Inleiding Adaptieve Systemen De Mandelbrot Fractal Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Youtube movie: zoom Mandelbrot Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Youtube movie: zoom Mandelbrot

Mandelbrot verzameling eenheidscirkel cardioïde Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Mandelbrot en zelf-gelijkvormigheid Inzoomen op een rond uitsteeksel en schuiven naar links. Het display centrum uitpannen van (-1, 0) naar (-1.31, 0). Onderwijl (volgens Feigenbaum verhouding δ) vergroten van 0,5 × 0,5 naar 0.12 × 0.12. De constatering van gelijkvormigheid is (vooralsnog en voor ons) empirisch! Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Quasi-zelfgelijkvormigheid In het algemeen niet strikt zelf-gelijkvormig, maar quasi zelf-gelijkvormig. Kleinere varianten kunnen gevonden worden op willekeurig kleine schalen. Waarom niet strikt zelf-gelijkvormig? (Denk aan samenhang.) Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Mandelbrot zoom avi

Spoedcursus complexe getallen i = √-1. Dus i2 = -1. (a + bi) + (c + di) = (a+b) + (c+d)i (a + bi) ∙ (c + di) = a∙c + a∙di + bi∙c + bi ∙ di = (ac – bd) + (ad + bc)i Complexe getallen kunnen we zien (en behandelen) als vectoren in R2. Alternatieve notatie: z = r ∙ ( cos(φ) + cos(φ) i ) Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Definitie Mandelbrot verzameling Bekijk de functie f op de complexe getallen f : z → z2 + c Deze functie kun je itereren, met als startwaarde nul. Zo krijg je een rij: 0, c, c2 + c, (c2+c)2 + c, … Voor c = 0: 0, 0, 0, … constante rij, dus convergeert, dus begrenst. Voor c = 1: 1, 2, 5, 26, … : niet begrenst. Voor c = -1: 0, -1, 0, -1, 0, … alterneert, dus begrenst. Voor c = i: i, -1+i, -i, -1+i alterneert, dus begrenst Voor welke waarden van c blijft deze rij begrenst? Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Feiten over de Mandelbrot verzameling Is volledig bevat in de 2-schijf. Oppervlakte 1.50659177 (zowel analytisch als door pixel count.) Is samenhangend (of Mandelbrot set weg-samenhangend is, is een open probleem). Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Hoe maak je de Mandelbrot verzameling? Engels: The Escape Time Algorithm Voor elke pixel (p1, p2) doe: Vertaal (p1, p2) naar corresponderend punt c = (c1, c2) in complexe vlak. Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen. Lig je er op de Ne iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Kleur het pixel wit. Ben je na 50 iteraties nog steeds binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Escape Time Algoritme Voorbereiding: definieer een spectrum van 50 kleuren: K[1] = wit, K[2] = geel, …, k[50] = donkerblauw. Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen: Lig je er op de Ne iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Geef het pixel de kleur K[N]. Blijf je 50 iteraties binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Escape Time Algoritme Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Genormaliseerd aantal iteraties Idee: betrek de modulus van zN in de kleurindex, om stappen tussen discrete kleurindices te egaliseren. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

De Julia Set Bij de Mandelbrot fractal: Bij de Julia fractal: Je varieert de constante c Vast startpunt voor iteratie (0, 0) Bij de Julia fractal: Je varieert het startpunt voor iteratie Vaste constante c Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Samenvatting fractals Turtles klonen: elke gekloonde turtle tekent dezelfde structuur, maar dan kleiner. Eén turtle een recursieve tekenopdracht geven: je krijgt een fractal bestaande uit één lijn. MRCM / IFS: pas twee of meer lineaire contracties toe. “Adaptieve” fractals. Mandelbrot: bekijk één familie van complexe functies. Teken gebied waarvoor iteratie begrensd is. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Tot ziens! Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk