Applied Grouptheory in Condensed Matter Physics Dave de Jonge

Een groep, wat was dat ook alweer? Een verzameling G die aan de volgende axioma’s voldoet:  Als a in G en b in G dan ook ab en ba in G  Eénheidselement e ae = ea = a  Inverse aa -1 = a -1 a = e  Associatief: a(bc) = (ab)c

Voorbeelden  Z (de gehele getallen)  R (de reële getallen)  De symetrieën van geometrische figuren.  De symetrieën van dit plaatje.  De symetrieën van een kristalrooster (de “space group”).

De Point Group Ieder element van de spacegroup is te schrijven als produkt van een translatie en een transformatie die minstens één punt vast houdt: S = T T -1 S = TR De elementen R vormen de zogenaamde “point group”

Point group van het bcc rooster •Rotaties rond de diagonalen •Rond het midden van een zijvlak •Rond het midden van een ribbe •Spiegelingen

Bravais Roosters

De groep van de Schr ö dinger vergelijking Als T in de spacegroup, dan is de Hamiltoniaan van een elektron invariant onder T: H(r) = H(T r) P T Ψ(r) := Ψ(T r) H(r)P T Ψ(r) = H(r)Ψ(T r) = H(T r) Ψ(T r) = EΨ(T r) = EP T Ψ(r) Conclusie: P T Ψ(r) is een oplossing van de Schrödinger vergelijking met dezelfde energie als Ψ(r). De operatoren P T vormen ook een groep.

Bloch’s Theorem We nemen aan dat Ψ op grote schaal periodiek is en dat de spacegroup alleen uit translaties bestaat: Ψ(r) = Ψ(r +N 1 x) = Ψ(r +N 2 y) = Ψ(r +N 3 z) Dan is de spacegroup een eindige groep met N = N 1 N 2 N 3 elementen. Ψ(r + x) = P T Ψ(r) = c Ψ(r) Ψ(r) = Ψ(r +N 1 x) = P T N1 Ψ(r) = c N1 Ψ(r) => c N1 = 1 => c = exp(2πi p 1 /N 1 )

Bloch’s Theorem Ψ(r +x) = exp(2πi p 1 /N 1 ) Ψ(r) = exp(ik x) Ψ(r) k = p 1 /N 1 a Voor iedere keuze van p 1 vinden we een andere vector k in de reciproke ruimte. We kunnen k vervangen door k’ = (p 1 + N 1 ) /N 1 a zonder fysische gevolgen.

Voorbeeld (N 1 = 4) c = exp(2πi p 1 /N 1 ) p 1 =1 => c=i p 1 =2 => c= -1 p 1 =3 => c= -i p 1 =4 => c= 1

3 Dimensies In drie dimensies wordt dit: k = p 1 /N 1 a + p 2 /N 2 b + p 3 /N 3 c Als -½ N i < Als -½ N i < p i < ½ N i Voor i = 1, 2 en 3 k Dan zit k in de eerste Brillouin zone

Degeneratie We kunnen nu ook de pointgroup meenemen: Als Rk ≠k dan geven Rk en k twee verschillende oplossingen met dezelfde energie. Als G 0 de point group is en G 0 (k) de ondergroep waarvoor geldt Rk =k Dan vinden we #G 0 /#G 0 (k) verschillende gedegenereede oplossingen.