Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny 8C080 Algoritmen voor Medische Beeld Analyse Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny Faculteit Biomedische Technologie Biomedische Beeld Analyse www.bmia.bmt.tue.nl bmia.bmt.tue.nl/people/BRomeny Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis i(x) o(x) h(x) I() H() O() 8C120 College 4a Technische Universiteit Eindhoven

Gehoortest

Fourier analysis - overview 8C120 College 4a Fourier analysis - overview Vector calculus inproduct, norm, orthogonale vector sets vector als lineaire combinatie van set orthogonale vectors (basis set) Function calculus uitbreiding van deze concepten naar functies gedefinieerd op interval [a,b] Sinussen en cosinussen vormen een orthogonale set (basis set) Fourier series functie als som van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – vector calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte Definitie inproduct (u,v) (u,v) = u1v1+u2v2+…+unvn Definitie norm |u| |u| = (u,u)1/2 Eigenschap (u,v) = |u| · |v| · cos  u  v Voorbeeld in 2D Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – vector calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte Definitie inproduct (u,v) (u,v) = u1v1+u2v2+…+unvn Definitie norm |u| |u| = (u,u)1/2 Eigenschap (u,v) = |u| · |v| · cos  u  v Voorbeeld in 2D Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – vector calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – vector calculus Eigenschappen inproduct: (u,v) = (v,u) (ku,v) = k (u,v), met k een scalar (u,u) = 0, als u = 0 en (u,u) > 0, als u ≠ 0 (u+v,w) = (u,w) + (v,w) Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – vector calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – vector calculus Vectoren u en v orthogonaal als (u,v) = 0 In 2-D of 3-D: vectoren u en v staan loodrecht op elkaar: uv Een set vectoren is orthogonaal als alle vectoren orthogonaal t.o.v. alle andere vectoren in de set In n-D: maximum aantal orthogonale vectoren is n; enige overgebleven vector die orthogonaal is t.o.v. de set is de nul vector 0 Set met n orthogonale vectoren in n-D ruimte is complete Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – vector calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – vector calculus Iedere vector in n-D ruimte kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de vectoren in een orthogonale set: u=c1v1 + c2v2 + …… + cnvn Componenten c1 t/m cn kunnen worden gevonden m.b.v. inproduct: cn = (u,vn) / |vn|2 Hieruit volgt: Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – function calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – function calculus Functies f1(x) en f2(x) zijn goed gedefinieerd op het interval [a,b]. Het maak niet uit of we met tijdfuncties f(t), of plaatsfuncties f(x) werken. Definitie inproduct (f1,f2): Definitie norm |fn| = (fn,fn)½ Functies f1 en f2 zijn orthogonaal als (f1,f2) = 0. Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – function calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – function calculus Eigenschappen inproduct voor functies: (f1,f2) = (f2,f1) (k f1,f2) = k (f1,f2), met k een scalar (f,f) = 0, als f = 0 en (f,f) > 0, als f ≠ 0 (f1+f2,g) = (f1,g) + (f2,g) Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – function calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – function calculus Een set van functies {f0,f1,f2,...} is orthogonaal op interval [a,b] als (fm,fn) = 0, voor m ≠ n Een orthogonale set is compleet als de enig overgebleven orthogonale functie de functie f(x) = 0 is Het aantal functies in een complete orthogonale set is oneindig Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – function calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – function calculus Stel {f0,f1,f2,...} is een complete orthogonale set van functies op het interval [a,b] Functie g(x) op het interval [a,b] kan dan worden geschreven als lineaire combinatie van f0, f1, f2, ... g(x) = c0f0(x) + c1f1(x) + c2f2(x) + ... Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – function calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – function calculus g(x) = c0f0(x) + c1f1(x) + c2f2(x) + ... Componenten c0,c1,c2,... kunnen worden gevonden m.b.v. inproduct: Hieruit volgt: Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – function calculus 8C120 College 4a Fourier analysis – function calculus De beschrijving van een functie g(x) in termen van een complete orthogonale set functies {f0,f1,f2,...} wordt de gegeneraliseerde Fourier serie genoemd: Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [a,b] kan op deze manier worden beschreven. Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – sines and cosines 8C120 College 4a Fourier analysis – sines and cosines De set is orthogonaal op het interval [−, ]. Met behulp van de generalized Fourier series kan iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [−, ] worden beschreven in termen van deze set goniometrische functies Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – Fourier series 8C120 College 4a Fourier analysis – Fourier series Met de set als orthogonale basis set, geldt voor iedere goed gedefinieerde functie g(t) op het interval [[−, ]: Technische Universiteit Eindhoven

Fourier analysis – Fourier series 8C120 College 4a Fourier analysis – Fourier series met Dit is de Fourier reeks (Engels: ‘Fourier series’). Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [−, ] kan worden beschreven in termen van sinussen en cosinussen. De termen kunnen (relatief) eenvoudig worden berekend als functie g(x) wiskundig kan worden beschreven. Technische Universiteit Eindhoven

n=0 sin x sin x+1/3 sin 3x n=1 sin x+1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x n=2 sin x+1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x n=3