Berekenen van de responsie Er zijn 2 mogelijkheden om de responsie van een systeem te berekenen: oplossen van de differentiaalvergelijking of differentievergelijking (→ dit gaan we later doen via Laplace- of z-transformatie) via convolutie

Wat is convolutie ? Een tamelijk moeilijk begrip, daarom eerst discrete convolutie (→ is gemakkelijker om uit te leggen) daarna analoge convolutie (→ om zo te komen tot de convolutie-integraal)

Discrete convolutie input output x[n] x[3] y[n] x[1] y[2] y[0] x[4] y[4] → x[2] y[3] y[1] x[0] n n 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 x[n] = x[0] d[n] + x[1] d[n-1] + x[2] d[n-2] + …. + x[n] d[n-k] + …. oneindige som y[n] = x[0] h[n] + x[1] h[n-1] + x[2] h[n-2] + …. + x[n] h[n-k] eindige som n is het tijdstip waarop de responsie wordt berekend : de responsie kan dus geen rekening houden met de ingangspulsen die nog moeten komen !

Discrete convolutie n = 2 input output x[n] x[3] y[n] x[1] y[2] y[0] x[4] y[4] → x[2] y[3] y[1] x[0] n n 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 x[n] = x[0] d[n] + x[1] d[n-1] + x[2] d[n-2] + …. + x[n] d[n-k] + …. oneindige som y[2] = x[0] h[2] + x[1] h[1] + x[2] h[0] eindige som Een andere manier om dit te begrijpen: de impulsresponsie is causaal, dit wil zeggen dat h[n]=0 voor negatieve n

Voorbeeld ? → x[n] = d[n] + 3 d[n-1] + 7 d[n-3] y[n] 1 n → 0 1 2 3 4 ? x[n] = d[n] + 3 d[n-1] + 7 d[n-3] h[n] n 0 1 2 3 4 y[n] = h[n] + 3 h[n-1] + 7 h[n-3] 2 1 1 n 0 1 2 3 4

Grafische oplossing h[n] 3 h[n-1] 6 3 3 2 1 1 n n 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 h[n-3] y[n] 14 14 10 7 7 7 7 5 1 n n 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

Wiskundig is de convolutie - operator y[0] = x[0] h[0] = 1.1 = 1 y[1] = x[0] h[1] + x[1] h[0] = 1.2 + 3.1 = 5 y[2] = x[0] h[2] + x[1] h[1] + x[2] h[0] = 1.1 + 3.2 + 0.1 = 7 y[3] = x[0] h[3] + x[1] h[2] + x[2] h[1] + x[3] h[0] = 1.0 + 3.1 + 0.2 + 7.1 = 10 … Algemeen : n is het tijdstip waarop de responsie wordt berekend k is de sommeervariabele is de convolutie - operator

De convolutie is commutatief y[n] = x[0] h[n] + x[1] h[n-1] + x[2] h[n-2] + …. + x[n-1] h[1] + x[n] h[0]

Interpretatie van het ingangssignaal x[k] moet eerst worden omgeklapt rond de vertikale as: zo bekomt men het signaal x[-k] dit signaal wordt dan over n tijdstappen verschoven: zo bekomt men x[n-k] men vermenigvuldigt dit signaal met de impulsresponsie h[k], en men doet dit voor alle waarden van k - uiteindelijk neemt men de som van al deze produkten, om zo het uitgangssignaal op het tijdstip n te kunnen berekenen

n = 0 x[n-k] 7 3 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 h[k] 2 1 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y[n] 1 n

n = 1 x[n-k] 7 3 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 h[k] 2 1 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y[n] 5 n 1

n = 2 x[n-k] 7 3 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 h[k] 2 1 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y[n] 7 n 2

n = 3 x[n-k] 7 3 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 h[k] 2 1 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y[n] 10 n 3

n = 4 x[n-k] 7 3 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 h[k] 2 1 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y[n] 14 n 4

n = 5 x[n-k] 7 3 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 h[k] 2 1 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y[n] 7 n 5

n = 6 x[n-k] 7 3 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 h[k] 2 1 1 k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y[n] n 6

1 / z 1 + 2 3 5 7 n = 0 n = 1 n = 2

1 / z 7 10 3 1 + 2 14 n = 3 n = 4 n = 5

Besluit Discrete convolutie is omklappen verschuiven vermenigvuldigen optellen

x(t) x(nD) x(7D) Analoog signaal x(t) kan worden benaderd door een som van rechthoekpulsen : nD 0 1D 2D 3D 4D 5D 6D 7D 8D 9D x(1D) PD(nD-1D) of nD limietovergang : D → dt ; nD → t ; kD → t ; S → ∫ 0 1D 2D x(2D) PD(nD-2D) zodat nD 0 1D 2D 3D

Analoge convolutie x(t) x(t) h(t) y(t) t of (convolutie is commutatief):

Merk op n is het tijdstip waarop de responsie wordt berekend k is de sommeervariabele t is het tijdstip waarop de responsie wordt berekend t is de integreervariabele

Voorbeeld : RC netwerk i(t) R + 1k vIN(t) C vUIT(t) 1µF _ als vIN(t) = u(t) (eenheidsstap), dan is vUIT(t) te berekenen als : (t is hier de integreervariabele)

vIN(t-t) vIN(t-t) vIN(t-t) t t t t1 t2 t3 h(t) h(t) h(t) t t t h(t).vIN(t-t) h(t).vIN(t-t) h(t).vIN(t-t) vUIT(t1) ~ opp. vUIT(t2) ~ opp. vUIT(t3) ~ opp. t t t vUIT(t) vUIT(t) vUIT(t) t t t t1 t2 t3

vIN(t-t) vIN(t-t) vIN(t-t) t t t t1 t2 t3 h(t) h(t) h(t) t t t h(t).vIN(t-t) h(t).vIN(t-t) h(t).vIN(t-t) vUIT(t1) ~ opp. vUIT(t2) ~ opp. vUIT(t3) ~ opp. t t t vUIT(t) vUIT(t) vUIT(t) t t t t1 t2 t3

Besluit Analoge convolutie is omklappen verschuiven vermenigvuldigen integreren