - M * L * ½ L / EI ωB = - ML2 /2 EI φA = 0 ω A B L θ1 Mmax a = ½ L M-lijn Knikje (θ1) omhoog dan positieve hoek en negatieve zakking

Uitkragende ligger met puntlast op het einde F Mmax = FL θ1 = ½ * F* L * L / EI θ1 = FL2 / 2EI 1e stelling φB = φA - θ1 φB = 0 - θ1 φB = - FL2 / 2 EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = 0 + θ1*a ωB = θ1*a ωB = ½ * F* L2 * 2/3L / EI ωB = FL3 / 3EI φA = 0 A B ω L Mmax θ1 a = 2/3 L M/EI-lijn Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek en positieve zakking

Uitkragende ligger met gelijkmatig verdeelde belasting Mmax = ½ * qL * L θ1 = 1/3 * ½ qL2 * L / EI θ1 = 1/6 ql3 /EI 1e stelling φB = φA - θ1 φB = 0 - θ1 φB = - 1/6 ql3 / EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = 0 + θ1*a ωB = θ1*a ωB = 1/6 ql3 /EI * 3/4L ωB = ql4 / 8 EI q A B ω L Mmax θ1 a = 3/4 L M/EI-lijn Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek en positieve zakking

Uitkragende ligger met q- en puntlast F Momentenlijn 1 θ1 = ½ FL2/EI 1e stelling φB1 = - ½ FL2/EI 2e stelling ωB1 = ½ FL2/EI * 2/3 L ωB1 = FL3/3EI Momentenlijn 2 θ2 = 1/3 * 1/2 qL2 * ½ L / EI θ2 = qL3 / 12EI φB2 = - qL3 / 12EI ωB2 = qL3 / 12EI * 7/8 L ωB2 = 7qL4 / 96EI q A B ½ L ωBtot L Mmax 1 θ1 a = 2/3 L Mmax 2 θ2 M/EI-lijn a = 3/4 * ½ L + ½ L = 7/8 L M/EI-lijn

Uitkragende ligger met q- en puntlast F q A B ½ L ωBtot L Mmax 1 φBtot = (- ½ FL2/EI ) - ( qL3 / 48EI )  1e stelling ωBtot = ( FL3/3EI ) + ( 7qL4 / 96EI )  2e stelling M/EI-lijn

Ligger met puntlast op 2 steunpunten ω M = ¼ FL Opp= ¼ FL * ½ L = 1/8 FL2 θ1 = FL2 / 8EI Hoek A en B ongelijk aan nul Zakking in A en B is nul Zakking in het midden ongelijk aan nul ωB = - φA * L – θ1 * ½ L φA = ( - FL2/8EI * 1/2L) / L φA = - FL2/16EI φB = θ1 – φA φB = FL2/16EI φA θ1 ½ L Positieve buiging, onderzijde balk wordt op trek belast. Knikje positief, zakking negatief

Ligger met puntlast op 2 steunpunten ω M = ¼ FL Opp. = ¼ FL * ½ L * ½ = 1/16 FL2 θ2 = FL2/16 EI 2e stelling ωC = - φA * ½ L – θ2 * 1/6 L ωC = - (-FL2/16EI * 1/2 L) - FL2/16EI * 1/6 L ωC = FL2/16EI * 1/2 L - FL2/16EI * 1/6 L ωC = 2FL3/96EI = FL3/48EI A B C φA θ2 ½ L 1/3 * ½ L = 1/6L Zakking in het midden ω = FL3/48EI

Ligger met gelijkmatig verdeelde belasting op 2 steunpunten M = 1/8qL2 Opp.= 2/3 * 1/8qL2 * L = 2/24 qL3 = qL3 / 12 θ1 = qL3 / 12EI 2e stelling ωB = -φA * L – θ1 * 1/2L φA = - θ1 * 1/2L / L = - ½ θ1 φA = - ½ * qL3 / 12 EI = - qL3 / 24EI φA = - ½ * qL3 / 12 EI φA = - qL3 / 24EI φB = θ1 – φA φB = qL3 / 24EI q ω A B L φA θ1 Hoek A en B ongelijk aan nul Zakking in A en B is nul Zakking in het midden ongelijk aan nul

Ligger met gelijkmatig verdeelde belasting op 2 steunpunten q Opp. = 2/3 * 1/8qL2 * 1/2L = ql3 / 24 θ2 = qL3 / 24EI 2e stelling ωC = - (-φA * ½ L) – θ2 * a ωC = qL3/24EI * ½ L – qL3/24EI * 3/8 * 1/2L ωC = qL4/48EI – 3qL4/384EI ωC = 8qL4/384EI – 3qL4/384EI ωC = 5/384 * qL4/EI ω A B L φA θ2 θ1 a = 3/8 * ½ L ½ L Zakking in het midden ω = 5/384 * ql4/EI

Ligger op 2 steunpunten met een moment op het einde C θ1 = ML/2EI 2e stelling ωB = - φA * L – θ1 * 1/3L φA = - ML/2EI * 1/3L / L φA= - ML/6EI φB = ML/2EI – ML/6EI φB = ML/3EI θ2 = 1/2M * ½ L * ½ = ML/8EI ωC = -(φA * ½ L) – θ2 * 1/3 * ½ L ωC = ML2/2EI – ML2/48EI ωC = ML2/16EI A B L φA θ2 θ1 a2 = 1/3 * ½ L a1 = 1/3 * L

Opgave#1 Gevraagd: F=5kN a. Is de buiging negatief of positief ? b. Reactiekrachten c. D-lijn d. M-lijn e. De hoekverandering in A en B f. De zakking in A en B d. De zakkingslijn A B 6 E = 2,1 * 105 N/mm2 Iy = 934 * 104 mm4

Oplossing opgave 1 M = 30 kNm F=5kN Buiging is negatief, onderste vezels worden op druk belast ΣM t.o.v. A = 0 -5 * 6 + M = 0 M = 30 kNm ΣFv = 0 -Fa + 5 = 0 Fa = 5 kN A A B B Fa = 5 kN 6 5 D-lijn + 30 - M-lijn

Oplossing opgave 1 Knikje negatief dan zakking positief M = 30 kNm F=5kN Knikje negatief dan zakking positief M = FL  opp. = ½ FL2 = 90 θ1 = FL2/2EI = 90/EI Hoekverandering in A = 0 φB = 0 – θ1 = - 90/EI EI = 2.1*108 * 934 * 10-8 EI = 1961.4 kN/m2 φB = -90/1961.4 = - 0.0459 rad A B Fa = 5 kN 6 5 D-lijn + 30 - M-lijn θ1 a = 2/3 * 6 = 4

Oplossing opgave 1 Zakking in A is nul ωB = φA + θ1 * a ωB = 90/EI * 4 M = 30 kNm F=5kN Zakking in A is nul ωB = φA + θ1 * a ωB = 90/EI * 4 ωB = 360/EI = 360/1961.4 ωB = 0,184 m = 184 mm A B ωB= 184mm Fa = 5 kN 6 5 D-lijn + 30 - M-lijn θ1 a = 2/3 * 6 = 4

Opgave 2 Gevraagd: a. Is de buiging negatief of positief ? b. Reactiekrachten c. D-lijn d. M-lijn e. De hoekverandering in A en B f. De zakking in A en B d. De zakkingslijn q=5kN/m A B 6 E = 2,1 * 105 N/mm2 Iy = 934 * 104 mm4

Oplossing opgave 2 M = 90 kNm Buiging is negatief, onderste vezels worden op druk belast q=5kN/m ΣM t.o.v. A = 0 -5 * 6 * 3 + M = 0 M = 90 kNm ΣFv = 0 -Fa + 30 = 0 Fa = 30 kN A Fa = 30 kN 6 5 D-lijn + 90 M-lijn - θ1 a = 3/4 * 6 = 4.5

Oplossing opgave 2 Knikje negatief dan zakking positief M = 90 kNm Knikje negatief dan zakking positief M = ½ ql2  opp. = ½ ql2 * l * 1/3 θ1 = ql3/6EI = 180/EI Hoekverandering in A = 0 φB = 0 – θ1 = - 180/EI EI = 2.1*108 * 934 * 10-8 EI = 1961.4 kN/m2 φB = -180/1961.4 = - 0.0918 rad q=5kN/m A Fa = 30 kN 6 5 D-lijn + 90 M-lijn - θ1 a = 3/4 * 6 = 4.5

Oplossing opgave 2 Zakking in A is nul ωB = φA + θ1 * a M = 90 kNm Zakking in A is nul ωB = φA + θ1 * a ωB = 180/EI * 4 ωB = 810/EI = 810/1961.4 ωB = 0,413 m = 413 mm q=5kN/m A ωB= 413mm Fa = 30 kN 6 5 D-lijn + 90 M-lijn - θ1 a = 3/4 * 6 = 4.5

Opgave#3 Gevraagd: F=5kN B A a. Is de buiging negatief of positief ? b. Reactiekrachten c. D-lijn d. M-lijn e. De hoekverandering in A en B f. De zakking in A en B d. De zakkingslijn B A 6 E = 2,1 * 105 N/mm2 Iy = 934 * 104 mm4

Oplossing opgave 3 F=5kN Buiging is positief, onderste vezels worden op trek belast B A Fa = 2.5 kN Fa = 2.5 kN 6 ΣM t.o.v. A = 0 -5 * 3 + Fb * 6 = 0 Fb = 2,5 kN ΣFv = 0 -Fa + 5 – 2,5 = 0 Fa = 2,5 kN M = ¼ FL = 7.5 kNm 2.5 + D-lijn - -2.5 - φA θ1 M-lijn + 7.5 ½ L

Oplossing opgave 3 Knikje positief dan zakking negatief F=5kN Knikje positief dan zakking negatief opp. = ¼ FL * ½ L θ1 = 1/8 FL2/EI = 22.5/EI Zakking in A en B is nul ωB = -φA * L – θ1 * ½ L φA = - FL2/16EI φB = θ1 – φA = FL2/16EI EI = 2.1*108 * 934 * 10-8 EI = 1961.4 kN/m2 -φA = φB = 11.25/1961.4 = 0.0057 rad B A Fa = 2.5 kN 6 2.5 + D-lijn - -2.5 - φA θ2 θ1 M-lijn + 7.5 ½ L

Oplossing opgave 3 ωC = FL3/32EI)– FL3/96EI ωC = FL3/48EI = 22.5/EI F=5kN Knikje positief dan zakking negatief opp. = ¼ FL * ½ L * ½ θ2 = 1/16 FL2/EI = 11.25/EI Zakking in C ωC = -φA * ½ L – θ2 * 1/3 L ωC = - (-FL2/16EI) * ½ L – FL2/16EI * 1/6 L ωC = FL3/32EI)– FL3/96EI ωC = FL3/48EI = 22.5/EI EI = 2.1*108 * 934 * 10-8 EI = 1961.4 kN/m2 ωC = 22.5/1961.4 = 0.0115 m = 115 mm ωC= 115mm B A Fa = 2.5 kN 6 2.5 + D-lijn - -2.5 - φA θ2 θ1 M-lijn + 7.5 ½ L a = 1/3 * ½ L

Opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4 Deel A - B zakkingslijn A B M= - 10 kNm 6

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4 19 KWISPELEFFECT 32

BIJLAGEN

Bijlage 2 Graden  Radialen 90°/360° * 2π = 1,57 → 1,57 / π = 0,5 → 1,57 = 0,5π rad = α / 360 * 2π Radialen  Graden 1 ½ π = 4,71 → 4,71 / 2π * 360° = 270° α = rad / 2π * 360°

Zwaartepunten - basisgevallen ½ h 7/10 h 2/3 h h h ½ h 1/3 h 3/10 h 1/3 b 2/3 b 1/4 b 3/4 b ½ b ½ b b b b A = b * h Rechthoek A = ½ *b * h Driehoek A = 1/3 *b * h Ex paraboolvlak

Zwaartepunten - basisgevallen 3/5 h R ½ D 3/4π R h 2/5 h R R 3/8 b 5/8 b D b 2R A = πD2 / 4 Circel A = 2/3 * b * h Half parabool A = πR2 / 2 Half circel

Oppervlakten en zwaartepuntafstanden -M/EI θ = ML / 2EI x-as M/EI lijn 1/3L 2/3L L

Oppervlakten en zwaartepuntafstanden Holle parabool -M/EI θ = ML / 3EI x-as M/EI lijn 1/4L 3/4L L

Oppervlakten en zwaartepuntafstanden Bolle parabool -M/EI θ = 2ML / 3EI x-as M/EI lijn 3/8L 5/8L L

Einde M.J.Roos Maart 2008