Groepen toegepast op puzzels Jaap Scherphuis Jaap’s Puzzle Page: http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/ 23 April 2007

1. Schuifpuzzels 15 genummerde stukjes. Noem opening nummer 16. Iedere positie is een permutatie van begin positie. Groep van schuifbare permutaties is ondergroep van S16 schaakbord kleuren iedere zet verandert kleur van 16 een even aantal zetten als 16 terug op plaats. iedere zet is een verwisseling (van 16 en een ander stuk) een even aantal verwisselingen als 16 op plaats Conclusie: een even permutatie, dus oneven permutatie van stukjes niet mogelijk. Permutatiegroep van de 15 genummerde stukjes is A15

1. Schuifpuzzels Enkele verwisseling niet mogelijk. Of toch wel? “Rate your mind pal” heeft twee identieke letters R. Stiekeme verwisseling van de R: (R1 R2)(L A) is een even permutatie. 3d schuifpuzzel: Babylon Tower Geen identieke stukjes. Enkele verwisseling toch mogelijk. Draaien v. e. schijf: 6-cyclus, oneven permutatie.

2. Kubus van Rubik Het is een permutatie puzzel: Iedere positie is een permutatie van de 54 stickers. Een ondergroep van S54 Groep van permutaties wordt voortgebracht door de 6 zetten. Grubik = <F,B,L,R,U,D> In het algemeen: Gpuzzel = < de set van zetten > Niet alle permutatie puzzels worden zo makkelijk gemodelleerd. Voorwaarden: Iedere zet kan altijd worden toegepast Tegenvoorbeeld: schuifpuzzel Iedere zet kan direct ongedaan worden gemaakt d.w.z. Inverse van een zet is ook een zet Tegenvoorbeeld: Atomic Chaos

2. Kubus van Rubik Iedere reeks van zetten vormt dus een permutatie Niet alle permutaties zijn een reeks van zetten. triviaal: stickers verwisselen. niet triviaal: puzzel uit elkaar halen, in elkaar zetten. Hoeveel mogelijke standen heeft een in elkaar gezette kubus? Hoekblokjes: 8! 38 Randblokjes: 12! 212 Totaal: 8! 38 12! 212 = 519,024,039,293,878,272,000 Niet allemaal oplosbaar! Welke wel/niet?

2. Kubus van Rubik 1. 1 randblokje gedraaid is onmogelijk. Iedere zet is twee 4-cyclussen van rand stickers dus iedere zet is een even permutatie van randblok-stickers dus iedere reeks zetten is een even permutatie van die stickers gedraaid blokje is 1 verwisseling, dus oneven, dus niet reeks zetten 2. 2 blokjes verwisselen is onmogelijk. Iedere zet is twee 4-cyclussen van blokjes dus iedere zet is een even permutatie van blokjes dus iedere reeks zetten is een even permutatie van blokjes 1 verwisseling is oneven, dus niet een reeks zetten 3. 1/3 draai van een enkel hoekblokje is onmogelijk. [Bewijs weggelaten] Dit zijn de enige restricties op de kubus.

2. Kubus van Rubik Als je een willekeurig in elkaar gezette kubus oplost krijg je een van de volgende 12 standen die niet verder op te lossen zijn. Omgekeerd, is iedere positie één van deze representatieve standen waarop een reeks zetten (permutatie uit G) is toegepast. Noem deze standen a1, a2, …, a12.

2. Kubus van Rubik Iedere positie is één van deze representatieve standen waarop een reeks zetten (permutatie uit G) is toegepast. G werkt op set van alle posities. Er zijn dan 12 banen, Ga1....Ga12. Definitie: Werking is vrij, betekent: als g in G, a in A, ga=a, dan g=e. Of omgekeerd: als g≠e, dan ga≠a voor alle a in A Hier is dat zo – alle niet-triviale permutaties hebben zichtbaar effect op alle posities. Verschillende permutaties (toegepast op bijv. een opgeloste kubus) leveren verschillende posities op. [Bewijs weggelaten] Gevolg: Baan Ga1 = { ga1 | g in G } heeft #G verschillende elementen. De 12 banen zijn allemaal even groot. Iedere baan heeft hier even veel elementen, nl. 8! 38 12! 212 / 12 = 43,252,003,274,489,856,000 Dus #G = 43,252,003,274,489,856,000

3. Drie-kleuren Kubus G werkt op de verzameling van posities. Werking is niet vrij: soms lijkt een permutatie geen effect te hebben. H verzameling permutaties in G die geen zichtbaar effect hebben op beginstand (de stabilisator van beginstand a). H is een ondergroep van G. Beginstand a, dan is baan Ha de verzameling van alle identiek uitziende beginstanden. We passen een permutatie g uit G toe en krijgen gHa, een verzameling standen die er allemaal hetzelfde uit zien als ga. Oftewel, nevenklasse gH is een verzameling permutaties die, wanneer toegepast op de beginstand a, er hetzelfde uitzien. De werking (op beginstand a) hebben we nu eigenlijk niet meer nodig. Iedere nevenklasse van H stelt dus een positie van de puzzel voor met H zelf als beginstand. G werkt hierop door links-vermenigvuldiging.

3. Drie-kleuren Kubus Hoe groot is H? Hoeken: 4!2 38 Randen: 4!3 212 Totaal: 4!2 38 4!3 212 #H = 4!2 38 4!3 212 /12 Hoeveel posities heeft deze puzzel? Aantal posities = = aantal nevenklassen = [G:H] (per definitie) = #G / #H (Lagrange) = [ 8! 38 12! 212 / 12 ] / [ 4!2 38 4!3 212 /12 ] = 8!/4!2 12!/4!3 = 2,425,500 Factor 12 wordt weggestreept. Nu geen restricties meer! Kan dus ogenschijnlijk 2 blokjes wisselen.

4. Hoe worden deze puzzels opgelost? Er zijn 3 technieken. 1. Herhaling: Als g een permutatie is met disjuncte cyclussen van verscheidene lengtes, dan zal gn minder cyclussen hebben voor sommige n. Bijvoorbeeld: g = (1 2)(3 4 5) g2 = (1 2)(3 4 5)(1 2)(3 4 5) = (1 2)2 (3 4 5)2 = (3 4 5)2 = (3 5 4) g3 = (1 2)(3 4 5)(1 2)(3 4 5)(1 2)(3 4 5) = (1 2)3 (3 4 5)3 = (1 2)3 = (1 2)

4. Hoe worden deze puzzels opgelost? 2. Conjugatie Stel h is een nuttige permutatie, bijv. een 3-cyclus van stukjes. Dan is g-1 h g ook een 3-cyclus, maar van andere stukjes. De g brengt stukjes naar de plaats waar h ze kan wisselen, g-1 zet alles weer terug. Dus g is een reeks set-up zetten zodat h zijn werk kan doen. Conjugatie behoudt altijd de cyclus structuur van een permutatie. Maar je moet eerst dus nog een nuttige permutatie h vinden.

4. Hoe worden deze puzzels opgelost? 3. Commutatie Als g en h commuteren, g h = h g, dan hebben we h-1 g-1 h g = h-1 g-1 g h = h-1 h = e h-1 g-1 h g is de commutator van g en h. Als g en h niet commuteren, maar wel bijna, dan heeft de commutator een klein, vaak bruikbaar, effect.

5. Centrum van de kubus groep Centrum: Z(G) = { h in G | gh=hg voor alle g in G } Set van elementen die overal mee commuteren. gh=hg → h = g-1 h g Dus centrum element h blijft onveranderd onder elke conjugatie. Z(Sn) = {e} als n>2 Z(An) = {e} als n>3 Sn en An zijn 2-transitief. Zoveel keus voor de 'set-up' g dat alleen de identiteit mogelijk is voor h. h in centrum van kubus groep kan dus geen blokjes van hun plaats laten bewegen. h moet ook alle hoekblokjes even veel draaien. h moet ook alle randblokjes even veel draaien. Rest alleen de "superflip".