Thema 1 Wiskunde, rekenen of problemen oplossen? Bruno Sagaert - OVSG Fien Depaepe – K.U.Leuven Jos Willems – AKOV

Bruno Sagaert Begeleiding OVSG

READER 2010 HOOFDREKENEN HOOFDSTUK 1 ONDERZOEK

1 Onderzoeksvragen 1 OVSG-toets 2010 hoofdrekenen Hanteren leerlingen standaardprocedures? Hanteren ze flexibele procedures waar dit is aangewezen? Gebruiken ze visuele hulpmiddelen? Welke procedures leiden tot correcte resultaten? Is er een correlatie tussen bepaalde procedures en goede resultaten? Waarop maken leerlingen veel fouten? Welke fouten maken die leerlingen dan? Kwantitatieve analyse van 15 hoofdrekenoefeningen bij 490 leerlingen Kwalitatieve analyse van 10 oefeningen bij 292 leerlingen

2 Analyse 1 Optellen Vraag 2 0,125 + 2 = 5 Legenda P1: breuk  kommagetal P2: kommagetal  breuk via kgv (40) P3: idem 2, maar andere noemer P4: idem 2, maar tiendelige breuk P5: idem 2, 3 of 4 maar uitkomst omzetten naar kommagetal P6: geen tussenuitkomsten P7: andere Meer dan de helft van de leerlingen zet de breuk om naar een kommagetal.  Rekenen de leerlingen liever met kommagetallen dan met breuken?

2 Analyse 1 Optellen Vraag 2 0,125 + 2 = 5 Legenda F1: niet opgelost F2: geen tussenuitkomsten F3: fout in goed gekozen procedure F4: keuze van verkeerde procedure F5: fout tegen nauwkeurigheid Een eenvoudige oefening, toch maakt 30% van de leerlingen een fout. Wie een fout maakt, kiest meestal een goede procedure maar maakt daarbij een rekenfout. Het niet noteren van tussenuitkomsten leidt ook tot fouten. Maken leerlingen rekenfouten omdat ze geen tussenuitkomsten noteren?

2 Analyse 1 Optellen Vraag 2 0,125 + 2 = 5

2 Analyse 2 Aftrekken Vraag 4 1 000 000 – 100 100 = Bijna 44% maakt een fout  Moeilijke oefening? Is aftrekken moeilijker dan optellen?

2 Analyse 2 Aftrekken Vraag 4 1 000 000 – 100 100 = Legenda P1: aftrekker splitsen P2: geen tussenuitkomsten genoteerd P3: andere

2 Analyse 2 Aftrekken Vraag 4 1 000 000 – 100 100 =

2 Analyse 2 Aftrekken Vraag 4 1 000 000 – 100 100 = Legenda F1: niet opgelost F2: geen tussenuitkomsten F3: fout in goed gekozen procedure F4: keuze van verkeerde procedure F5: fout tegen nauwkeurigheid Vooral veel rekenfouten in goed gekozen procedure (splitsen aftrekker) Niet noteren van tussenuitkomsten leidt tot fouten!? Rekenen met grote getallen met nullen is moeilijk.

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 8 1 x 4 = 4

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 8 1 x 4 = 4 Legenda P1: toepassen commutativiteit P2: visuele voorstelling gebruiken P3: toepassen gelijkwaardigheid ¼ x 4 = ¼ van 4 P4: breuk  kommagetal P5: geen tussenuitkomsten P6: andere Ruim ¼ van de leerlingen ‘ziet’ direct de uitkomst. Ruim ¼ van de leerlingen vervangt ¼ door 0,25. Ruim ¼ van de leerlingen past de commutativiteit toe.

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 8 1 x 4 = 4 Legenda F1: niet opgelost F2: geen tussenuitkomsten F3: fout in goed gekozen procedure F4: keuze van verkeerde procedure F5: fout tegen nauwkeurigheid 40% noteert geen tussenuitkomsten. Ruim ¼ maakt een fout in een goed gekozen procedure, vooral dan bij breuk vervangen door kommagetal. 1/5 kiest een verkeerde procedure.

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 9 0,5 x 0,5 =

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 9 0,5 x 0,5 = Legenda P1: kommagetallen  breuken P2: gebruik van visuele voorstelling P3: toepassen gelijkwaardigheid 0,5 x 0,5 = ½ x ½ = ½ van ½ P4: toepassen rekenvoordeel: vermenigvuldigen met 0,5 = delen door 2 P5: compenseren (5 x 5) P6: waarde getallen behouden (5t x 5t) P7: geen tussenuitkomsten P8: andere Ruim 40% noteert geen tussenuitkomsten Daarnaast vooral: compenseren en toepassen rekenvoordeel

2 Analyse 3 Vermenigvuldigen Vraag 9 0,5 x 0,5 = Legenda F1: niet opgelost F2: geen tussenuitkomsten F3: fout in goed gekozen procedure F4: keuze van verkeerde procedure F5: fout tegen nauwkeurigheid Het niet noteren van tussenuitkomsten leidt tot fouten. Ruim 1/5 maakt een fout in een goed gekozen procedure:  vooral het compenseren (komma’s wegdenken) leidt tot fouten.

Het Bronnenboek

2 Analyse 4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ? 15 x 49 =

2 Analyse 4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ? Legenda P1: vermenigvuldiger splitsen P2: vermenigvuldigtal splitsen P3: beide factoren splitsen P4: werken met ‘mooie’ getallen (compenseren) P5: geen tussenuitkomsten P6: andere Bijna de helft splitst de vermenigvuldiger. Veel minder: splitsen vermenigvuldigtal of splitsen beide factoren. Maar 17% ‘compenseert’ (bv. 15 x (50 – 1) ) komt toch veelvuldig voor in de methodes.

2 Analyse 4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ? Legenda F1: niet opgelost F2: geen tussenuitkomsten F3: fout in goed gekozen procedure F4: keuze van verkeerde procedure F5: fout tegen nauwkeurigheid 25% fouten bij niet noteren van tussenuitkomsten 18 % kiest een verkeerde procedure. 27,9% hanteert een juiste procedure (vooral splitsen van de vermenigvuldiger), maar gaat in de fout.

2 Analyse 4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ?

3 Wat hebben we geleerd? Noteren van tussenuitkomsten Gemiddeld 30% van de leerlingen noteert geen tussenuitkomsten. Bij 7,5% leidt dit tot fouten. Zijn de leerlingen het niet gewoon om tussenuitkomsten te noteren? Vragen / eisen we dit van de leerlingen?

3 Wat hebben we geleerd? Standaardprocedures Ruim 50% van de leerlingen hanteert standaardprocedures. Meestal leidt dit tot een correct antwoord (84%). Flexibel rekenen zien we veel minder toegepast worden. Is het aanleren van en werken met standaardprocedures ‘standaard’ in ons wiskundeonderwijs?

3 Wat hebben we geleerd? Procedures die vlugger leiden tot een correct resultaat Standaardprocedures Breuk omzetten naar kommagetal Toepassen van de commutativiteit

3 Wat hebben we geleerd? Gebruik van visuele hulpmiddelen Wordt nagenoeg niet toegepast Niet echt ingeburgerd? Vinden leerlingen dit moeilijk? Eerder in de lagere leerjaren?

Fien Depaepe Wetenschappelijk onderzoek, KULeuven

Problemen oplossen in het BaO Positieve resultaten Gewenste veranderingen Zoekstrategieën Betekenisvolle toepassingssituaties Opvattingen en attitudes

1. Zoekstrategieën Goed ingeburgerd op alle niveaus Suggestie: niet enkel “wat”, maar ook “hoe” en “waarom”

Illustratie Om een vierkant grasplein met een zijde van 40 meter te maaien, heeft tuinman Jef 3 uur nodig. Hoeveel uur zal hij ongeveer nodig hebben om een ander vierkant grasplein te maaien met een zijde die dubbel zo lang is?

2. Betekenisvolle toepassingssituaties Realistische contexten Suggestie: Naast standaardopgaven ook “probleem”opgaven Valoriseren van ervaringskennis Opbouw wiskundig model Interpretatie uitkomst

Illustratie

Illustratie

3. Opvattingen en attitudes Meerdere oplossingswegen per opgelost vraagstuk Suggestie: Expliciteren van gewenste opvattingen/attitudes Installeren van overeenkomstige praktijken

Contactgegevens Fien Depaepe Centrum voor onderwijsbeleid, -vernieuwing en lerarenopleiding KULeuven fien.depaepe@ped.kuleuven.be

Jos Willems AKOV

Rekenen, wiskunde of problemen oplossen? Aandachtspunten betekenisvolle herleidingen omtrek, oppervlakte en volume Oplossen problemen in het secundair onderwijs

Betekenisvolle herleidingen (1) 2009: 41% , 2002: 56% Basisopgave (67%) 1 ananas 400 ml sap; ? ananassen 2 liter sap Bijkomende opgave (29%) 23 140 000 m² = … km²

Betekenisvolle herleidingen (2) Oorzaken : systematiek? hm, dam herleidingstabel onvolledig zelf opstellen km 100 m 10 m m dm cm mm

Omtrek, oppervlakte, volume (1) Dimensieprobleem Illusie van lineariteit (De Bock e.a.) X 3 6 ml ? ml

Omtrek, oppervlakte, volume (2) Oorzaken illusie van lineariteit: intuïtie overtuiging ‘elke toename is lineair’ hiaten in de kennis puur baseren op formules Hoe hieraan werken? uittesten verspreiden in de tijd Ook voor omtrek, oppervlakte, volume?

Oplossen van problemen (1) Van Nijlen (2010): B-stroom, vragen peilingsonderzoek kale opgaven en contextopgaven meten niet dezelfde wiskunde andere vaardigheden zijn vereist

Oplossen problemen (2): BaO Verschaffel e.a. (1998)

Oplossen problemen (3): Singapore

Oplossen problemen: SeO B-stroom: instrumentele vaardigheden A-stroom: algebraïsche methoden Leerlijn vanuit basisonderwijs doortrekken? B-stroom: wiskundig redeneren? A-stroom: alternatief voor / motiveren van algebraïsche methoden? gemengde oefeningen, oplossingswijzen?

Elementen voor het debat 1a Probleemoplossen voor iedereen? 1b Gemengde oefeningen 1c Zoekstrategieën 1d Reflecteren 1e Betekenisvolle herleidingen 1f Omtrek, oppervlakte en volume