Verbinding tussen wiskunde, biologie, natuurkunde, scheikunde,….. Dynamische Modellen Verbinding tussen wiskunde, biologie, natuurkunde, scheikunde,….. achtergrondinformatie voor docenten van experimenteerscholen wiskunde D

Inhoudsopgave Modelleren in het bètaonderwijs Modelleren meer specifiek bij wiskunde Van dynamisch model naar differentiaalvergelijking Verantwoording en bronnen

1. Modelleren in het bètaonderwijs

Computermodellen Computermodellen worden gebouwd om greep te krijgen op complexe verschijnselen. verschijnselen trekken zich weinig aan van disciplinegrenzen 'de wetenschap' heeft vaak nog geen definitieve antwoorden, niet alles is voorspelbaar doelen: begrijpen, theorie ontwikkelen optimaliseren Voorspellen

Wat zou een leerling moeten weten/kunnen? Verband leggen tussen probleemsituatie, kwalitatief model en kwantitatief model Samenhang zien tussen factoren in veranderingsproces Zelf eenvoudige situaties kunnen modelleren Modellen kritisch evalueren (betrouwbaarheid, grenzen, onzekerheden)

Hoe kun je dat onderwijzen? Computermodellen gebruiken en maken voldoende complex: noodzaak tot vereenvoudiging progressieve aanpak: model wordt steeds beter uitkomst niet triviaal: noodzaak computergebruik Vanuit het perspectief van de leerling aanhaken bij bekende situatie/voorkennis creëer een ‘need to know’ Transfer naar nieuwe domeinen

Wiskunde Dynamisch systeem: verandering in de tijd hangt af van huidige toestand Computer nodig om uitkomsten te vinden Reeksen, rijen, limieten Tijdstappen Integratiealgoritmen Problemen in ‘context’ zonder veel aandacht voor de natuurwetenschappelijke uitwerking

Natuurkunde Beperkte set standaardproblemen (slinger, radioactief verval, afkoelende koffie) Uitkomsten toetsen aan experiment Veel grotere klasse van real world problemen, gedeeltelijk met dezelfde basiselementen (klimaat, raketvlucht)

Biologie Schoolvak in compex Wiskunde lastig, ook voor docenten Weinig toetsbaar, soms vooral een black box (animated conceptmap) Veel variabelen, weerzin tegen vereenvoudiging Vaak geen exacte waarden bekend Chaos

Scheikunde In het schoolvak: beperkt aantal (industriële) evenwichtsreacties (ammoniaksynthese) Niet-evenwichtssituaties komen nauwelijks aan de orde Veel toepassingen in de randgebieden van de chemie: voedselhygiëne; farmacologie; atmosferische chemie

Software voor grafisch modelleren Powersim/Stella/Coach 6/Dynasys/… Handig in de schetsfase Modellen beter uit te leggen/te presenteren Voordeel: samenhang tussen factoren in dynamisch proces eerst kwalitatief te modelleren, geleidelijke kwantificering in vergelijkingen Nadeel: Moeilijk inzicht krijgen in rekenmechanisme

Modelleercyclus Reële wereld Modelwereld Probleem Oplossing Model Resultaten Vertalen Beoordelen Simuleren Interpreteren oorzaak-gevolg woordmodel stroomschema wiskundig model Reële wereld Modelwereld

2. Modelleren meer specifiek bij wiskunde

Modelleren discrete modellen (vb. populatiedynamica) continue modellen (vb. afkoelingsproces) verandering centraal in nieuwe plannen aandachtspunt van meerdere disciplines (NLT-module) geschikt voor vakoverstijgend en thematisch onderwijs

Dynamisch model Beschrijving van een dynamisch systeem Samenhang tussen variabelen, die elkaar beïnvloeden (feedback) Vraag naar ontwikkeling in de loop van de tijd

Grafische modelleeromgeving kwalitatief ontwikkelen van een model in de vorm van een stroomschema uitvoer als grafiek en als tabel eenvoudige aanpassing van model en variatie van parameters voor simulatie onderzoek naar evenwicht invloed parameters en beginwaarden

3. Van dynamisch model naar differentiaalvergelijking

Hoe zit het in elkaar ? van kwalitatief ontwerp naar kwantitatief resultaat door opstellen van formules voor samenhang stelsel van modelvergelijkingen numerieke integratie (Euler-Cauchy of Runge-Kutta methode differentiaalvergelijkingen

Modellering van het afkoelingsproces van een hete drank Voorbeeld 1 Modellering van het afkoelingsproces van een hete drank

Afkoelingsproces (1) hete koffie van 80°C afkoelen, zo dat elke tijdseenheid de temperatuur 2 graden daalt.

Afkoelingsproces (2) Tijdgrafiek Temperatuur = 80 - 2*Tijd lineaire daling

Afkoelingsproces (3) Kritiek op model de temperatuur van de drank blijft niet eeuwig dalen de temperatuur van de drank wordt begrensd door de omgevingstemperatuur de snelheid waarmee de temperatuur daalt is niet constant een lineaire afname is daarom niet realistisch

Afkoelingsproces (4) nieuw model hier ontbreekt nog het verband tussen afkoelsnelheid en temperatuurverschil

Simpelste geval: afkoelsnelheid en temperatuurverschil Afkoelingsproces (5) nieuw model Simpelste geval: afkoelsnelheid en temperatuurverschil zijn recht evenredig

Afkoelingsproces (6) nieuw model

Afkoelingsproces (7) grafiek van temperatuursverloop

Afkoelingsproces (8) grafiek van de afkoelsnelheid

Afkoelingsproces (9) Modelvergelijkingen

Afkoelingsproces (10) Van modelvergelijking naar differentiaalvergelijking niveauvergelijking temperatuur.nieuw = temperatuur.oud - deltat*(afkoelsnelheid) beginwaarde temperatuur = 80 met als limiet

Afkoelingsproces (11) differentiaalvergelijking verandering afkoelsnelheid = evenr_factor*temperatuurverschil constante omgevingstemperatuur = 20 evenr_factor = - 0.05 hulpvariabele temperatuurverschil = temperatuur -omgevingstemperatuur

Afkoelingsproces (12) VU-Grafiek geeft het richtingsveld van de differentiaalvergelijking :

Afkoelingsproces (13) na het kiezen van een beginwaarde krijg je de specifieke oplossingskromme

Modellering van een kweekvijver Voorbeeld 2 Modellering van een kweekvijver

Modelleercyclus Reële wereld Modelwereld Probleem Oplossing Model Resultaten Vertalen Beoordelen Simuleren Interpreteren oorzaak-gevolg woordmodel stroomschema wiskundig model Reële wereld Modelwereld

De forellenvijver In een vijver met 180 hl water zwemmen 150 forellen. Per minuut stroomt er 20 liter water de vijver in. Hierdoor komen er per 750 liter ook gemiddeld 3 forellen bij. Het waterniveau wordt op peil gehouden door een afvoer van 18 liter water per minuut. Hierdoor verdwijnen er ook forellen. Het aantal is evenredig met het aantal forellen in de vijver en de hoeveelheid wegstromend water. Hoe ontwikkelt de forellenpopulatie zich onder deze omstandigheden?

Model in Powersim (1) stroomdiagram

Model in Powersim (2) modelvergelijkingen

Model in Powersim (3) forellengrafiek

Differentiaalvergelijking opstellen (1) forellen.nieuw = forellen.oud + dt*(toename - afname ) instroom = 20 toename = instroom*3/750 = 0,08

Differentiaalvergelijking opstellen (2) forellen.nieuw = forellen.oud + dt*(toename - afname ) afname = forellen/water*uitstroom uitstroom = 18 afname = y(t)*18/water

Differentiaalvergelijking opstellen (3) forellen.nieuw = forellen.oud + dt*(toename - afname ) beginwaarde water = 18000 water.nieuw = water.oud + dt*(instroom - uitstroom) lineair verband ! water(t) = beginwater + t(20-18) water(t) = 18000 + 2t

Differentiaalvergelijking opstellen (4) forellen.nieuw = forellen.oud + dt*(toename - afname )

Richtingsveld en oplossing

Beperkingen van het model Constante toename van aantal forellen realistisch? Vijver heeft een maximale capaciteit Biologische populatiegroei niet meegenomen ...

4. Verantwoording en bronnen Voor deze presentatie is onder meer gebruik gemaakt van materiaal ontwikkeld door: Nol Gregor, Elwin Savelsbergh en Carel van de Giessen

Bronnen Literatuur Websites www.ctwo.nl www.wisweb.nl www.cdbeta.uu.nl/model www.cdbeta.uu.nl/vo/salvo

Literatuur Hannon, Bruce Ruth, Matthias Dynamic Modeling Springer Verlag, 1994 Heesterbeek, Hans e.a. De wiskundige kat, de biologische muis en de jacht op inzicht Epsilon Uitgaven, 2004 Bossel, Hartmut Modellbildung und Simulation Braunschweig, 1994

Einde van deze presentatie !