Spelen en Delen Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D Frank Thuijsman 1 juli 2010

Inhoudsopgave Boekje Een Bankroet Probleem uit de Talmud Coöperatieve Spelen Rationaliteit en Kennis Spelen in Strategische Vorm Matrixspelen “Huwelijksproblemen” Eindopdrachten Antwoorden

Programma vanmiddag Een Bankroet Probleem uit de Talmud Coöperatieve Spelen Spelen in Strategische Vorm Matrixspelen “Huwelijksproblemen”

Een Bankroet Probleem uit de Talmud Nalatenschap 100 200 300 33.33 50 50 Weduwe 75 100 75 150 Gelijk ??? Proportioneel “Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’ Hoe moet 400 verdeeld worden? Wat als een vierde weduwe 400 claimt?

Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen 100 200 300 100 200 300 50 75 100 200 300 33.33 50 75 150 De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200

Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen 100 200 300 A 100 33.33 B 200 C 300 100 200 300 A 100 B 200 C 300 De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100

Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen 100 200 300 100 200 300 50 150 De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft, als eerst de claims van de andere spelers betaald worden. De nucleolus van het spel S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200 300

Coöperatieve Spelen Ø S A B C AB AC BC ABC v(S) 6 7 9 11 14 6 7 9 11 14 kosten of winsten verdelen op basis van de waarden van de coalities

De Core Ø S A B C AB AC BC ABC v(S) 6 7 9 11 14 (0,0,14) (7,0,7) 6 7 9 11 14 (0,0,14) (7,0,7) (6,0,8) (0,7,7) Leeg (7,7,0) (6,8,0) (14,0,0) (0,14,0)

Lloyd S. Shapley A value for n-person games, In: Contribution to the Theory of Games, Kuhn and Tucker (eds), Princeton, 1953

De Shapley-waarde Voor coöperatieve spelen is er precies één oplossingsconcept dat voldoet aan de eigenschappen: - Anonimiteit - Efficiëntie - Dummy - Additiviteit De Shapley-waarde Φ geeft elke speler het gemiddelde van zijn marginale bijdragen

De Shapley-waarde Ø S A B C AB AC BC ABC v(S) 6 7 9 11 14 6 7 9 11 14 Marginale bijdragen A B C A-B-C A-C-B B-A-C B-C-A C-A-B C-B-A Som: Φ: 6 3 5 6 3 5 2 7 5 3 7 4 4 3 7 3 4 7 24 27 33 4 4.5 5.5

David Schmeidler The nucleolus of a characteristic function game, SIAM Journal of Applied Mathematics 17, 1969

De Nucleolus Ø Ø Ø Ø S A B C AB AC BC ABC v(S) 6-x 7-x 9-x 11-x 14 S A 6-x 7-x 9-x 11-x 14 S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 4 5 7 9 14 S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 6-2 7-2 9-2 11-2 14 S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 6 7 9 11 14 (0,0,14) De Nucleolus Φ = (4, 4.5, 5.5) Leeg (4,5,5) de nucleolus (14,0,0) (0,14,0)

Talmud-spelen (0,0,100) 100 200 300 A 100 33.33 50 B 200 75 C 300 150 de nucleolus (100,0,0) (0,100,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100

Talmud-spelen (0,0,200) 100 200 300 33.33 50 75 150 (200,0,0) (0,200,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200

Talmud-spelen (0,0,200) 100 200 300 33.33 50 75 150 de nucleolus (200,0,0) (0,200,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200

Talmud-spelen (0,0,300) 100 200 300 33.33 50 75 150 (300,0,0) (0,300,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200 300

Talmud-spelen (0,0,300) 100 200 300 33.33 50 75 150 de nucleolus (300,0,0) (0,300,0) S Ø A B C AB AC BC ABC v(S) 100 200 300

Een Bankroet Probleem uit de Talmud Nalatenschap 100 200 300 33.33 50 50 Weduwe 75 100 75 150 “Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’ Hoe moet 400 verdeeld worden? Wat als een vierde weduwe 400 claimt?

De Oplossing Een andere Mishna uit deTalmud luidt: “Twee houden een kleed vast; de een claimt het hele kleed, de ander claimt de helft. Dan krijgt de een 3/4, de ander 1/4.” Baba Metzia 2a, Fol. 1, Babylonian Talmud, Epstein, ed, 1935

Consistentie 100 200 300 33.33 50 75 150 samen 125 100 50 200 25+50 samen 125 100 200 25 samen 125 100 200 De één claimt 100, de ander alles dus 25 is voor de ander; de rest (100) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft

Consistentie 100 200 300 33.33 50 75 150 100 200 300 33.33 50 75 150 samen 66.66 100 33.33 300 Ieder claimt alles, dus elk krijgt de helft

Consistentie 100 200 300 33.33 50 75 150 samen 250 100 200 50+100 samen 250 200 300 50 samen 250 200 300 De één claimt 200, de ander alles dus 50 is voor de ander; de rest (200) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft

Marek M. Kaminski ‘Hydraulic’ rationing, Mathematical Social Sciences 40, 2000

Communicerende Vaten 50 100 150 50 100 150

Communicerende Vaten: 100 33.33 33.33 33.33

Communicerende Vaten: 200 75 75 50

Communicerende Vaten: 300 150 100 50

Communicerende Vaten: 400 125 225 50

Communicerende Vaten: 400 voor 4 125 125 100 50

Spelen in Strategische Vorm Nash-evenwicht voor een n-persoons spel: Een n-tal strategieën, voor elke speler één, met de eigenschap dat voor elke speler zijn strategie een beste antwoord is tegen de strategieën van de anderen.

“A Beautiful Mind” Reinhard Selten John F. Nash John C. Harsanyi 1994: Nobelprijs Economie Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54, 1951

Evenwicht in een Bimatrixspel? Speler 2 Speler 1 4,0 0,3 -1,3 5,0 1-p p 1-q q “gemengde acties” “verwachte uitbetalingen”

Evenwicht in een Bimatrixspel? Verwachte uitbetaling: Speler 2 Speler 1 4,0 0,3 -1,3 5,0 4(1-q) = 4-4q -(1-q)+5q = -1+6q 1-q q Als q = 0.5, dan geldt 4-4q = -1+6q, en dan is Boven even goed als Onder voor speler 1. De verwachte uitbetaling voor speler 1 is dan 2, ongeacht of hij Boven of Onder kiest.

Evenwicht in een Bimatrixspel? Speler 2 Speler 1 4,0 0,3 -1,3 5,0 1-p p Verwachte uitbetaling: 3p 3(1-p) Als p = 0.5, dan geldt 3p = 3(1-p), en dan is Links even goed als Rechts voor speler 2. De verwachte uitbetaling voor speler 2 is dan 1.5, ongeacht of hij Links of Rechts kiest.

Evenwicht in een Bimatrixspel! Speler 2 Speler 1 4,0 0,3 -1,3 5,0 0.5 0.5 0.5 0.5 een “gemengd” evenwicht met (verwachte) uitbetaling (2, 1.5)

Matrixspelen Speler 2 Speler 1 4,-4 0,0 -1,1 5,-5

Matrixspelen 1-p p 4-5p 5p Speler 2 Speler 1 4 -1 5 -1 5 1-p p Verwachte uitbetaling: 4-5p 5p 5 4 p 1 -1

Matrixspelen 1-p p 4-5p 5p Speler 2 Speler 1 4 -1 5 5 -1 5 1-p p 4-5p 5p 5 Speler 1 wil p zo kiezen dat het minimum van 4-5p en 5p maximaal is. Bij p = 0.4, minimum 2. 4 2 p 0.4 1 -1

Matrixspelen 4-4q -1+6q 1-q q Speler 2 Speler 1 4 -1 5 5 -1 5 4-4q -1+6q 1-q q 5 Speler 2 wil q zo kiezen dat het maximum van 4-4q en -1+6q minimaal is. Bij q = 0.5, maximum 2. 4 4-4q -1+6q 2 q 0.5 1 -1

het maximum van de minima = 2 = het minimum van de maxima De Waarde van het Spel het maximum van de minima = 2 = het minimum van de maxima 5 5 4 4 4-4q -1+6q 2 2 p q 0.4 1 0.5 1 -1 -1

De Minimax-stelling John von Neumann, 1928 Voor elk matrixspel bestaat er een getal v, de waarde, en optimale strategieën x en y, zodat x aan speler 1 een uitbetaling van minstens v en y aan speler 1 een uitbetaling van hoogstens v garandeert. In andere woorden: Voor elke matrix A geldt: max min xAy = min max xAy x y y x

Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944 John von Neumann Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944

Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944

Het Oplossen van (Bi-)Matrixspelen Matrixspelen kunnen opgelost worden m.b.v. lineair programmeren; bijv. met de simplexmethode. De minimax-stelling kan bewezen worden met de dualiteitsstelling van lineair programmeren. Voor bimatrixspelen kunnen evenwichten gevonden worden d.m.v. een pivoting algoritme dat lijkt op de simplexmethode.

“Huwelijksproblemen”   1 2 3 4 5 Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny Betty Conny Dolly Emmy   1 2 3 4 5 Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly Gerry Harry Kenny Lenny

“Huwelijksproblemen”   1 2 3 4 5 Anny Freddy Kenny Gerry Lenny Betty Conny Dolly   1 2 3 4 5 Freddy Conny Betty Anny Dolly Gerry Kenny Lenny

“Huwelijksproblemen”   1 2 3 4 5 Anny Freddy Kenny Gerry Lenny Betty Conny Dolly   1 2 3 4 5 Freddy Conny Betty Anny Gerry Dolly Kenny Lenny

“Huwelijksproblemen” David Gale Lloyd S. Shapley College admissions and the stability of marriage, American Mathematical Monthly 69, 1962

“Huwelijksproblemen”   1 2 3 4 5 Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny Betty Conny Dolly Emmy 1 2 9 3 4 6 7 8 5   1 2 3 4 5 Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly Gerry Harry Kenny Lenny 1 7 8 2 5 4 9 3 6

“Huwelijksproblemen” Gale-Shapley algoritme: Geeft de beste stabiele koppeling voor de “aanzoekers” Ook toepasbaar wanneer de groepen niet even groot zijn Ook wanneer niet elk aan elk gekoppeld wil worden Ook toepasbaar voor “college admissions”

Hartelijk Dank voor Uw Aandacht!

? f.thuijsman@maastrichtuniversity.nl

? f.thuijsman@maastrichtuniversity.nl