Ligger op 2 of meer steunpunten ribCTH-Deeltijd Feb.2011 M.Roos

Index Ligger op 2 steunpunten Ligger op 2 steunpunten met gedeelde tussenoplegging Ligger op 3 steunpunten als standaard belastingsgeval Ligger op 3 steunpunten met verplaatsingsmethode Gerberligger op 3 steunpunten

Gegeven: q = 2 kN/m1 E = 11000 N/mm2 fm = 18 N/mm2 fv = 1 N/mm2 u = 0,004L

1.0 Primaire ligger zonder de tussenoplegging. 2kN/m1 L=4m Ligger is statisch bepaald 3 reactiekrachten en 3 evenwichtsvergelijkingen 3R - 3V = 0  statisch oplosbaar. Ra = Rb = ½* ql = ½ * 2 * 4 = 4 kN M = 1/8 * qL2 = 1/8 * 2 * 42 = 4 kNm

De vervorming van de ligger is meestal bepalend voor de hoogte van de ligger. De vervorming mag maximaal bedragen: u=0,004*4000=16mm Bereken het traagheidsmoment m.b.v. VergeetMijnNietje(5): u = (5qL4) / (384 * EI) Filter de I uit de formule volgens: I = (5ql4) / (384 * E * u) I = (5 * 2 * 40004) / (384 * 11000 * 0,004 * 4000) I = 3788 * 104 mm4 Bepaal met de vuistregel L/60 de breedte van de doorsnede van de ligger. B = 4000 / 60 = 67mm Bereken de hoogte van de ligger mbv het traagheidsmoment I = 1/12 * B * H3

Berekening op vervorming: Doorsnede ligger: 67mmx189mm A=12633m2 Berekening op vervorming: umax = 16mm, Unity Check: 16/16=<1 De ligger is op vervorming akkoord. Wy = 1/6 * B * H2  1/6 * 67 * 1892 = 399 * 103 mm3 Berekening op buigsterkte: σb = M / Wy = 4 * 106 / 399000 = 10N/mm2 UC = 10 / 18 = 0,56 =< 1, Akkoord op buigsterkte .

Berekening op schuifsterkte: Τ= 1,5 * (4000 / 12633) = 0,47 UC = 0,47 / 1 =0,47 =< 1, Akkoord op schuifsterkte. Conclusie: De houten ligger (67 * 189) voldoet aan de eisen voor de sterkte en de vervorming σc=10N/mm2 189 67 σt=10N/mm2 u=16mm L=4m Ra=4kN Rb=4kN 4kN + D-lijn - - 4kN + M-lijn M = 4kNm END END

2.0 Twee stuks primaire liggers met een gedeelde tussenoplegging. 2kN/m1 L=2m L=2m 2kN/m1 Ligger is statisch bepaald 3 reactiekrachten en 3 evenwichtsvergelijkingen 3R - 3V = 0  statisch oplosbaar. Ra = Rb = ½* ql = ½ * 2 * 2 = 2 kN M = 1/8 * qL2 = 1/8 * 2 * 22 = 1kNm L=2m

De vervorming van de ligger is meestal bepalend voor de hoogte van de ligger. De vervorming mag maximaal bedragen: u=0,004*2000=8mm Bereken het traagheidsmoment m.b.v. VergeetMijnNietje: u = (5qL4) / (384 * EI) Filter de I uit de formule volgens: I = (5ql4) / (384 * E * u) I = (5 * 2 * 20004) / (384 * 11000 * 0,004 * 2000) I = 473 * 104 mm4 Bepaal met de vuistregel L/60 de breedte van de doorsnede van de ligger. B = 2000 / 60 = 33,33mm Bereken de hoogte van de ligger mbv het traagheidsmoment I = 1/12 * B * H3

Berekening op vervorming: Doorsnede ligger: 33,33mmx119mm A=3966,27m2 Berekening op vervorming: umax = 8mm, Unity Check: 8/8=<1 De ligger is op vervorming akkoord. Wy = 1/6 * B * H2  1/6 * 33.33 * 1192 = 79 * 103 mm3 Berekening op buigsterkte: σb = M / Wy = 1 * 106 / 79000 = 12,7N/mm2 UC = 12,7 / 18 = 0,71 =< 1, Akkoord op buigsterkte .

Berekening op schuifsterkte: Τ= 1,5 * (2000 / 3966,27) = 0,76 UC = 0,76 / 1 =0,76 =< 1, Akkoord op schuifsterkte. Conclusie: De houten ligger (33,33 * 119) voldoet aan de eisen voor de sterkte en de vervorming σc=13N/mm2 119 σt=13N/mm2 u=8mm 33 L=2m Ra=2kN Rb=2kN 2kN + D-lijn - - 2kN + M-lijn M = 1kNm END END

3.0 Primaire ligger met tussenoplegging. 2kN/m1 L=2m L=2m Ligger is enkelvoudig statisch onbepaald 4 reactiekrachten en 3 evenwichtsvergelijkingen 4R - 3V = 1  statisch niet oplosbaar. Oplossen met standaard belastingsgevallen uit: Tabellenboek Bouwkunde: Hfdst.5 – 5.14, blz 67 (1e druk, 3e oplage 2005)

oplegreacties momenten Ra Rb Mv Mst 0,375 1,25 0,07 -0,125 Ligger op 3 steunpunten met gelijkmatig verdeelde belasting. oplegreacties momenten Ra Rb Mv Mst 0,375 1,25 0,07 -0,125 Oplegreactie = Coëfficiënt R * q * L Moment = Coëfficiënt M * q * L2 Ra = 0,375 * 2kN/m1 * 2m = 1,5 kN Rb = 1,250 * 2kN/m1 * 2m = 5,0 kN Rc = 0,375 * 2kN/m1 * 2m = 1,5 kN Mv1 = Mv2 = 0,07 * 2 * 22 = 0,56kNm Mst1 = -0,125 * 2 * 22 = -1kNm

2kN/m1 A Doorsnede A u=3,8mm u=3,8mm L=2m L=2m Ra=1,5kN Rb=5kN σt=14N/mm2 113 u=3,8mm u=3,8mm σc=14N/mm2 33 L=2m L=2m Ra=1,5kN Rb=5kN Rc=1,5kN 2,5kN 1,5kN + D-lijn - 1,5kN 2,5kN Mst = 1kNm - M-lijn + Mv2 = 0,56kNm Mv1 = 0,56kNm

Of bij een ligger op 3 steunpunten met last q: Mv = 1/14 * qL2  2 * 22 /14 = 0,57 kNm Mst = 1/8 * qL2  2 * 22 / 8 = 1,0kNm Doorsnede ligger: B = 2000/60 = 33,33mm H = 2000/20 = 100mm Berekening op buigsterkte: Wy = 1/6 * 33,33 * 1002 = 56 * 103 mm3 σb = 1 * 106 / 56000 = 17,8 N/mm2 UC = 17,8 / 18 =< 1  Akkoord op buigsterkte

Berekening op schuifsterkte: τ = 1,5 * (2500 / 3333) = 1,13N//mm2 UC = 1,13 / 1 >= 1, Niet akkoord op schuifsterkte Nieuwe doorsnede bepalen om aan de eis van de schuifsterkte te voldoen. H = 1,5 * 2500 / (1 *33,33) = 113mm τ = 1,5 * (2500 /3766) = 1,00N/mm2 UC = 1,00 / 1 = < 1, Akkoord op schuifsterkte Nieuwe doorsnede ligger: 33,33mm * 113mm Controle buigsterkte: Wy = 1/6 * 33,33 * 1132 = 71 * 103 mm3 σb = 1 * 106 / 71000 = 14,1N/mm2 UC = 14,1 / 18 =< 1  Akkoord op buigsterkte Berekening op vervorming: I = 1/12 * 33,33 * 1133 = 401 * 104 mm4 umax = 0,004L = 0,004 * 2000mm = 8mm U = (5 * 2 * 20004) / (384 * 11000 * 401 * 104) = 9,45mm UC = 9,5 / 8 >=1  Niet akkoord op stijfheid. De ligger zou moeten worden afgekeurd op zijn stijfheid, de vervorming is te groot. Echter behalve het veldmoment is er nu ook een steunpuntsmoment

aanwezig. Dit steunpuntsmoment is een negatief moment, zij veroorzaakt een negatieve buiging op veld 1. 2kN/m1 u=3,8mm u=3,8mm A B C L=2m L=2m Ra=1,5kN Rb=5kN Rc=1,5kN 2kN/m1 1e geval 2e geval Mst=-1kNm B B A A u2 u1 B B A A VMN5= VMN8=

u1 - u2 = u totaal 9,5mm – 5,7mm = 3,8mm utotaal = 3,8mm UC = 3,8 / 8 =<1  Akkoord op vervorming Conclusie De ligger (33,33mm x 113mm) is akkoord op sterkte en stijfheid. END END

4.0 Primaire ligger met tussenoplegging met de verplaatsingsmethode. Met de verplaatsingsmethode worden direct de onbekende verplaatsingen bepaald. De verplaatsingsmethode gaat uit van de vrije verplaatsingen van iedere knoop in de constructie. De onbekende vrije knoopverplaatsingen worden aangeduid met de term Vrijheidsgraden. We gaan hierbij uit van: De hoekveranderingen Horizontale verplaatsingen worden verwaarloosd. De knopen kunnen niet verticaal verplaatsen.

q = 2 kN/m A C B L = 2 m L = 2 m Constructie enkelvoudig statisch onbepaald. Verplaatsingsmethode Verwijder steunpunt B Breng kracht Bv aan. VVV-eis: zakking in B = nul. Bepaal zakking WB1 t.g.v. gelijkmatige belasting q Bepaal zakking WB2 t.g.v. belasting Bv

q = 2 kN/m A Bv C L = 2 m L = 2 m Zakking in B t.g.v. q-last, VMN5 WB1 = 5ql4 / 384EI WB1 = 5x2x44 / 384EI WB1 = 6,67 / EI Zakking in B t.g.v. Bv, VMN10 WB2 = FL3 / 48EI WB2 = Bv x 43 / 48EI WB2 = 1,33 x Bv / EI Stel WB1 en WB2 aan elkaar gelijk 1,33Bv = 6,67 Bv = 5 kN

Som van de Momenten t.o.v. C = 0 -(Av x 4) +(2 x 4 x 2) - (5 x 2) = 0 Av = 1,5 kN Som van de Verticale krachten = nul Q – Av – Bv – Cv = 0 8 – 1,5 – 5 – Cv = 0 Cv = 1,5 kN

2kN/m1 A Doorsnede A u=3,8mm u=3,8mm L=2m L=2m Ra=1,5kN Rb=5kN σt=14N/mm2 113 u=3,8mm u=3,8mm 33 σc=14N/mm2 L=2m L=2m Ra=1,5kN Rb=5kN Rc=1,5kN 2,5kN 1,5kN + D-lijn - 1,5kN 2,5kN Mst = 1kNm - M-lijn + Mv2 = 0,56kNm Mv1 = 0,56kNm END END

5.0 Gerberligger met 3 steunpunten. q = 2kN/m A B S C 2 0,5 2,5 Ligger is enkelvoudig statisch onbepaald 4 reactiekrachten en 3 evenwichtsvergelijkingen 4R - 3V = 1  statisch niet oplosbaar. Oplossen door toevoeging van een scharnier, hierdoor verkrijg je een extra vergelijking. De ligger is dan weer statisch bepaald, volgens: 4R – 3V – 1S = 0

Deel S-C Q = 2 * 1,75 = 3,5 kN Fs=Fc= ½ gL = 1,75 kN Deel A-B q =2kN/m Deel S-C Q = 2 * 1,75 = 3,5 kN Fs=Fc= ½ gL = 1,75 kN Deel A-B Q = 2 * 2,25 = 4,5 kN ΣM tov A = 0 -4,5 * 1,125 – 1.75 * 2,25 + 2Rb = 0 Rb = 4,5 kN ΣV = 0 4,5 + 1,75 – 4,5 – Ra = 0 Ra = 1,75 kN A B S C 2 0,25 1,75 Q=3,5kN S C Rc=1,75kN Rs=1,75kN 1,75 Q=4,5kN Fs=1,75kN A B S 2 0,25 Ra=1,44kN Rb=4,5kN

A σc=9,75N/mm2 q = 2kN/m 119 A B S C 33 σt=9,75N/mm2 2 0,25 1,75 2,25kN 1,75 kN 1,125 V1 = 1,75 kN V2 = 1,75 – (2 * 2) = -2,25kN V3 = -2,25 + 4,5 = 2,25 kN V3 = 2,25 – (2 * 2) = -1,75 kN V4 = -1,75 + 1,75 = 0 kN a = 1,75/ 2 = 0,875 m M1 = (1,75 * 0,875) / 2 = 0,77kNm M2 = 0,77 – (2,25 * 1,125) / 2 = - 0,5kNm M3 = - 0,5 + (2,25 * 1,125) / 2) = 0,77kNm M4 = 0,77 – (1,75 * 0,875) / 2 = 0 kNm 0,875 -2,25kN -1,75 kN 0,5 kNm 0,77 kNm 0,77 kNm

Bepaling doorsnede ligger. B = 2000 / 60 = 33,33 mm umax = 0,004L = 0,004 * 2000 = 8mm I = (5 * 2 * 20004) / (384 * 11000 * 8) I = 473 * 104 mm4 Berekening op buigsterkte: W = 1/6 * 33,33 * 1192 = 79 * 103 mm3 σb = M / W = 0,77 * 106 / 79 * 103 = 9,75N/mm2 UC = 9,75 / 18 = 0,54 =< 1  Akkoord op buigsterkte Berekening op afschuifsterkte: τ = 1,5 * (2250 / (33 * 119)) = 0,79 N/mm2 UC = 0,97 /1 = 0,97 =< 1  Akkoord op schuifsterkte

Berekening op vervorming Onderste vezels op trek belast dus buiging positief Zakking in het midden, VMN(5) ω1 = 5/384 * qL4 / EI ω1 = 5/384 * (2 * 24) / EI ω1 = 0,42/EI Hoekverandering in B φB1 = ql3 / 24EI φB1 = 2 * 23 / 24EI φB1 = 0,67/EI q = 2kN/m A B 2 φB1 ω Positieve hoekverdraaiing zakkingslijn

Totale zakking: ωtot = ω1 + ω2 = 0,42 / EI – 0,125 / EI = 0,295 / EI Mst = -0,5kNm Zakking in midden door moment, VMN(8) ω2 = ML2 / 16EI ω2 = 0,5 * 22 /16EI ω2 = 0,125 / EI Hoekverandering in B φB2 = - ML / 3EI φB2 = - 0,5 * 2 / 3EI φB2 = - 0,33 / EI A B 2 zakkingslijn φB2 Negatieve hoekverdraaiing Totale zakking: ωtot = ω1 + ω2 = 0,42 / EI – 0,125 / EI = 0,295 / EI Totale hoekverdraaing: φBtot = φB1 + φB2 = 0,67 / EI – 0,33 / EI = 0,34/EI

Zakking in C door q-last, VMN(3) ωS2 = qL4 / 8EI ωS2 = 2 * 0,254 / 8EI zakkingslijn φB1 ωS1 = φBtot * L ωS1 = - 0,34 / EI * 0,25 ωS1 = - 0,085 / EI Zakking in C door q-last, VMN(3) ωS2 = qL4 / 8EI ωS2 = 2 * 0,254 / 8EI ωS2 = 9,8 * 10-4 / EI Zakking in C door puntlast, VMN(2) ωS3 = FL3 / 3EI ωS3 = 1,75 * 0,253 / 3EI ωS3 = 91 * 10-4 /EI ωStot = - 0,085 / EI + 9,8 * 10 -4 / EI + 91*10-4 / EI = - 0,075 / EI ω 2 0,25 q = 6kN/m B S 0,25 B S 0,25

De ligger op stijfheid akkoord M Zakkingslijn ligger 33 mm * 119 mm Ihout = 1/12 * 33 * 1193 = 463 * 104 mm4 EIhout = 0.11 * 108 * 463 * 10-8 = 50,93 kNm2 Vervorming voor hout: Zakking in M 0,295 / 50,93 = 0,0058 m = 5,8 mm Zakking in S -0,075 / 50,93 = 0.0015 m = 1.5 mm U.C. = 5,8 / 8 ≤ 1 De ligger op stijfheid akkoord M 1.5 S 5,8

nr Omschrijving A (mm2) σ (N/mm2) Mveld (kNm) Mst (kNm) Buiging (mm) 1 Ligger op 2 steunpunten 67 * 189 10 4 - 16 2 Ligger op 2 steunpunten met gedeelde tussenoplegging 33 * 119 13 8 3 Ligger op 3 steunpunten 33 * 113 14 0,56 3,8 5 Gerberligger op 3 steunpunten 9,8 0,77 0,5 5,8