BiO-M Wiskundig Modelleren

Presentatie over: "BiO-M Wiskundig Modelleren"— Transcript van de presentatie:

1 BiO-M Wiskundig Modelleren
Hoorcollege 3 Kans- en wachtrijmodellen BiO-M Wiskundig Modelleren

2 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Onderwerpen Kansen Kansmodellen Wachtrijsystemen Aannames Verdelingen BiO-M Wiskundig Modelleren

3 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Kansen Relatieve frequentie “zweetkansen” Wiskundige modellen “weetkansen” Subjectieve schattingen “zwetskansen” BiO-M Wiskundig Modelleren

4 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Kansbepaling 1 Een schaamteloze fabrikant weet dat in een doos van 12 lampen die hij verkoopt aan een klant er 4 zitten die niet werken. De fabrikant wordt nerveus als de klant eist dat hij er drie uithaalt om te testen of ze het doen. Wat is de kans dat precies één van de drie het niet doet? BiO-M Wiskundig Modelleren

5 Antwoord kansbepaling 1
1e lamp 2e lamp 3e lamp 3 2 1 # kapot k g k g k g BiO-M Wiskundig Modelleren

6 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Kansbepaling 2 Wat is de kans dat in een gegeven groep van willekeurig gekozen personen er tenminste 2 op dezelfde dag van het jaar geboren zijn? BiO-M Wiskundig Modelleren

7 Antwoord kansbepaling 2
Stel de groep bestaat uit n personen P(tenminste 2 op zelfde dag jarig) = 1- P(niemand op zelfde dag jarig) = 1 n = 50  P(tenminste 2 op zelfde dag jarig) = 0,975 BiO-M Wiskundig Modelleren

8 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Kansmodellen Stochast: toevalsvariabele Discrete stochast  kansverdeling P(x = k)  0  P(x = k) = 1 Continue stochast  kansdichtheid f(x)  0, voor alle x BiO-M Wiskundig Modelleren

9 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Wachtrijsysteem grootte “Calling population” Wachtrij Service mechanisme Output wachtrijsysteem service-faciliteiten ... loketten aankomstproces gedrag Wachtrij-discipline bedieningsproces BiO-M Wiskundig Modelleren

10 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Kendalls notatie Aanduiding wachrijsysteem a/b/c a: verdeling aankomsttussentijden (aankomstproces) b: verdeling bedieningstijden (bedieningsproces) c: aantal loketten BiO-M Wiskundig Modelleren

11 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Aannames Oneindig grote “calling population” Aankomstproces: Poissonproces Gedrag geen weigering wachtrij niet weggaan voordat men geholpen is Wachrij-discipline: FIFO Bedieningsproces: negatief exponentieel 1 service-faciliteit, evt. meerdere loketten BiO-M Wiskundig Modelleren

12 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Poisson-proces Gebeurtenissen zijn onafhankelijk van elkaar Gemiddeld aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is constant  = gemiddeld aantal gebeurtenissen BiO-M Wiskundig Modelleren

13 Negatief-exponentiële verdeling
BiO-M Wiskundig Modelleren

14 Eigenschappen neg-exp verdeling
Geen geheugen de resterende tijd tot de volgende gebeurtenis is altijd hetzelfde, ongeacht hoeveel tijd al verstreken is Relatie Poisson-proces indien gebeurtenissen volgens Poisson-proces gebeuren, dan zijn de tijden tussen de gebeurtenissen negatief-exponentieel verdeeld verwachte aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is  BiO-M Wiskundig Modelleren

15 Beschouwde wachrijsystemen: M/M/k
Aankomsten Poisson-proces gemiddeld  aankomsten per tijdseenheid tussen-aankomsttijden zijn neg-exp verdeeld (1/ ) Bediening neg-exp verdeeld gemiddelde bedieningstijd 1/ aantal bedieningen per tijdseenheid Poisson-verdeeld () k loketten BiO-M Wiskundig Modelleren

16 Toestanden van het systeem
Transient state wachtrij-systeem is net opgestart toestand van het systeem is erg afhankelijk van hoeveel tijd er verstreken is formules zijn niet bruikbaar Steady state wachtrij-systeem functioneert al enige tijd toestand van het systeem is stabiel formules zijn bruikbaar BiO-M Wiskundig Modelleren

17 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002
Waarschuwingen Waag geen sprong in het duister Alleen volgens handleiding gebruiken Een menukaart is niet eetbaar Legaliseer polygamie Pygmalion BiO-M Wiskundig Modelleren