Jo van den Brand & Jeroen Meidam ART: 5 november 2012

Slides:



Advertisements
Verwante presentaties
Speciale relativiteit
Advertisements

Jo van den Brand & Tjonnie Li 1 December, 2009 Structuur der Materie
Kosmologie 17 april 2014 prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand
Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie
Kracht.
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
Newton - HAVO Energie en beweging Samenvatting.
Gravitatie en kosmologie
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie
Marcel Vonk Museum Boerhaave, 10 mei 2010
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
Krachten en evenwicht voor puntdeeltjes in het platte vlak
Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 27 oktober 2009
Jo van den Brand & Jeroen Meidam Les 1: 3 september 2012
Newton - VWO Energie en beweging Samenvatting.
Met dank aan Hans Jordens

College Fysisch Wereldbeeld 2
College Fysisch Wereldbeeld 2
Door Prof. Henri Verschelde
translatie rotatie relatie x q x= qR v w v=wR a atan=aR arad = w2R m I
Het Relativistische Heelal prof.dr. Paul Groot Afdeling Sterrenkunde, IMAPP Radboud Universiteit Nijmegen.
Hoofdstuk 1, 2 en 3 Toegepaste Mechanica deel 1
Relativiteitstheorie (4)
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007
Jo van den Brand 3 oktober 2013
Jo van den Brand Relativistische inflatie: 3 december 2012
Jo van den Brand Relativistische kosmologie: 26 november 2012
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie Jo van den Brand & Jeroen Meidam
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie
2. Elektrisch veld en veldsterkte
Starre voorwerpen Starre voorwerpen, middelpuntzoekende kracht, bewegingsvgl., traagheidsmoment, hoekmoment, .....
Een tijdelijk bestaan. Een tijdelijk bestaan Een tijdelijk bestaan deel 4 Kosmologische tijd Gerard Bodifee Maastricht 2012.
Elektriciteit 1 Les 4 Visualisatie van elektrische velden
Bepalen van de resultante
Jo van den Brand & Joris van Heijningen Kromlijnige coördinaten: 28 oktober 2013 Gravitatie en kosmologie FEW cursus.
Jo van den Brand Relativistische kosmologie: 1 december 2014
Jo van den Brand HOVO: 13 november 2014
Algemene relativiteitstheorie
Jo van den Brand HOVO: 4 december 2014
Einsteins Relativiteitstheorie
Jo van den Brand HOVO: 27 november 2014
Jo van den Brand Les 1: 1 september 2015
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie
Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Copyright (C) Vrije Universiteit.
Relativiteitstheorie (3) H.A. Lorentz. Tot nu toe… De lichtsnelheid c is onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer t.o.v. de bron. Consequentie:
Jo van den Brand & Joris van Heijningen Kromlijnige coördinaten: 13 oktober 2015 Gravitatie en kosmologie FEW cursus Copyright (C) Vrije Universiteit 2009.
Jo van den Brand & Joris van Heijningen ART: 27 oktober 2015
Jo van den Brand & Joris van Heijningen ART: 3 November 2015
Jo van den Brand Les 5: 3 december 2015
Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Gravitatie en kosmologie FEW cursus Copyright (C) Vrije Universiteit 2009.
Jo van den Brand Relativistische kosmologie: 24 november 2014
Energie in het elektrisch veld
Relativiteitstheorie
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie
Speciale Relativiteitstheorie en Minkowski-meetkunde
Hoofdstuk 1, 2 en 3 Toegepaste Mechanica deel 1
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie
(De sublieme eenvoud van) Relativiteit Een visuele inleiding
Algemene relativiteitstheorie
FEW Cursus Gravitatie en kosmologie
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP
Jo van den Brand & Tjonnie Li Kromlijnige coördinaten: 19 oktober 2010
Jo van den Brand HOVO: 6 november 2014
Newtoniaanse Kosmologie College 7: Inflatie
Transcript van de presentatie:

Jo van den Brand & Jeroen Meidam ART: 5 november 2012 Gravitatie en kosmologie FEW cursus   Jo van den Brand & Jeroen Meidam ART: 5 november 2012

Inhoud Inleiding Klassieke mechanica Quantumfenomenen Wiskunde I Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme Quantumfenomenen Neutronensterren Wiskunde I Tensoren Speciale relativiteitstheorie Minkowski Ruimtetijd diagrammen Wiskunde II Algemene coordinaten Covariante afgeleide Algemene relativiteitstheorie Einsteinvergelijkingen Newton als limiet Kosmologie Friedmann Inflatie Gravitatiestraling Theorie Experiment Najaar 2009 Jo van den Brand

Kromlijnige coördinaten Afgeleide scalair veld f(t2) 2 f(t1) 1 raakvector (tangent vector) De waarde van de afgeleide van f in de richting Afgeleide van scalair veld langs raakvector

Tensorcalculus Afgeleide van een vector a is 0 - 3 stel b is 0 Notatie Covariante afgeleide met componenten

Lokaal lorentzframe – LLF We bespreken in het volgende de gekromde ruimtetijd Op elke gebeurtenis P in ruimtetijd kunnen we een LLF kiezen: - we zijn vrij-vallend (geen effecten van gravitatie volgens equivalentieprincipe) - in LLF geldt de minkowskimetriek Lokaal euclidisch LLF in gekromde ruimtetijd Op elk punt is raakruimte vlak

Kromming en parallel transport Parallelle lijnen snijden in een gekromde ruimte (Euclides vijfde postulaat geldt niet) Parallel transporteren van een vector - projecteer raakvector na elke stap op het lokale raakvlak - rotatie hangt af van kromming en grootte van de lus Wiskundige beschrijving - interval PQ is curve met parameter - vectorveld bestaat op deze curve - raakvector aan de curve is - we eisen dat in een LLF de componenten van constant moeten zijn Parallel transporteren

Geodeten Parallel transporteren Geodeet: lijn, die zo recht als mogelijk is Componenten van de viersnelheid Geodetenvergelijking Vier gewone tweede-orde differentiaalvergelijkingen voor de coördinaten en Gekoppeld via de connectiecoëfficiënten Twee randvoorwaarden Ruimtetijd bepaalt de beweging van materie

Riemanntensor Beschouw vectorvelden en Transporteer langs Vector verandert met Transporteer langs Beschouw de commutator Commutator is een maat voor het niet sluiten Krommingstensor van Riemann meet het niet sluiten van dubbele gradiënten Beschouw vectorveld

Riemanntensor: eigenschappen Metrische tensor bevat de informatie over intrinsieke kromming Eigenschappen Riemanntensor Antisymmetrie Symmetrie Bianchi identiteiten Onafhankelijke componenten: 20 Krommingstensor van Ricci Riccikromming (scalar) Huiswerkopgave om dit alles te demonstreren Beschrijving van het oppervlak van een bol

Getijdenkrachten Laat een testdeeltje vallen. Waarnemer in LLF: geen teken van gravitatie Laat twee testdeeltjes vallen. Waarnemer in LLF: differentiële gravitatieversnelling: getijdenkracht Volgens Newton Definieer Gravitationele getijdentensor

Einsteinvergelijkingen Twee testdeeltjes zijn initieel parallel t Door kromming van ruimtetijd bewegen ze naar elkaar toe Initieel in rust Op geldt P Q Tweede-orde afgeleide ongelijk aan nul vanwege kromming x Er geldt Volgt uit Beschrijft relatieve versnelling Newton

Einsteinvergelijkingen Wellicht verwachten we dat geldt Echter geen tensorvergelijking (geldig in LLF) Wellicht dient te gelden Einstein 1912 – fout tensor scalar Stelsel van 10 p.d.v. voor 10 componenten van Probleem: Vrije keuze: Einsteintensor Bianchi identiteiten Einsteinvergelijkingen Energie – impuls tensor Materie vertelt ruimtetijd hoe te krommen

Zwakke gravitatievelden ART gaat over in SRT voor LLF Zonder gravitatie geldt de minkowskimetriek Voor zwakke gravitatievelden geldt Neem aan dat metriek stationair is Neem aan het deeltje langzaam beweegt Wereldlijn van vrij-vallend deeltje =0 Christoffelsymbool Metriek stationair Newtoniaanse limiet van ART Newton Aarde Zon Witte dwerg

Kromming van de tijd Ruimtetijdkromming zorgt voor kromming van de tijd Klok in rust Tijdinterval tussen twee tikken Beschrijft banen van deeltjes in ruimtetijd Ruimtetijdinterval Baan van een bal en een kogel Ruimtelijke kromming is zeer verschillend

Kromming in ruimtetijd In werkelijkheid zijn de banen (geodeten) volledig recht, en is ruimtetijd gekromd