Wiskunde in balans werkblad Rob Mudde & Jeroen Spandaw Nationale Wiskunde Dagen 7 februari 2009

Broeikaseffect voor beginners “deken” σ · T14 σ · T24 T1 model versie 2 oppervlak

Broeikasvergelijkingen voor beginners Stel de balansvergelijkingen op voor het aardoppervlak en de atmosfeer (“broeikasdeken”). We hebben dus twee vergelijkingen. Bereken de twee onbekenden T1 en T2 . S = 342 W/m2 en σ = 5.67 ·10-8 (W/m2) / K4

Antwoorden voor beginners Temperatuur met broeikaseffect: T1 = 303 K = +30º C voor aardoppervlak T2 = 255 K = -18º C voor atmosfeer Nu zijn de temperaturen juist te hoog!

Aanpassing broeikasmodel Slechts een fractie ε van door aardoppervlak uitgestraalde vermogen σ · T14 (infrarood) wordt geabsorbeerd door atmosfeer. ε ~ 0.8 [Terzijde: Versterkt broeikaseffect: meer koolstofdioxide  ε neemt toe  aarde warmt verder op.]

Broeikaseffect voor gevorderden “deken” ε·σT14 ε·σT24 T1 model versie 3 oppervlak

Broeikasvergelijkingen voor gevorderden Stel de aangepaste balansvergelijkingen op voor het aardoppervlak en de atmosfeer (“broeikasdeken”). Neem ε = 0.8 en bereken opnieuw de twee onbekenden T1 en T2 . S = 342 W/m2 en σ = 5.67 ·10-8 (W/m2) / K4

Antwoorden voor gevorderden 0.70 x 342 W/m2 en ε = 0.8  T1 = 290 K = +17º C voor aardoppervlak T2 = 244 K = -29º C voor atmosfeer T1 = +17º C is vrij realistisch! Merk op dat: T1 = 21/4 · T2 = 1.19 T2

Suggesties voor vervolg De poolgebieden ontvangen minder straling per m2 dan de evenaar. Bereken de straling per m2 als functie van de breedtegraad φ. (Negeer de scheefheid van de aardas.) Bereken de temperatuur als functie van de breedtegraad φ. Hoe realistisch is het resultaat? Welke vervolgstappen zouden we kunnen nemen om b) realistischer te maken?

Antwoorden s(φ) = 4 · S · cos(φ) “om 12:00 uur” T(φ) = √2 · (S · cos(φ) / σ)1/4, dus T = 0 K = -273º C aan de polen en T = √2 · (S / σ)1/4 = 394 K = 121º C! Niet erg realistisch! Bijvoorbeeld: warmtetransport door de atmosfeer van de tropen naar de polen. N.B. De temperatuur op de maan (“aarde zonder atmosfeer”) varieert inderdaad sterk: tussen - 173º C en 127º C graden!

Suggesties voor vervolg Wat gebeurt er met de temperatuur als de albedo door stof in de atmosfeer 1% afneemt van 30% naar 29% (ceteris paribus)? Begin januari bevindt de aarde zich 3% dichter bij de zon dan begin juli. Wat betekent dat voor S en T? De seizoenen ontstaan door de scheefheid (23º) van de aardas. Bereken de seizoens-afhankelijkheid van S en T.

Wiskunde Suggestie 1 gaat over differentiëren: uit S = σ · T 4 volgt voor kleine relatieve veranderingen: ΔS / S = 4 · ΔT / T Suggesties 2 en 3 gaan over meetkunde en goniometrie.