Meetkunde in beweging Dolf van den Hombergh Leon van den Broek

Aankondiging Bent u aanhanger van Euclides of Descartes, van NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Aankondiging Bent u aanhanger van Euclides of Descartes, van synthetische of van analytische meetkunde? In welke richting beweegt de meetkunde zich op het vwo? Het wordt een middenweg: Meetkunde met coördinaten. Daarin kun je uitstekend bewegingen beschrijven. In deze workshop geven wij u een kijkje in de meetkunde- keuken van de toekomst (na 2014). En u mag ook proeven. Uit een menu van zes gangen worden u enkele delicatessen voorgeschoteld: smullen voor iedereen met een beetje kennis van euclidische en analytische meetkunde.

Vectoren Kleur de zijden van een NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Vectoren Kleur de zijden van een 2n-hoek om en om groen en rood. Schuif de groene zijden naar elkaar toe, zodat ze op elkaar aansluiten. Zo ook de rode zijden. Als de groene zijden een gesloten vierhoek vormen, vormen de rode zijden ook een gesloten vierhoek.

NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Waarom Meetkunde met Coördinaten? … Iets dat hij graag nog had beleefd, is een wiskunde-curriculum gebaseerd op vectoren (samenbundeling van het visueel/meetkundige en het rekenkundige/algebraïsche). Als hij maar even de kans kreeg, promootte hij dat idee, … (Euclides nr.3 (2010), Harrie Broekman, In memoriam Pierre Marie van Hiele)

NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Waarom Meetkunde met coördinaten? De titel van het domein is “Meetkunde met coördinaten” en niet “Analytische Meetkunde”. De bedoeling hierachter was om te voorkomen, dat het domein zou ontaarden in uitsluitend algebra. Meetkundige begrippen en redeneringen behoren tot de kern van het domein te horen. (Dirk Siersma, voorzitter cTWO).

Waarom Meetkunde met coördinaten? NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Waarom Meetkunde met coördinaten? … Verder blijkt het domein Voortgezette Meetkunde een geheel afgezonderd onderdeel van het vak Wiskunde B1,2 te zijn geworden, en zijn er weinig mogelijkheden voor integratie tussen dit onderdeel en de andere delen van het vak. In het curriculum voor 2011 kiest de programmacommissie ervoor om meetkunde te laten aansluiten bij de analytische aanpak van de rest van het vak Wiskunde B: Meetkunde met coördinaten. Deze keuze biedt een ruim aantal mogelijkheden voor dwarsverbanden met andere onderwerpen. … (uit: cTWO, conceptexamenprogramma 2011)

Hoofdstukken 1. Meetkunde met algebra 2. Rekenen aan lijnen NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Hoofdstukken 1. Meetkunde met algebra 2. Rekenen aan lijnen 3. Verschuiven 4. Formules en Figuren 5. Beweging 6. Snelle vectoren http://www.fi.uu.nl/ctwo/lesmateriaaldir/ ExperimenteelLesmateriaal/VWO Wiskunde B/

Ontwikkelgroep Aad Goddijn (FI) bedenkt NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Ontwikkelgroep Aad Goddijn (FI) bedenkt Dolf van den Hombergh en Leon van den Broek schrijven de teksten Josephine Buskes (Kandinsky, Nijmegen), Gert Dankers (Erfgooiers, Huizen) en Dick Klingens becommentariëren Theo van den Bogaart (FI) zit voor Ca. zes experimenteerscholen

In Meetkunde met coördinaten staat 'parameterkrommen' weer op de menukaart. Het onderwerp wordt nu (anders) gekruid. Hiervan willen we U iets laten proeven. Voorkennis Een punt P beweegt in het platte vlak. Daarin is een oorsprong O gekozen en een x- en y-as. We rekenen afstanden in meters en de tijd t in seconden. De coördinaten van P zijn functies van t: P(x(t),y(t)). P beschrijft een baan in het vlak. De snelheidsvector waarmee P beweegt is: . Als de snelheidsvector niet de nulvector is, dan raakt de lijn door P met deze snelheidsvector als richtingsvector de baan in P. In het volgende zijn alle functies differentieerbaar.

1 De cycloïde P y-as x-as A Een cirkel met straal 1 en middelpunt A rolt over de x-as, zie plaatje. We bekijken het punt P op de rolcirkel dat op t=0 in O(0,0) is. De snelheidsvector van het middelpunt A is in het plaatje weergegeven door een vector. De grootte is 1 m/s a. Construeer de snelheidsvector van P op het moment hiernaast. b. Druk de coördinaten van P in t uit, x en y in m en t in seconden. c. Druk de snelheidsvector van P uit in t. d. Controleer of je hetzelfde krijgt in de onderdelen a en c op bijvoorbeeld t=.

Vervolg cycloïde P beschrijft een baan. Die is hieronder getekend. e. Construeer in het plaatje de raaklijn in Q aan de baan. Q y-as x-as

1 De cycloïde, antwoord a Meetkunde in beweging y-as P A x-as NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging 1 De cycloïde, antwoord a P y-as x-as A

1 Cycloïde, antwoord e Meetkunde in beweging Teken de lijn y=1. NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging 1 Cycloïde, antwoord e Q y-as x-as M Teken de lijn y=1. Teken de cirkel met straal 1 en middelpunt Q, een van de snijpunten M met de lijn y=1 is het middelpunt van de ‘rol’cirkel. Teken de raakvector met lengte 1 aan de rolcirkel in Q. Teken de vector met lengte 1 in Q evenwijdig aan de x-as. De som van de twee vectoren raakt de baan in Q.

2 Spiralen Een punt P is op tijdstip t in tangentieel radieel P r(t) O x-as y-as Een punt P is op tijdstip t in (r(t)cost , r(t)sint) met t0. Hierbij is r een stijgende functie van t en r(t)0 voor alle t. Je zou kunnen zeggen dat P beweegt over een cirkel met een steeds groter wordende straal. Hiernaast is de situatie op een bepaald moment t getekend. a. Toon aan dat de snelheidsvector van P de som van twee vectoren is: een tangentiële component die de cirkel met straal r(t) in P raakt en een radiële component die dezelfde richting heeft als lijn OP. We nemen nu r(t)=t. Je krijgt dan een Archimedische spiraal.

Vervolg spiralen 2 y-as b. Geef de grootte van de radiële en de tangentiële snelheden op tijdstip t. c. Hiernaast is een stuk van de baan getekend. Construeer de raaklijn in het aangegeven punt met behulp van de radiële en tangentiële component van de snelheidsvector. -4 -2 2 x-as -2

Spiralen, antwoord 2c Meetkunde in beweging -2 -4 2 x-as y-as NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Spiralen, antwoord 2c -2 -4 2 x-as y-as

3 Een trochoïde We bekijken een wiel van een rijdende trein. Om ervoor te zorgen dat de trein niet uit de rails loopt, heeft de binnenkant van het wiel een grotere diameter. De buitenkant van het wiel loopt over de rails. De baan die een vastgekozen punt P op de omtrek van de binnenkant beschrijft, noemen we een trochoïde. De snelheidsvector van de trein is met een vector weergegeven as rail rail P

Vervolg trochoïde Op het moment dat P op het laagste punt is gekomen, beweegt P achteruit. a. Hoe vind je de snelheidsvector op dat moment? De baan van P is hieronder in een assenstelsel getekend. De x-as is de bovenkant van de rail en de y-as gaat door een laagste punt van de baan. x-as y-as

Vervolg trochoïde De rolcirkel (de buitenkant van het wiel) heeft middelpunt M en straal 1, de binnenkant van het wiel heeft straal 1. b. Laat zonder differentiëren zien dat de baan de x-as loodrecht snijdt. c. Geef de bewegingsvergelijkingen van P. d. Bereken de snelheidsvector van P op tijdstip t. e. Laat met behulp van d zien dat de baan van P de x-as loodrecht snijdt.

Een trochoïde, antwoord 3b NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Een trochoïde, antwoord 3b x-as P Teken in P de raakvector aan de grote cirkel met straal 1 . Teken in P de vector met lengte 1 op de x-as. De som van de twee is de snelheidsvector van P. Deze staat loodrecht op de x-as, want de beide blauwe driehoeken zijn congruent.

4 Een speciale cirkelbeweging Een punt P beweegt over de cirkel met straal 1 en middelpunt O. De coördinaten van P op tijdstip t zijn: (cos(t²),sin(t²)). a. Hoe vaak wordt het punt (0,1) gepasseerd op het tijdsinterval [0,10]? b. Bepaal hoe groot de snelheid van P op tijdstip t is, zonder de snelheidsvector te berekenen. Licht je antwoord toe. c. Bereken de snelheidsvector op tijdstip t. d. Bereken hoe groot de snelheid van P op tijdstip t is met behulp van de snelheidsvector .

5 Toegift We gaan verder met opgave 1. Hieronder is de baan van P getekend. De rolcirkel en de positie van P is op een bepaald moment getekend. P y-as x-as A a. Welk punt X van de rolcirkel heeft op dat moment snelheid 0? We bekijken lijnstuk PX. Omdat X op dat moment stilstaat, draait P op dat moment om X. b. Hoe volgt hieruit dat de raaklijn in P aan de baan door de ‘top’ van de rolcirkel gaat?

Vervolg toegift c.Kun je ook bewijzen dat de raaklijn in P door de top van de rolcirkel gaat met behulp van de constructie in 1a?

Toegift antwoord 5b Meetkunde in beweging x NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Toegift antwoord 5b P y-as x-as M x X is het ‘onderste’ punt van de rolcirkel. Als P om X roteert, staat de snelheidsvector van P loodrecht op PX.

NWD, 28-01-2011 Meetkunde in beweging Discussie ? Heb je genoeg contacturen voor wiskunde B ? Moeilijk / leuk / belangrijk ? Synthetisch of analytisch Nieuwe Wiskrant, juni 2007, Leon van den Broek, Analytische meetkunde, terug van weggeweest; of toch liever vectoren. Dank voor uw aandacht