George Boole (1815 - 1864) The Mathematical Analysis of Logic (1847) An Investigation of the Laws of Thought (1854) BOOLEAANSE LOGICA.

Presentatie over: "George Boole (1815 - 1864) The Mathematical Analysis of Logic (1847) An Investigation of the Laws of Thought (1854) BOOLEAANSE LOGICA."— Transcript van de presentatie:

1 George Boole (1815 - 1864) The Mathematical Analysis of Logic (1847) An Investigation of the Laws of Thought (1854) BOOLEAANSE LOGICA

2 A Niet-A A is een deelverzameling van U. Niet-A  A = U.

3 BNiet-B B is ook een deelverzameling van U. Niet-B  B = .

4 ABA AND B A en B zijn beide sets in U. Ze overlappen elkaar voor een deel.

5 A AND B De overlap heet de doorsnede van A en B: A  B

6 A OR B De vereniging van A en B: A  B

7 A - B Het verschil A - B

8 B - A Het verschil B - A

9 A OR BA XOR B De exclusive OR is het absolute verschil van A en B: |A - B|

10 A AND B Niet-A OR Niet-B De Morgan: Niet-(A AND B) = Niet-A OR Niet-B. (A  B) = A  B

11 A OR B Niet-A AND Niet-B De Morgan: Niet-(A OR B) = Niet-A AND Niet-B. (A  B) = A  B

12 OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling OR =  AND = 

13 0  0 = 00  0 = 0 00 0 0 0 0 OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling

14 1  0 = 11  0 = 0 10 1 1 0 0 OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling

15 0  1 = 10  1 = 0 01 0 1 1 0 OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling

16 1  1 = 11  1 = 1 11 1 1 1 1 OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling

17 Resumerend. De Booleaanse Logica kent twee waarheidswaarden: False (0) en True (1). De belangrijkste logische operatoren zijn De doorsnee = AND =  De vereniging = OR =  De ontkenning = NOT =  De implicatie = THEN = Met behulp van deze operatoren kan de propositielogica bedreven worden.

18 Fuzzy Logic Lotfi A. Zadeh (1921) Fuzzy Sets (1965)

19 “laag” Drie Booleaanse sets “hoog” “gemiddeld” 25 0 1 8 µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

20 25 “laag” Drie Booleaanse sets 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

21 “laag” Drie Booleaanse sets “hoog” “gemiddeld” 25 0 1 8 µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

22 “laag” Drie Booleaanse sets “hoog” “gemiddeld” 25 0 1 8 µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

23 “laag” Drie Booleaanse sets “hoog” “gemiddeld” 25 0 1 8 µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

24 25 Percentage “laag” Drie fuzzy sets 0 1 µ “hoog” “gemiddeld” 8 µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

25 A = {} Beschouw de klassieke set A van het universum U. Een fuzzy set A wordt gedefinieerd als een set van geordende paren. Definitie van een Fuzzy Set

26 A = {x} Het is een binaire relatie van een element x… Definitie van een Fuzzy Set

27 A = {(x, µ)} en de lidmaatschapsgraad… Definitie van een Fuzzy Set

28 A = {(x, µ (x))} en de lidmaatschapsgraad van x … Definitie van een Fuzzy Set

29 en de lidmaatschapsgraad van x in A. A = {(x, µ (x))} A Definitie van een Fuzzy Set

30 Waarbij x behoort tot A. A = {(x, µ (x)) | x  A } A Definitie van een Fuzzy Set

31 En de lidmaatschapsgraad behoort tot het gesloten interval van 0 tot en met 1. A = {(x, µ (x)) | x  A, µ (x)  [0, 1] } AA Definitie van een Fuzzy Set

32 Beschouw de klassieke set A van het universum U. Een fuzzy set A wordt gedefinieerd als een set van geordende paren. Het is een binaire relatie van een element x en de lidmaatschapsgraad van x in A. Waarbij x behoort tot A. En de lidmaatschapsgraad behoort tot het gesloten interval van 0 tot en met 1. A = {(x, µ (x)) | x  A, µ (x)  [0, 1] } AA Definitie van een Fuzzy Set

33 Een fuzzy set A 0 1 x µ U A µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

34 0 1 µ (x) = 0.5 x Een fuzzy set A 0.5 µ A U µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

35 De regenboog als voorbeeld van een universele set met daarin subsets

36 Fuzzy roodFuzzy groenFuzzy blauwFuzzy oranje Dit zijn een aantal (sub)sets uit de universele set

37 25 “laag” 0 1 µ “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 1.0 laag µ ( x ) = 0.0 gemiddeld µ ( x ) = 0.0 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad x Percentage

38 25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.5 laag µ ( x ) = 0.5 gemiddeld µ ( x ) = 0.0 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

39 25 “laag” Bepaling van de lidmaatschapsgraad 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 1.0 gemiddeld µ ( x ) = 0.0 hoog µ Percentage x =

40 25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 0.8 gemiddeld µ ( x ) = 0.2 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

41 25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 0.6 gemiddeld µ ( x ) = 0.4 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

42 25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 0.4 gemiddeld µ ( x ) = 0.6 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

43 25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 0.0 gemiddeld µ ( x ) = 1.0 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

44 815 “laag” Soepel in te stellen op veranderdende normen 0 1 “hoog” “gemiddeld” 22 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 1.0 gemiddeld µ ( x ) = 0.0 hoog µ Percentage x =

45 Operatoren voor fuzzy sets De doorsnede = MIN ( µ (x), µ (x)) De vereniging = MAX ( µ (x), µ (x)) Het complement = 1- µ (x) De implicatie = A A A B B

46 Operatoren voor fuzzy sets A  B = MIN(A, B) 0 De doorsnede = Minimum

47 Operatoren voor fuzzy sets A  B = MAX(A, B) De vereniging = Maximum

48 Resumerend. Fuzzy Logic kent oneindig veel waarheidswaarden: variërend van 0 tot en met 1. De waarheidswaarde = lidmaatschapsgraad = µ. De belangrijkste logische operatoren zijn: De doorsnede = MIN (µ (x), µ (x)) De vereniging = MAX (µ (x), µ (x)) Het complement = 1- µ (x) De implicatie = A A A B B Met behulp hiervan kan approximate reasoning (= benaderend redeneren) bedreven worden.

49

50