3 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 10

Een grafiek teken je in een assenstelsel. Assenstelsels Een grafiek teken je in een assenstelsel. Zo’n assenstelsel heeft twee assen, een horizontale as en een verticale as. Bij de assen staan variabelen en soms eenheden. Het snijpunt van de assen is het punt O van oorsprong. Je weet dat de stappen per as even groot moeten zijn. Als je het eerste stukje van een as niet nodig hebt, kun je een scheurlijn gebruiken. De laagste waarde van de grafiek is 250. Het stuk tussen 0 en 250 op de verticale as heb je niet nodig. Daarom zie je daar een scheurlijn. In de figuur is de horizontale as naar links doorgetrokken. Daar staan negatieve getallen bij. Soms is ook de verticale as naar beneden doorgetrokken. 10.1

Grafieken in een assenstelsel tekenen Grafieken teken je in een assenstelsel. Soms moet je dat assenstelsel zelf tekenen. Denk daarbij aan het volgende. De variabele voor het = teken hoort bij de verticale as. Bepaal de verdeling van de getallen op de assen. De informatie haal je uit de formule en de andere gegevens. Je wilt de assen niet langer maken dan 10 cm, daar pas je de stappen bij aan. 10.1

Bijzondere formules en grafieken De blauwe grafiek loopt horizontaal. Alle punten op de grafiek liggen op hoogte 3. Alle punten op de grafiek hebben y-coördinaat 3. De formule is dan y = 3. De groene grafiek loopt verticaal. Alle punten op de grafiek hebben x-coördinaat 2. De formule is dan x = 2 Op de rode grafiek liggen de punten (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) enz. De x-coördinaat is altijd hetzelfde als de y-coördinaat. De formule is daarom y = x y = getal  horizontale grafiek x = getal  verticale grafiek y = x  grafiek door O en (1, 1), (2, 2), enz. 10.2

Somgrafiek en verschilgrafiek Soms zijn er twee grafieken in één assenstelsel. Je kunt die grafieken bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. Je maakt dan eerst een tabel van de som of het verschil. Daarna teken je de nieuwe grafiek in hetzelfde assenstelsel. voorbeeld De eigenaar van de videotheek berekent elke dag de omzet en de kosten. Dat zie je in de grafiek. Teken de verschilgrafiek. Aanpak Zet de gegevens uit de grafiek in een tabel en bereken de winst met winst = omzet – kosten 10.3

De eigenaar van de videotheek berekent elke dag de omzet en de kosten. voorbeeld De eigenaar van de videotheek berekent elke dag de omzet en de kosten. Dat zie je in de grafiek. Teken de verschilgrafiek. Aanpak Zet de gegevens uit de grafiek in een tabel en bereken de winst met winst = omzet – kosten Uitwerking 10.3

Somformule en verschilformule Formules met dezelfde variabelen kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. Je krijgt dan een somformule of een verschilformule. formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250w formule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270w somformule huurprijs in € = 100 + 520w w: tijd in weken Je ziet dat de getallen worden opgeteld. De variabelen huurprijs in € en w blijven hetzelfde. Met de somformule bereken je de huurprijs van de twee tenten samen. Bij de formules kun je grafieken tekenen. De grafiek bij de somformule is de somgrafiek. + 10.4

Vergelijkingen oplossen met grafieken Formules met dezelfde variabelen kun je met elkaar vergelijken. Je zoekt dan uit wanneer de formules dezelfde uitkomst hebben. Dat kan op verschillende manieren, met grafieken, met de balansmethode en met inklemmen. Welke manier je gebruikt hangt af van de opgave. In deze paragraaf oefen je het oplossen met grafieken. 10.5

De inkomsten van Sanne en Jordy bereken je met formules. voorbeeld De inkomsten van Sanne en Jordy bereken je met formules. formule Sanne: inkomsten in € = 5 + 2,50t formule Jordy: inkomsten in € = 7,50 + 2,00t t: tijd in uren a Bij hoeveel uren werken verdienen Jordy en Sanne evenveel? b Hoeveel verdienen ze dan? Aanpak Teken de grafieken van de formules. Lees het snijpunt van de grafieken af. Controleer je antwoord door de coördinaten van het snijpunt in beide formules in te vullen. Uitwerking a Bij 5 uren werken verdienen ze evenveel. b Ze verdienen € 17,50. 17,50 = 5 + 2,50 × (5) klopt 17,50 = 7,50 + 2,00 × (5) klopt 10.5

Vergelijkingen oplossen Bij een vergelijking heb je, net als bij een balans, twee kanten. Daarom kun je een vergelijking oplossen met de balansmethode. Links van het = teken noemen we het linkerlid, rechts van het = teken noemen we het rechterlid. 5a – 4 = 9a + 16 De letter in de vergelijking noemen we de variabele. Met de volgende stappen los je de vergelijking op. Zorg ervoor dat de variabele uit het rechterlid verdwijnt. Zorg ervoor dat in het linkerlid de losse getallen verdwijnen. Deel door het getal dat voor de variabele staat. Controleer je antwoord. linkerlid rechterlid 10.6

voorbeeld Los op: ¯3a + 2 = 6 + 5a Uitwerking ¯3a + 2 = 6 + 5a – 2 – 2 ¯8a = 4 : ¯8 : ¯8 a = ¯0,5 Controle linkerlid: ¯3 × (¯0,5) + 2 = 3,5 rechterlid: 6 + 5 × (¯0,5) = 3,5 Het klopt. 10.6

Vergelijking maken van twee formules Twee formules met dezelfde variabelen kun je met elkaar vergelijken. Dat kan met grafieken tekenen, maar het kan ook met de balansmethode. Van de twee formules maak je dan eerst een vergelijking. Die vergelijking kun je oplossen. Soms moet je ook nog weten welke van de twee formules op den duur een hogere of lagere uitkomst heeft. Dan moet je na het oplossen nog een stapje verder gaan. 10.6

bundel A: kosten in € = 3 + 0,07a bundel B: kosten in € = 2,50 + 0,08a Voorbeeld bundel A: kosten in € = 3 + 0,07a bundel B: kosten in € = 2,50 + 0,08a a: aantal sms’jes a Maak een vergelijking van de beide formules. b Bij hoeveel sms’jes zijn de kosten gelijk? c Welke van de bundels is voordeliger op lange termijn? Aanpak a Neem van beide formules het rechtergedeelte en stel die aan elkaar gelijk. Het maakt niet uit welke formule je eerst opschrijft. b Los de vergelijking op met de balansmethode. c Kies voor a(= aantal sms’jes) een getal dat groter is dan de oplossing, hier bijvoorbeeld 100. Vul dat getal in beide formules in. Je ziet nu welke bundel op de lange duur voordeliger is. 10.6

bundel A: kosten in € = 3 + 0,07a bundel B: kosten in € = 2,50 + 0,08a Voorbeeld bundel A: kosten in € = 3 + 0,07a bundel B: kosten in € = 2,50 + 0,08a a: aantal sms’jes a Maak een vergelijking van de beide formules. b Bij hoeveel sms’jes zijn de kosten gelijk? c Welke van de bundels is voordeliger op lange termijn? Uitwerking a 3 + 0,07a = 2,50 + 0,08a b 3 + 0,07a = 2,50 + 0,08a – 0,08a – 0,08a 3 – 0,01a = 2,50 – 3 – 3 ¯0,01a = ¯0,5 : ¯0,01 : ¯0,01 a = 50 c a = 100 bundel A: 3 + 0,07 × 100 = 10 bundel B: 2,5 + 0,08 × 100 = 10,50 bundel A is op de lange termijn voordeliger. 10.6

Vergelijkingen oplossen met inklemmen Je hebt geleerd vergelijkingen op te lossen met grafieken en de balansmethode. In opgave 58 heb je opgelost door inklemmen. Bij inklemmen zoek je naar de oplossing door telkens een ander getal te proberen. Je zoekt wel systematisch naar de beste oplossing. Soms kun je een vergelijking alleen maar oplossen met inklemmen. Dat is bijvoorbeeld het geval als de variabele een macht heeft, zoals bij a3 = 420 of b2 + 2b = 500. 10.7

Kies voor t een getal en kijk of de uitkomst 42,25 is. Klopt het niet? voorbeeld Los op met inklemmen. 5,5 + 3,5t = 42,25 Aanpak Kies voor t een getal en kijk of de uitkomst 42,25 is. Klopt het niet? Kies dan een ander getal. Ga door tot het klopt. Uitwerking t = 10,5 geeft 5,5 + 3,5 × (10,5) = 42,25 klopt ! 5,5 + 3,5t = 42,25 t = 5 5,5 + 3,5 × (5) = 23 te weinig t = 10 5,5 + 3,5 × (10) = 40,5 t = 11 5,5 + 3,5 × (11) = 44 te veel t = 10,5 5,5 + 3,5 × (10,5) = 42,25 klopt 10.7