BiO-M Wiskundig Modelleren BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 4 Differentie- en differentiaalvergelijkingen

BiO-M Wiskundig Modelleren Onderwerpen z De rijkdom van Jane z Een eerste orde differentievergelijking z Oplossen van differentievergelijkingen z Hogere orde differentievergelijkingen z Een dieet z Een eerste orde differentiaalvergelijking z Scheiden van variabelen

BiO-M Wiskundig Modelleren Differentie- en differentiaalvergelijkingen z Wanneer zveranderingen over tijd spelen een rol z Veranderingen gebeuren in stapjes (discreet) zdifferentievergelijkingen z Veranderingen gebeuren continu zdifferentiaalvergelijkingen

BiO-M Wiskundig Modelleren Hoe Jane rijk werd z Een ouderpaar besluit bij de geboorte van hun dochter Jane elk jaar op haar verjaardag ƒ 200,- op haar spaarbankboekje te storten. De eerste storting vindt plaats op de dag van Jane’s geboorte. Buiten dit jaarlijkse spaarbedrag wordt er niets op de spaarrekening gestort. Evenmin wordt er voor Jane’s twintigste verjaardag een bedrag opgenomen van de rekening. Elk jaar wordt op Jane’s verjaardag een rente van 5% over het totale bedrag bijgeschreven

BiO-M Wiskundig Modelleren Opbouw van Jane’s vermogen  =  =  =    JaarVermogen Definieer: K n is het vermogen in jaar n Dan is:K n+1 - K n = 0.05  K n e orde differentie KnKn

BiO-M Wiskundig Modelleren Naamgeving  K n = K n  K n+1 - K n = K n  K n+1 = K n 1 e orde lineaire differentievergelijking lineaire recurrente betrekking

BiO-M Wiskundig Modelleren K n+1 = K n K 1 =  200 = 200( ) K 2 =  K 1 =  = 200( ) K 3 =  K 2 =  = 200( ) K n = 200( … n ) 200  ( ) 200  ( )

BiO-M Wiskundig Modelleren Jane’s vermogen in jaar n K n = 200( … n ) 1.05K n = 200( … n+1 ) K n - K n = 200(1.05 n+1 - 1)

BiO-M Wiskundig Modelleren Algemene oplossing 1 e orde vergelijking z 1 e orde lineaire differentievergelijking z  u n = a + (b-1).u n z 1 e orde lineaire recurrente betrekking zu n+1 = a + b.u n z Algemene oplossing:  Homogene differentievergelijking:  u n = (b-1).u n

BiO-M Wiskundig Modelleren Hogere orde differentievergelijkingen z Hogere orde differenties zverschillen van verschillen z  2 u n =  u n+1 -  u n = u n+2 - u n+1 - (u n+1 - u n ) = u n+2 - 2u n+1 + u n z Voorbeeld zY n+3 - 3Y n+2 + 8Y n+1 -4Y n = 0 z3e orde homogene lineaire differentievergelijking z3 beginvoorwaarden nodig

BiO-M Wiskundig Modelleren Afvallen z Door de toepassing van een streng dieet valt een persoon van 90 kg in 30 dagen 10 kg af. Er is vastgesteld dat het gewichtsverlies per dag evenredig was met het gewicht op dat moment. z Beschrijf het afvalproces door middel van een differentiaalvergelijking

BiO-M Wiskundig Modelleren Een afval differentiaalvergelijking z Definieer zx(t) is het gewicht op moment t z Dan is zx(t) de verandering in gewicht op moment t z Er geldt: x(t) =  x(t) =  x gewichtsverlies is evenredig met gewicht zelf

BiO-M Wiskundig Modelleren x(t) =  x z 1 e orde differentiaalvergelijking zalleen eerste afgeleide z Oplossen door scheiden van variabelen z 2 variabelen zxzx ztzt

BiO-M Wiskundig Modelleren Scheiden van variabelen

BiO-M Wiskundig Modelleren Bekende gegevens invullen Begingewicht: 90 kg In 30 dagen 10 kg afgevallen x(0) = 90 x(30) = 80