vwo A Samenvatting Hoofdstuk 15

Hypothesen toetsen Een fabrikant van tennisballen maakt ballen waarvan het gewicht X in gram normaal verdeeld is met µ = 58 en σ = 2. Er is een nieuwe productiemethode ontwikkeld die goedkoper is en die volgens de afdeling research geen invloed heeft op het gewicht van de tennisballen. Een afnemer van de tennisballen twijfelt aan deze bewering. Je hebt hier te maken met twee hypothesen: H0 : µ = 58 (de nieuwe productiemethode heeft geen invloed op het gewicht) en H1 : µ ≠ 58 (de nieuwe methode beïnvloedt het gewicht). Bij het toetsen van hypothesen doe je op grond van een steekproefresultaat een uitspraak over het al dan niet verwerpen van H0. 15.1

Belangrijke begrippen nulhypothese H0 : µ = 58 alternatieve hypothese H1 : µ ≠ 58 toetsingsgrootheid = het steekproefgemiddelde beslissingsvoorschrift Verwerp H0 als ≤ gl of ≥ gr. significantieniveau α De kans dat H0 ten onrechte verworpen wordt is hoogstens α, ofwel P( ≤ gl of ≥ gr) ≤ α bij 15.1

Overschrijdingskans Op grond van een steekproefresultaat besluit je H0 al dan niet te verwerpen. Er zijn twee situaties te onderscheiden. Het steekproefresultaat is bekend. Bereken de overschrijdingskans van het steekproefgemiddelde. Is deze kans kleiner dan 0,5α, dan verwerp je H0. Is gegeven dat = 56,6, dan is de overschrijdingskans P( ≤ 56,6), want 56,6 < µ. Is gegeven dat = 58,7, dan is de overschrijdingskans P( ≥ 58,7), want 58,7 > µ. Het steekproefresultaat is niet bekend. Stel het beslissingsvoorschrift op en bereken gl en gr. 15.1

Eenzijdige en tweezijdige toetsen Linkszijdige toets: H0 : µ = µ0 tegen H1 : µ < µ0 Verwerp H0 als ≤ g met g zo, dat P( ≤ g ) = α. Rechtszijdige toets: H0 : µ = µ0 tegen H1 : µ > µ0 Verwerp H0 als ≥ g met g zo, dat P( ≥ g ) = α. Tweezijdige toets: H0 : µ = µ0 tegen H1 : µ ≠ µ0 Verwerp H0 als ≤ gl of ≥ gr met gl zo, dat P( ≤ gl ) = 0,5α en gr zo, dat P( ≥ gr ) = 0,5α 15.2

Overschrijdingskans van het steekproefgemiddelde Bij H0 : µ = 25 en H1 : µ < 25 is de overschrijdingskans van 23 gelijk aan P( ≤ 23) H1 : µ > 25 is de overschrijdingskans van 28 gelijk aan P( ≥ 28) H1 : µ ≠ 25 is de overschrijdingskans van 28 gelijk aan P( ≥ 28) en is de overschrijdingskans van 23 gelijk aan P( ≤ 23). Je verwerpt H0 als de overschrijdingskans kleiner is dan of gelijk is aan α (bij eenzijdig toetsen) de overschrijdingskans kleiner is dan of gelijk aan 0,5α (bij tweezijdig toetsen). 15.2

Toetsen van hypothesen Volg bij het toetsen van hypothesen de volgende stappen. Formuleer H0 en H1 en vermeld het significantieniveau α. Bereken de overschrijdingskans als het steekproefresultaat bekend is. Stel anders het beslissingsvoorschrift op. Beantwoord de gestelde vraag. Bedenk dat H0 de hypothese is die in twijfel wordt getrokken. Kies H0 altijd enkelvoudig, dus H0 : µ = µ0. 15.2

Binomiale toets Bij een binomiale toets heeft de nulhypothese de vorm H0 : p = p0. Is de toets linkszijdig, dan is H1 : p < p0. Is de toets rechtszijdig, dan is H1 : p > p0. Is de toets tweezijdig, dan is H1 : p ≠ p0. Het al dan niet verwerpen van H0 hangt af van het steekproefresultaat. Onder H0 is X binomiaal verdeeld met p = p0 ; n is de steekproefomvang. 15.3

Beslissingsvoorschrift bij significantieniveau α Linkszijdig: Verwerp H0 als X ≤ g. Kies g zo, dat P(X ≤ g) ≤ α. Rechtszijdig: Verwerp H0 als X ≥ g. Kies g zo, dat P(X ≥ g) ≤ α. Tweezijdig: Verwerp H0 als X ≤ gl of X ≥ gr Kies gl en gr zo, dat P(X ≤ gl) ≤ 0,5α en P(X ≥ gr) ≤ 0,5α 15.3

Het toetsen van de mediaan met de tekentoets Bij het toetsen van de hypothese ‘de mediaan is m0’ tegen de hypothese ‘de mediaan is niet m0’ bereken je van alle steekproefresultaten het teken van waarneming – m0. Er ontstaat zo een rij van plus- en mintekens. Indien de mediaan werkelijk m0 is, is de kans op een plusteken gelijk aan 0,5. Het aantal plustekens is dan binomiaal verdeeld met p = 0,5. Dus H0 : p = 0,5 en H1 : p ≠ 0,5. Gebruik vervolgens de overschrijdingskans van het steekproefresultaat om de juiste conclusie te trekken. Bij deze methode laat je de waarnemingen waarvoor waarneming – m0 = 0 buiten beschouwing. 15.4

Is er een significant verschil tussen twee rijen waarnemingsgetallen Om te onderzoeken of er een significant verschil bestaat tussen twee rijen waarnemingsgetallen kun je de tekentoets gebruiken. Bij elk paar stel je vast of het verschil positief of negatief is. De rij plus- en mintekens die zo ontstaat gebruik je als steekproef uit een binomiale verdeling, waarbij de toetsingsgrootheid het aantal plustekens is. De nulhypothese is H0 : p = 0,5. Immers als er geen verschil is tussen de rijen waarnemingsgetallen is de kans op een plusteken gelijk aan de kans op een minteken. De alternatieve hypothese is afhankelijk van de probleemstelling, H1 : p < 0,5 of H1 : p > 0,5 of H1 : p ≠ 0,5. Het is gebruikelijk om de paren waarbij het verschil nul is, buiten beschouwing te laten. 15.4