Alexander Verbraeck Sectie Systeemkunde TB week 1: Wachtrijtheorie en Simulatie Waarom duurt wachten lang en wat kunnen we er aan doen met simulatie Alexander Verbraeck Sectie Systeemkunde 7 september 2011

Wachtrijen... Op de weg (net te laat weg, en dan loop je vast) In de supermarkt (en dan net de verkeerde rij kiezen) Bij het call-centrum via de telefoon (er zijn nog 68 wachtenden voor u...) In de kantine (helaas te laat voor de lekkere broodjes) In de fabriek (onderdelen die op verwerking liggen te wachten) Op kantoor (stapels dossiers en lijsten met e-mails die nog afgehandeld moeten worden) Vliegtuigen die rondcirkelen voordat ze kunnen landen 7 september 2011

Waarom wachtrijen? Waar komen de wachtrijen vandaan en waarom zijn ze zo hardnekkig? Waarom zijn de wachtrijen vaak langer dan wat we op grond van ons ‘gevoel’ zouden zeggen? Hoe goed kunnen we het optreden van wachtrijen voorspellen? Er is theorie over wachtrijen We kunnen wachtrijen simuleren We kunnen de opgedane kennis toepassen 7 september 2011

Hoe goed snappen we wachten (1)? Stel dat we de tram met een frequentie volgens de dienstregeling van eens per 10 minuten willen nemen, maar we wonen halverwege het tracé, dus met alle verstoringen gedraagt de tram zich alsof hij geheel willekeurig aankomt. Gemiddeld komen er wel 6 trams per uur, maar soms zit er een groot gat, en soms zitten er twee vlak achter elkaar. Stel ik kom op de halte aan, en ik zie daar iemand staan die zegt dat zij al 10 minuten wacht. Hoe lang moet ik dan gemiddeld nog wachten op de tram? 7 september 2011

Hoe goed snappen we wachten (2)? Stel dat we de tram met een frequentie volgens de dienstregeling van eens per 10 minuten willen nemen, maar we wonen halverwege het tracé, dus met alle verstoringen gedraagt de tram zich alsof hij geheel willekeurig aankomt. Gemiddeld komen er wel 6 trams per uur, maar soms zit er een groot gat, en soms zitten er twee vlak achter elkaar. Stel ik kom op de halte aan, en ik zie daar iemand staan die zegt dat zij al 10 minuten wacht. Hoe lang moet ik dan gemiddeld nog wachten op de tram? Antwoord: gemiddeld 10 minuten... 7 september 2011

Hoe goed ‘snappen’ we wachten (3)? Stel, we hebben een balie met 5 medewerkers, die elk 10 mensen per uur kunnen helpen. Er komen gemiddeld 48 mensen per uur binnen. Ze kunnen het dus makkelijk aan. Hoe lang is: de gemiddelde wachtrij? de gemiddelde wachttijd? komt de wachtrij wel eens boven de 20? boven de 10? boven de 5? 7 september 2011

Hoe goed ‘snappen’ we wachten (4)? Stel, we hebben een balie met 5 medewerkers, die elk 10 mensen per uur kunnen helpen. Er komen gemiddeld 48 mensen per uur binnen. Ze kunnen het dus makkelijk aan. Hoe lang is: de gemiddelde wachtrij 13 de gemiddelde wachttijd 16 min. komt de wachtrij wel eens boven de 20 JA boven de 10 VAAK boven de 5 VAAK 7 september 2011

Hoe goed ‘snappen’ we wachten (5)? Uitgewerkt in simulatiepakket Arena 7 september 2011

Wachten in één rij of meer rijen (1) Soms is er één wachtrij bij meer ‘loketten’, b.v. veiligheidsscan op sommige luchthavens Soms heeft elk ‘loket’ een eigen wachtrij, b.v. kassa’s bij de supermarkt Maakt dat verschil? Wat is ‘eerlijker’? Verschilt de gemiddelde wachttijd? Waarom? 7 september 2011

Wachten in één rij of meer rijen (2) Soms is er één wachtrij bij meer ‘loketten’, b.v. veiligheidsscan op sommige luchthavens Soms heeft elk ‘loket’ een eigen wachtrij, b.v. kassa’s bij de supermarkt Maakt dat verschil? JA Wat is ‘eerlijker’? 1 rij Verschilt de gemiddelde wachttijd? JA Waarom? Lege rij 7 september 2011

Wachten in één rij of meer rijen (3) Uitgewerkt in simulatiepakket Arena 7 september 2011

Telefonische diensten (1) Als je een telefonische dienst belt, moet je vaak keuzes maken met nummers voordat je iemand aan de lijn krijgt. Waarom is dat? Maakt het verschil in de wachtrijen? Waarom? 7 september 2011

Telefonische diensten (2) Als je een telefonische dienst belt, moet je vaak keuzes maken met nummers voordat je iemand aan de lijn krijgt. Waarom is dat? Specialisatie van taken Maakt het verschil in de wachtrijen? Ja Waarom? Meer “gelijke” taken per medewerker 7 september 2011

Telefonische diensten (3) Uitgewerkt in simulatiepakket Arena 7 september 2011

Simulatie voor wachtrijproblemen De simulatie De praktijk VSE, Virginia Tech / ORCA Computing 7 september 2011

Simulaties: wachten op luchthavens 7 september 2011

Simulatie: wachten bij klaar- maken vliegtuig Model: ARC, Aken, Duitsland Simulatie: wachten bij klaar- maken vliegtuig 7 september 2011

Simulatie: Wachten bij instappen Model: ARC, Aken, Duitsland 7 september 2011

Simulatie: wachten bij taxiën Model: ARC, Aken, Duitsland 7 september 2011

Wachtrijsysteem Doelgroep van potentiële klanten klanten wachtrij server(s) klanten wachtrijsysteem 7 september 2011

Toestanden van het wachtrijsysteem server(s) klanten Wachtrijsysteem Leeg / Niet-leeg Onbezet / Bezet Welke toestand is onmogelijk? 7 september 2011

Parameters van een wachtrijsysteem Prestatie van het wachtrijsysteem is afhankelijk van: Aankomstproces (l en verdeling tussentijd) Bedieningsproces (m en verdeling bedieningstijd) Aantal loketten Capaciteit van het systeem Omvang van de doelgroep Capaciteit van wachtrij + Aantal servers ∞ of niet 7 september 2011

Voorbeeld bezettingsgraad Bij de helpdesk van de faculteit: Gemiddeld arriveren er 4 klanten per uur met een hulpvraag (Poisson) Gemiddeld kunnen 6 klanten per uur worden geholpen (Poisson) Wat is de bezettingsgraad (Griekse letter rho) voor 1 helpdesk medewerker? 2 helpdesk medewerkers? 7 september 2011

Aankomstproces Aankomsttussentijden stochastisch of deterministisch? Eén voor één op groepsgewijs? Groepsgrootte stochastisch of deterministisch Meestal: Aantal klanten per tijdseenheid Poisson verdeeld Tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld Eén voor één Aankomstintensiteit (aantal/tijdseenheid): λ zelfde! 7 september 2011

Bedieningsproces Bedieningstijden stochastisch of deterministisch? Bijv. normaal verdeeld of exponentieel verdeeld? Volgorde van bediening Eerste eerst? Laatste eerst? Snelste eerst? Urgentste eerst? Bedieningsintensiteit (aantal/tijdseenheid): µ FIFO Postkantoor LIFO Personeelsverloop SIRO Wachtkamer ziekenhuis ;-) SPT Machine orders PR Klantenorders (belangrijke klanten eerst) 7 september 2011

Aantal parallelle servers Ieder wachtrijsysteem heeft slechts één wachtrij Anders meerdere wachtrijsystemen Meerdere servers zijn wel mogelijk 1<#servers<, aantal servers: letter c Selfservice in de supermarkt is wachtrijsysteem met oneindig aantal servers Klanten zijn de servers, de producten liggen te wachten tot ze gepakt worden. 7 september 2011

Capaciteit van het systeem Totale aantal klanten in de wachtrij en bij de loketten Bij eindige capaciteit Klanten gaan terug naar doelgroep als wachtrij vol Effectieve aankomsten  Werkelijke aankomsten Bijvoorbeeld Bellen van klantenservice (in gesprek bij volle rij) Numerus fixus voor studie geneeskunde Opslag in fietsenwinkel 7 september 2011

Omvang van de doelgroep Eindig of oneindig groot? Oneindig als groep potentiële klanten is groot Klanten in systeem verwaarloosbaar t.o.v. doelgroep Restaurant, OV-reisinformatie, Postkantoor, etc. Eindige doelgroep Aantal aankomsten hangt af van aantal klanten in systeem Computers te repareren door de helpdesk, #patiënten op een ziekenhuisafdeling, etc. 7 september 2011

Notatie van Kendall A/B/c/N/K waarin: A Verdeling aankomsttussentijd B Verdeling bedieningstijd c Aantal servers N Capaciteit van het systeem K Omvang van de doelgroep Afkortingen verdelingen: M Exponentieel D Constant of deterministisch Ek Erlang G Random of algemeen 7 september 2011

Nu een beetje dieper 7 september 2011

Wet van Little Behoudsvergelijking Gemiddelde tijd in systeem Gemiddeld aantal klanten Aankomstintensiteit 7 september 2011

Gemiddelde wachttijd: Wq prestatiecriteria Gemiddelde tijd in wachtrij Gemiddelde bedieningstijd Gemiddelde tijd in systeem 7 september 2011

Gemiddelde # klanten in wachtrij: Lq prestatiecriteria Bezettingsgraad server Totaal # klanten in systeem Little’s vergelijking voor de wachtrij 7 september 2011

Gemiddeld # klanten in systeem Prestatiecriteria M/M/1 7 september 2011

Oefening 1: Kantine met 1 kassa Gemiddeld komt er één klant aan per minuut (Poisson verdeeld) Gemiddelde bedieningstijd is 40 seconde per klant (exponentieel verdeeld) Bepaal … Kendall notatie Gemiddelde tijd in systeem? Gemiddelde wachttijd? Gemiddeld aantal klanten in de rij? Kans dat er precies 5 klanten in systeem zijn? 7 september 2011

Bedieningsproces Wie is er aan de beurt Bedieningsvolgorde: FIFO First In, First Out LIFO Last In, First Out SIRO Service In Random Order SPT Shortest Processing Time first PR Service according to Priority Bedieningstijden stochastisch of deterministisch? Bijv. normaal verdeeld of exponentiëel verdeeld? m is de bedieningsintensiteit (bijv. 12 klanten/uur) 1/m is de gemiddelde bedieningstijd (5 minuten) 7 september 2011

Bedieningsvolgorde versus Prestatie wachtrijsysteem Bedieningsvolgorde heeft geen invloed op Bezettinggraad Totale tijd in het systeem Gemiddelde wachttijd Totaal aantal klanten in het systeem Gemiddelde lengte wachtrij Bedieningsvolgorde heeft alleen invloed op Variantie van de wachttijd 7 september 2011

Oefening 2 Wat is de klantenvolgorde als als bedieningsvolgorde “Shortest processing time first” wordt gebruikt? Welke andere bedieningsvolgorde zou hetzelfde resultaat geven? Wat is de gemiddelde wachttijd? (Wq) Wat is het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij? (Lq) Klant Aankomsttijd Bedieningstijd Prioriteit 1 2 3 1.5 0.75 4 1.75 0.5 5 2.75 7 september 2011

SPT LIFO Voorbeeld l = 4 (Poisson) m = 6 (Poisson) c = 1 N = 50 Klanten SPT L = 2.6 Lq = 1.7 LIFO L = 3.2 Lq = 2.9 --Systeem --Wachtrij --Server 7 september 2011

SPT LIFO Voorbeeld l = 4 (Poisson) m = 6 (Poisson) c = 1 w = 31 N = 50 klanten SPT w = 31 wq = 20 LIFO --Tijd in systeem --Tijd in wachtrij --Bedieningstijd w = 38 wq = 27 7 september 2011

Systeem met meer servers...  bezettingsgraad systeem P0 kans op 0 klanten in systeem Pn kans op n klanten in systeem L gem. aantal klanten in systeem w gemiddelde tijd dat klant in systeem is wQ gemiddelde tijd in wachtrij LQ gemiddelde lengte wachtrij L-LQ gem. aantal bezette balies 7 september 2011

Systeem met 4 servers: c=4 7 september 2011

Het systeem met 4 balies in Arena 7 september 2011

Berekende waarden 4 balies, =40/uur, =12/uur M/M/4  bezettingsgraad 0.83 P0 kans op 0 klanten in systeem 3 % L gem. aantal klanten in systeem 5.5 w gemiddelde tijd dat klant in systeem is 8.25 min wQ gemiddelde tijd in wachtrij 5.5/40 -1/12 = 0.054 uur = 3.25 min LQ gemiddelde lengte wachtrij 2.16 L-LQ gem. aantal bezette balies 3.33 7 september 2011

Simulatie Met grafen en wachttijdtheorie kunnen bepaalde problemen analytisch worden opgelost maar wat als: het systeem zo complex is dat het ondoenlijk is de beste oplossing analytisch te berekenen er veel oplossingen berekend moeten worden en het berekenen veel tijd kost snel een oplossing nodig is en er geen tijd is voor berekeningen inzicht verschaft moet worden aan een opdrachtgever over de analyse en de oplossingen Werkelijkheid TB-problemen is meestal zo complex dat alleen simulatie gebruikt kan worden 7 september 2011

Handsimulatie Kunnen we een dergelijk proces in een wachtrijsysteem ook met de hand uitvoeren? Laten we een voorbeeld uitproberen met de groep... 7 september 2011

Voorbeeld Simulatie met de hand Proces in b.v. postkantoor Klanten komen uniform verdeeld aan: tussentijd discreet tussen 1 en 6 minuten Klanten hebben een bedieningstijd: 1 op de 6 klanten 1 minuut, 1 op de 2 klanten 2 minuten, 1 op de 3 klanten 5 minuten 7 september 2011

Bouw van een simulatiemodel Veel soorten simulatietalen In 2e jaar: ARENA (v/a 2012 Simio) uitgebreid behandeld Andere simulatietalen worden getoond Voorbeeld: hoe wordt een model van de M/M/c wachtrij met 40 aankomsten per uur, 4 loketten en 5 minuten per bediening gesimuleerd? 7 september 2011

Voorbeeld handsimulatie in Arena eventueel samennemen 7 september 2011

Interface Arena Menu en knoppenbalken Modelleerveld Spreadsheetveld 7 september 2011 Project-bar

Eenvoudig Arena model 7 september 2011

Gesimuleerde waarden 40 aankomsten per uur, 4 loketten en 5 minuten per bediening berekend simulatie  bezettingsgraad 0.83 3.36/4 = 0.84 P0 kans op 0 klanten in systeem 3 % - L gem. aantal klanten in systeem 5.5 2.24+3.36 = 5.6 w gemiddelde tijd klant in systeem 8.25 min 8.47 min wQ gemiddelde tijd in wachtrij 5.5/40 -1/12 = 0.054 uur = 3.25 min 3.39 min LQ gemiddelde lengte wachtrij 2.16 2.24 L-LQ gem. aantal bezette balies 3.33 3.36 7 september 2011

Gesimuleerde waarden wachtrij Zijn ze precies hetzelfde? Zo nee, waarom niet? Is de simulatie wel valide? Hoe bepalen we dat? Hoe lang moeten we draaien om een bepaalde betrouwbaarheid te bereiken? Wat is de invloed van de lengte van de simulatie? Wat is de invloed van het “leeg starten”? 7 september 2011

Verkorten wachttijden De theorie leert ons dat de wachttijd verkort kan worden door het: Reduceren aantal aankomsten per tijdseenheid Reduceren bedieningstijd Verhogen aantal servers Verlagen spreiding in aankomsten Verlagen spreiding in bedieningstijd Veranderen van de volgorde voor helpen van klanten 7 september 2011

Conclusie wachtrijen en simulatie Murphy heeft gelijk Maar we kunnen er wel wat aan doen! 7 september 2011

Wanneer zit dit in het programma? Basis in het eerste jaar: analyse statistiek modelleertechnieken Colleges aan het begin van het 2e jaar discrete wiskunde simulatie Gebruik in 2e en 3e jaar project discreet modelleren Bachelor project 7 september 2011

Voorbeelden recente simulatiestudies (Alle voorbeelden hieronder zijn afstudeerstages bij Systeemkunde 2010-2011) Verbeteren bagagesysteem E-kelder Schiphol Plaatsing nieuwe remises voor trams bij de HTM Doorrekenen logistiek nieuw schip voor pijpenleggen Heerema Simulatie voor risicomanagement Heerema Visualisatie en simulatie kosten gebruik van opvouwbare containers Gedistribueerde simulatie en serious games voor ProRail Simulaties voor kadeprocessen Maersk containerterminal Rotterdam Doorrekenen wachtlijstproblematiek bij Jeugdzorg Verbeteren doorlooptijd laboratorium Reinier de Graaf ziekenhuis Verbeteren laad- en losprocessen Norfolkline terminal Vlaardingen Personeelsdoorstroming verbeteren bij grote organisaties (Accenture) Verbeteren voorraadposities bij Proctor & Gamble Pet Food Just-in-Time voorraadstrategie voor KLM motorenonderhoud Verbeteren prestaties fabricagelijn Ford in Engeland 7 september 2011

Opdracht 3e en 4e uur (v/a 10:45) Vorm groepen van 5 studenten TBM vleugel “D” Logistieke problemen kleine opgave theoretische berekening handsimulatie met dobbelstenen Arena model simulatie Schiphol grensfilter met Arena simulatie Eiffeltoren met Arena 1 computer per groep 1 antwoordblad per groep inleveren 7 september 2011