De Kracht en Beperking van Wiskundig Modelleren NWD Zaterdag 3 februari 2007

Wiskundig modelleren Wiskundig model : Beschrijft een fenomeen in wiskundige taal Doelen : 1.Begrip: als we verbanden zien denken we dat we dingen begrijpen 2.Wiskundige taal maakt de communicatie rond het fenomeen exact 3.Voorspelkracht (kometen, zonsverduistering) 4.Beheersen (techniek)

Opmerkingen bij Wiskundige Modellen Altijd reductie van de werkelijkheid Altijd reductie van de werkelijkheid Nooit spreken over het ‘waarheidsgehalte’ van een model Nooit spreken over het ‘waarheidsgehalte’ van een model (wel over de betrouwbaarheid van de waarnemingen) ‘Bevredigend’ model beschrijft de waarnemingen goed ‘Bevredigend’ model beschrijft de waarnemingen goed ‘Krachtig’ model heeft voorspelkracht (kun je o.a. testen door het model te baseren op een gedeelte van de waarnemingen en daarmee de overige te ‘voorspellen’) ‘Krachtig’ model heeft voorspelkracht (kun je o.a. testen door het model te baseren op een gedeelte van de waarnemingen en daarmee de overige te ‘voorspellen’) Twee verschillende modellen mogelijk voor één fenomeen Twee verschillende modellen mogelijk voor één fenomeen Eén model beschrijft soms meer fenomenen tegelijk Eén model beschrijft soms meer fenomenen tegelijk

Nog meer opmerkingen bij Wiskundige Modellen Nonsensmodellen kunnen toch waarde hebben Nonsensmodellen kunnen toch waarde hebben Het aggregatieniveau is uiterst belangrijk bij het opstellen van een model Het aggregatieniveau is uiterst belangrijk bij het opstellen van een model

Fibonacci : Een nonsensmodel met grote impact Leonardi van Pisa (of ‘Fibonacci’): Liber Abaci (1202), Chapter XII: Iemand plaatst één paar konijnen in een afgesloten gebied. Hoeveel paren konijnen zijn er na zekere tijd als we aannemen dat een paar na twee maanden voor het eerst een paar werpt en vervolgens iedere maand een nieuw paar voortbrengt. Nonsenselementen: - Worden konijnen per paar geboren?? - Leven konijnen eeuwig?? -- Kennen konijnen geen overbevolking??

Fibonacci (2) maanden paren konijnen

Fibonacci (3) : Recursierelatie Nieuwe aantal paren Vorige aantal paren (alle paren overleven) Alle paren van twee of meer maanden oud werpen een paar Beginwaarden : Bijbehorende Fibonaccireeks: ……..

Fibonacci (4) : Oplossing en asymptotisch gedrag Probeer een oplossing van de vorm : λ 1 ≈ …(gulden snede) en λ 2 ≈ ( beide irrationaal!) Voor grote n: En dus voor grote n:

Schatting van π uit een naaldenexperiment Kans dat een naald een lijn raakt is : Gegeven door lim N 1 / N als N -> ∞ N 1 : aantal ‘crossings’ (rode naalden) N: totaal aantal worpen Buffon’s needle, 1773

Staaltje van trage convergentie:

Aggregatieniveau’sdode materie moleculen continuum (gas, vloeistof, vaste stof) apparaten zonnestelsel melkweg aarde

Aggregatieniveau’s levende materie moleculen cel populatie individu metapopulatie orgaan

Voorbeeld: Rapport van de Club van Rome (1972) Aggregatieniveau: Wereld Dynamica van 5 grootheden : 1. industrialisatie 2. bevolkingsdichtheid 3. verbruik fossiele brandstoffen 4. milieuvervuiling 5. ondervoeding - Zeer globale modellering met enorme onzekerheden (grenzend aan nonsensmodellering) - Boodschap: “Wereld raakt door groei volledig uit evenwicht, tenzij…….” - Politieke effect: gigantisch

Krachtig model voor zonnestelsel: Newton

Puntmassa’s 1. Puntmassa’s F = m a (kracht is massa maal versnelling) 2. F = m a (kracht is massa maal versnelling) 3. Ingrediënten van model voor planeetbanen: Zwaartekrachtwet F 12

r m2m2 m1m1 F 12 = G m 1 m 2 rprp Modellering zwaartekracht p = ???!

Dit is een voorbeeld van wat E.P.Wigner noemt ( Comm.Pure Appl. Math., 1960) : “ The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” Deductie van fysische wet via wiskundig model De wiskunde laat zien dat gesloten banen alleen mogelijk zijn als p = 2

VVorbeeld: Verkeersindigestieo - N(x,t): aantal auto’s op tijdstip t in het interval [x - L/2, x+L/2] - v i : snelheid van auto i in dat interval

Continu verkeersmodel Automassa in interval [a,b]: Behoud van massa leidt tot de continuiteitsvergelijking: Autoflux:

S(x,t): dichtheid van putten en bronnen Blikbehoud Wij nemen S = 0

Constitutieve relatie : verband tussen snelheid en dichtheid Niet – anticiperende automobilisten: Car velocity: “Density velocity” }

Car velocity en Density velocity

Beschouw eens een uniforme dichtheid met op t = 0 ergens een kleine bult: De snelheid is dan

Substitutie in me t geeft als we termen van orde η 2 verwaarlozen Voor algemeen tijdstip t schrijven we } W0W0 Gedrag van een dichtheidsperturbatie

De translatievergelijking heeft als oplossing De oplossing heeft dus op alle tijden dezelfde vorm als op t = 0, maar dan opgeschoven over een afstand W 0 t naar rechts. waarbij η 0 de bultvorm op t = 0 is. Notabene kan > 0 en < 0 zijn !!

Een dichtheidsfluctuatie kan voor- en achterwaarts lopen:

Mogelijke verfijning via anticipatie: Conclusie uit dit soort theorieën: Als je dicht bij een zekere kritische dichtheid komt, leidt iedere verstoring tot een file. Remedies: - vermijd verstoringen (gedoseerde toevoer e.d.) - leg meer asfalt, gebruik de vluchtstrook - stimuleer mensen bij hun werk te wonen - jaag ze de trein in -……………………. Een wiskundige oplossing is nog geen politieke oplossing……

Besmettelijk ziekte (epidemiologie) Voorbeeld : ‘griepachtige’ ziekte met als kenmerken a. Veroorzaakt door virus dat verspreid wordt door de wind b. Virus vermenigvuldigt zichzelf alleen in de zieke c. Iedereen herstelt na zekere tijd en is daarna immuun Vragen: 1. Kan zo’n epidemie “endemisch” (blijvend) zijn 2. Zo ja, hoe voorkom je dat

Epidemiologie (2) Voer in: x(t) : dichtheid van virussen y(t) : dichtheid van zieken x(t) en y(t) worden plaatsonafhankelijk genomen

Besmettingsmodel Veranderinge n in aantallen virussen en zieken Virussterfte Herstel van zieken Virusvermenigvuldigin g Infectiekan s

Besmettingskansen Lineaire besmettings kans Verzadigende besmettings- kans Verzadigende besmettings- kans met drempelwaarde

Endemische epidemie Endemisch: x(t) en y(t) constant en dus dx/dt = 0 en dy/dt = 0

Condities voor endemie op a,b,c en f(x) Stabiel endemisch punt Instabiel endemisch punt Geen endemie

Effect van inenting Besmettingskans zonder inenting Besmettingskan s met inenting

© Wageningen UR