SYMPOSIUM OOSTENDE 2006 Numeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren 18 augustus 2006

10 jaar zinvol gebruik van ICT-hulpmiddel geïntegreerd in wiskundelessen SO Situeren in BREDER vakdidactisch kader : accentverschuivingen in wiskunde-onderwijs. Meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde. Visie op “maatschappelijke” verwachtingen, effecten en doelen. Meer CONSTRUCTIEVE aanpak. Vele VAKDIDACTISCHE aspecten aan BRUIKBAAR hulpmiddel.

Representaties Numeriek,Grafisch, Symbolisch “Beeld” van wiskunde : getallen, grafieken, formules Ontwikkelen van begrip en vaardigheid : werken met GETALLEN: rekenkunde werken met GRAFIEKEN:meetkunde werken met FORMULES: algebra + onderlinge verbanden

Afstand punt-rechte : formule afleiden Afstand punt P(-4,7) tot rechte r :3x+4y+9=0 Meten Berekenen : Loodlijn b, snijpunt, afstand Algemene formule afstand punt P(x1,y1) tot rechte r ax+by+c=0 AFLEIDEN

Afstand punt-rechte Aansluiting concrete berekening met betekenis,zin van veralgemeende formule Organisatie van de berekeningen met reductie van de complexiteit van de algebra (parameters, berekening afstand zonder substitutie van de opgeloste k)

Afstand punt-rechte : formule afleiden Richtingsvector r : (b,-a) Richtingsvector loodlijn l : (a,b) Parametervergelijkingen loodlijn l, coördinaten snijpunt S (x1+ k.a, y1+ k.b) Afstand PS k = ? : uit S ligt op r

Afstand punt-rechte : formule gebruiken BISSECTRICES Meetkundige Plaats van alle punten even ver van twee rechten PARABOOL Meetkundige plaats van alle punten even ver van een punt en een rechte

Representaties Numeriek,Grafisch, Symbolisch Gebruik van hulpmiddelen voor maken van berekeningen, vervaardigen van figuren, grafieken en diagrammen, manipulaties met formules. ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie

ICT : electronische representatie NUMERIEK : “Floating point” van klassieke rekenmachine. GRAFISCH : PIXELS op scherm worden verlicht. Welke ? Berekenen met numerieke module. SYMBOLISCH Computer Algebra Formulemanipulatie : eigen software systeem

Numeriek (Getallen) “Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen Getal = “decimaal getal” met eindig aantal decimalen, afronden Bruikbaar voor vele situaties Numerieke wiskunde (analyse, lineaire algebra)

Numeriek / GRAFISCH “Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen. Gebruiken voor “berekenen” van GRAFIEKEN/grafische voorstellingen. Organisatie via vectoren en matrices. Computerscherm = Matrix van “pixels” beschreven met coördinaten. Ontwikkeling grafische software.

SYMBOLISCH : Computer Algebra CAS Formulemanipulatie : SOFTWARE Gehele getallen zijn rijen symbolen Breuken zijn “koppels” gehele getallen Irrationale getallen : symbolen als “letters,symbolen” worden via voorgeprogrammeerde regels gemanipuleerd (voorbeeld SOLVE(3x+y=4,x). De variabele “x” is hier gewoon een symbool

“Informatica” standpunt Numeriek,Grafisch, Symbolisch ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie Vanuit “informatica”standpunt : Bernhard Kutzler (Oostende 2005) Numerics versus Symbolics

HULPMIDDEL : inhoudelijk integreren in wiskundeonderwijs verschillende representaties IN COMBINATIE gebruiken Numerics AND Symbolics GRAFISCHE REKENMACHINE + Formules zonder ICT GRAFISCHE REKENMACHINE + CAS-systeem

Verschillende representaties gebruiken verschillende representaties tegelijk gebruiken. - niet eenzijdig (verbaal)-FORMEEL. - herwaardering van getallen en grafische voorstellingen : “eenvoudiger”, “concreter”, “haalbare” voorstellingen waarmee toch al heel wat te leren is.

NUMERIEK/GRAFISCH : integreren in wiskundeonderwijs sluit aan bij “visie”, “beeld” wiskundeonderwijs - CONSTRUCTIEF voorbereiding op abstractere aanpak - meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde (wiskunde “Queen and servant of sciences”)

GRAFISCH Rekentoestel Grafisch rekentoestel als didactisch hulpmiddel voor tweede en derde graad laat toe om (decimale) getallen en grafieken meer te gebruiken - in combinatie met leren werken met algebra (formules) - “kijken” naar getallen en grafieken - Hulpmiddel bij uitvoeren (genereren tabellen, grafieken ...)

GETALLEN GETALLEN in secundair onderwijs : werken met “reële” getallen zonder formele constructie van het systeem van de reële getallen Decimale getallen zien als “benaderingen” in tabellen, rekenbladen, vectoren, matrices Voldoende voor analyseren en begrijpen van veel situaties Toch aandacht voor breuken, irrationale getallen ..

FUNCTIES FUNCTIES via tabellen, grafieken en formules (voorschrift) Volgorde : zonder FORMEEL functiebegrip al werken met (reële) functies Verloop van elementaire reële functies : ZONDER formele theorie ANALYSE Ervaring opdoen met begrippen (minimum, maximum, nulpunten...) Gegeven data-punten beschrijven met functies (regressiemodellen)

Numeriek (Getallen) Getal = “Decimaal” getal (40.5). Gebruikt voor kwantificeren van probleem. Daarna georganiseerde analyse van data via berekeningen en/of grafieken en (eenvoudige) algebra. Wiskunde gebruiken (mathematiseren, wiskundige modellen ..)

Getallen en Grafieken GEBRUIKEN In combinatie met (eenvoudige) formules Mogelijkheden voor wiskundig minder “sterke” leerlingen. Zingeving voor FORMULES

Exponentieel verband tussen de tijd en het volume Manueel opsporen van het verband Controleer of ‘alle’ waarden uit de tabel min of meer beantwoorden aan je gevonden formule. Opsporen van het verband met het grafisch rekentoestel Begeleid zelfstandig leren en werken in de derde graad secundair onderwijs met de TI-83 (84) Plus Geert Delaleeuw

HULPMIDDEL : inhoudelijk Cahier 6 - Ontwikkeling van het functiebegrip in de tweede graad Cahier 1 - Mathematiseren met functies in de derde graad Cahier 2 - Elementaire functies leren gebruiken als wiskundige modellen www.t3vlaanderen.be

HULPMIDDEL : inhoudelijk STATISTIEK “beschrijvend” , “grafisch” : zonder FORMEEL kansbegrip toch werken met kansen en “integralen” (als oppervlakten). REGRESSIE om verbanden tussen data te beschrijven.

HULPMIDDEL : inhoudelijk

HULPMIDDEL : inhoudelijk

HULPMIDDEL : inhoudelijk

HULPMIDDEL : inhoudelijk Cahier 3 - Regressie, een eerste kennismaking Cahier 8 - Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen Cahier 7 - Modelleren vanuit experimenteel verkregen data

HULPMIDDEL : inhoudelijk VERANDERINGEN (Dynamisch syteem) beschrijven Eerst DISCREET “beschrijvend” : numeriek, grafisch, formules Overstap naar “Afgeleide in een punt” om verandering op 1 moment te beschrijven. Calculus : werken met afgeleide functies en “calculus” zonder formeel limietbegrip toch werken met limieten.

Opbouw logistisch model

Logistisch Model r=0.7,K=10

Logistische groei (Verhulst / Pearl&Reed)

Symbol Sense, Algebra en CAS Band tussen verschillende representaties is belangrijk. Alleen grafisch en numeriek is een nadeel.

HULPMIDDEL : computeralgebra Aansluiting met FORMULES ZINVOL in te schakelen in secundair wiskundeonderwijs ? NIET vervanging voor LEREN van de algebraïsche REKENREGELS of van de opbouw en zin van formele systemen

HULPMIDDEL : computeralgebra WEL Hulpmiddel voor CORRECT en BEWUST toepassen van gekende formele rekenregels - in complexere problemen (oplossing deelprobleem) - om te werken met parameters - om te werken met substituties

HULPMIDDEL : computeralgebra WEL Gebruiken als CONTROLEMIDDEL om inzicht te krijgen in basiselementen (substitutie, equivalentie van formules) Alternatieven proberen, overschakelen naar andere representaties

HULPMIDDEL : computeralgebra WEL Bijdrage bij verwerven van “symbol sense” (zinvol gebruiken van formules om oplossingen te vinden voor problemen) P. Drijvers : “Wat “a” is kan je niet weten”

HULPMIDDEL : computeralgebra Situaties aanbieden waarin “symbol sense” kan groeien in directe relatie met conceptuele wiskunde. Vooral uitleggen wat de ZIN en kracht is en hoe het als hulpmiddel gehanteerd (geïnstrumentaliseerd) wordt.

Symbol Sense en Algebra Rol van “letters” als onbekenden, variabelen, parameters … Belangrijke elementen : « Gestalt » Keuzes maken

Grafisch + Computer Algebra in wiskunde-onderwijs - algebra, calculus ... zijn op zich formele systemen, methoden om oplossingen te vinden Gebruiken in COMBINATIE met grafische/numerieke representatie Meer nadruk op zingeving en opzet van het systeem Relativeren voor ingewikkelde puur mechanische oefeningen

Formules-Symbol Sense Experimenteren met algebra en met diverse representaties Hulpmiddel wordt INSTRUMENT (welke formule,procedure wanneer gebruiken ?)

Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten

Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten Parametervergelijkingen van de rechten AB en CD neem een punt P (met parameter k) op AB neem een punt Q (met parameter l) op CD. PQ loodrecht op AB : PQ loodrecht op CD : k en l bepalen (2 vergelijkingen met 2 onbekenden) zo kennen we de punten P en Q en dus ook de lengte van PQ = d(AB,CD)

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak Vind een cartesiaanse vergelijking voor het vlak  met parametervergelijkingen   vlak  door P(6,9,1) met richtingen (-4,12,5) en (1,3,5)

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak We gebruiken de eerste twee vergelijkingen om op te lossen naar r en s : met CAS. Je kunt een stelsel invoeren in de SOLVE-functie door de vergelijkingen te verbinden met "and". De variabelen die we willen berekenen uit dat stelsel plaatsen we tussen accolades.

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak Vervolgens substitueren we deze uitdrukkingen in de derde vergelijking,met | SUBSTITUTE.TUTE Eventueel werken we ook nog de noemers weg. Het vlak  heeft dus als vergelijking 45 x+25 y – 24 z – 471 = 0.

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak Conceptueel duidelijker methode voor eliminatie, met CAS uit te voeren. Band meetkundige context met algebraïsche operaties. Vergt geen “technische” algebra en kan dus snel gebruikt worden in analytische ruimtemeetkunde Later wordt duidelijk wat het voordeel is van andere algebraïsche methoden (o.a. rijherleiden, determinant …) vooral nuttig bij het opstellen van een “algemene formule” . Niet te snel veralgemenen.

Logistisch Model r=0.7,K=10

Logistisch Model r,K Onderzoek de evenwichten en stabiliteit voor K=1 (steeds mogelijk) en verschillende waarden van de parameter r.

De Strofoïde

De Strofoïde De meetkundige plaats ontstaat als snijpunten van geassocieerde krommen. De klassieke werkwijze bestaat erin de parameter te elimineren uit het stelsel vergelijkingen van de geassocieerde krommen. Voor leerlingen is het echter natuurlijker eerst te zoeken naar de snijpunten. Je krijgt op die manier parametervergelijkingen van de kromme. Vaak lijdt dit echter tot zware berekeningen en is het elimineren van de parameter uit de parametervergelijkingen minder eenvoudig dan het elimineren uit het oorspronkelijke stelsel. Deze bezwaren vallen weg als we het rekenwerk kunnen overlaten aan een rekentoestel met computeralgebrasysteem.  

De Strofoïde We voeren de vergelijking van de cirkel en de rechte in en lossen op naar x en y.   .

De Strofoïde Aangezien de rechte en de cirkel twee snijpunten hebben, vinden we twee oplossingen (verbonden met "or"). We laten dan de kromme tekenen met deze parametervergelijkingen.   .

ICT : didactisch gebruik Moet “beheersbaar” blijven voor de leerkracht tijdens de les. Gebruik als illustratie : vooral GRAFISCHE illustratie. Leerkracht kan die ZELF (gedeeltelijk) ter beschikking stellen (ook zonder dat leerling beschikt over GRM) Vergelijking zoeken raaklijn in een punt, of raaklijn aan ellips.

ICT : didactisch gebruik Moet “beheersbaar” blijven voor de leerkracht tijdens de les. Wings of Change, Teaching with the TI-92 Bärbel Barzel – Marie-Curie Gymnasium Düsseldorf, Duitsland Integratie van ICT in het wiskundeonderwijs Anne Van Streun – Universiteit van Groningen, Nederland ICT en manueel rekenwerk in de wiskundeles en in de evaluatie Luc Gheysens – De Pleinschool, Kortrijk

ICT : didactisch gebruik Leren gebruiken als INSTRUMENT bij oplossen van problemen. Leerlingen kunnen zelf ervaring opdoen, controleren, op verschillende manieren voorstellen. Computeralgebra, van "artefact" tot instrument Paul Drijvers – APS, Freudental Instituut, Nederland

ICT : didactisch gebruik Er blijft natuurlijk heel wat in wiskunde dat NIET met ICT gedaan wordt. "If it is not necessary to use a computer/calculator, it is necessary not to use a computer/calculator." (Helmut Heugl)

ICT : didactisch gebruik ”Gematigd” inschakelen van “hand-held” ICT systeem kan wiskunde-onderwijs verrijken en ondersteunen. De machine doet uit zichzelf NIETS : om een resultaat te bereiken moet men weten welke opdrachten hiertoe leiden. Dat vraagt kennis en inzicht van de gebruiker en dus uitleg van de LEERKRACHT

ICT : didactisch gebruik Materiaal beschikbaar voor inschakeling van GRAFISCH REKENTOESTEL. EVOLUTIE en experimenteren met gebruik van geïntegreerd toestel met goede keuzes voor interface …. TI-Nspire

Didactisch HULPMIDDEL POSITIEVE bijdrage Bredere visie op doel wiskundeonderwijs : ook aandacht voor “gebruik” van wiskunde Constructieve aanpak en meer gericht op ZINgeving van abstractie Meer ZINvol onderwijs …

Symposium in LEUVEN op 22,23,24 augustus 2007 Naar 10de symposium Aansluitend bij … 100 jaar Vliebergh-Sencie Centrum K.U.Leuven Symposium in LEUVEN op 22,23,24 augustus 2007

Dank … Voor uw belangstelling en positieve atmosfeer Aan de medewerkers van het hopelijk gevarieerde programma Voor de gastvrije ontvangst door KHBO en de mensen die gezorgd hebben voor organisatie en de prima maaltijden ….