Tijdcontinue systemen Tijddiscrete systemen

Tijdcontinu systeem: een voorbeeld Fv = b v 2e wet van Newton: Fg - Fv = m a a = versnelling v Fg = m g dv a = dt v = snelheid Eerste-orde differentiaalvergelijking: of met

Hoe verloopt de snelheid van de parachutist? Gegeven: m = 90 kg t1 = 5 sec b1 = 18 N / m/s g = 10 m/s2 Oplossing van de differentiaalvergelijking: [ beginvoorwaarde: v(0) = 0 ]

Verloop van de snelheid 50 m/s 180 km/u 98% 95% 86% 31,5 m/s 63% t t1 2t1 3t1 4t1 t1 = 5 sec

Hoe verloopt de snelheid vanaf het openen van de parachute? b1 = 18 N / m/s b2 = 180 N / m/s t2 = 0,5 sec Oplossing van de differentiaalvergelijking: [ beginvoorwaarde: v(0) = 50 ]

Verloop van de snelheid 50 m/s 37% 14% 5% 2% 18 km/u 5 m/s t t2 2t2 3t2 4t2 t2 = 0,5 sec

Niet-lineair systeem Stel: de luchtweerstand is evenredig met de snelheid in het kwadraat, of met de snelheid tot de derde macht ! Dit geeft aanleiding tot niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

Tijdvariant systeem De massa verandert in functie van de tijd. We bekomen dan een lineaire differentiaalvergelijking met variabele coëfficiënten: De wrijvingscoëfficiënt verandert in functie van de hoogte: b = f(h) met

LTI: Lineair Tijdinvariant x(t) y(t) LTI systeem x1(t) y1(t) x2(t) y2(t) Lineariteit = evenredigheid + superpositie Evenredigheid : als x(t) = k x1(t) dan is y(t) = k y1(t) Superpositie : als x(t) = x1(t) + x2(t) dan is y(t) = y1(t) + y2(t) Tijdinvariant als x(t) = x1(t - to) dan is y(t) = y1(t - to)

Derivatieve eigenschap als x(t) = dx1(t) / dt dan is y(t) = dy1(t) / dt Dit volgt rechtstreeks uit de definitie van de afgeleide, waarbij we dan gebruik maken van de superpositie en de tijdinvariantie:

Continue systemen kunnen worden voorgesteld door differentiaalvergelijking blokdiagram impulsresponsie

1. Differentiaalvergelijking Deze lineaire differentiaalvergelijking beschrijft volledig een lineair tijdcontinu systeem de orde van dit systeem is gelijk aan de orde n van de differentiaalvergelijking (n is gelijk aan de hoogste afgeleide)

2. Blokdiagram 3 basisbouwblokken : schaalfactor sommator integrator A x(t) y(t) = A x(t) x1(t) y(t) = x1(t) + x2(t) x2(t) + y(t) = x(t) 1 / s

Voorbeeld y’’ y’ y x D / A + 1 / s 1 / s + + - B / A - C / A

3. Impulsresponsie h(t) x(t) = d(t) y(t) = h(t) h(t) Het systeem wordt volledig beschreven door het signaal h(t)

Voorbeeld: berekenen van h(t) i(t) R + 1k vIN(t) C vUIT(t) 1µF _ met t = RC = 1 ms

Er zijn 2 mogelijkheden onrechtstreeks via de stapresponsie: de differentiaalvergelijking oplossen met vIN(t) = u(t) de impulsresponsie is dan gelijk aan de afgeleide van de stapresponsie [omdat d(t) de afgeleide is van u(t) ] rechtstreeks de differentiaalvergelijking oplossen met vIN(t) = d(t)

Onrechtstreeks vUIT stapresponsie afleiden vUIT impulsresponsie 1 V t 1 ms afleiden vUIT 1000 V impulsresponsie t 1 ms

Rechtstreeks i(t) R + 1k vIN(t) = 1Vs d(t) vUIT(t) C 1µF _ V = A W op tijdstip t = 0 kan men schrijven = A W vIN(t) - vUIT(t) 1Vs d(t) i(t) = = = 1mC d(t) A s = C R 1kW te verwaarlozen want vIN is oneindig groot

Berekenen van vUIT(0) i(t) = 1mC d(t) R + 1k vIN(t) = 1Vs d(t) vUIT(t) 1µF _ op tijdstip t = 0 wordt de lading van 1 mC onmiddellijk getransferreerd naar de kondensator van 1 µF Q 1 mC Volgens de formule C = wordt de spanning vUIT(0) = = 1000 V V 1 µF

Het verloop van de stroom i(t) vUIT(0) = 1000 V R + 1k vIN(t) = 1Vs d(t) vUIT(t) C 1µF i _ 1 mC t -1 A

Discrete systemen kunnen worden voorgesteld door differentievergelijking blokdiagram impulsresponsie

1. Differentievergelijking x[n] y[n] discreet systeem getallenrij getallenrij rekenvoorschrift algoritme Het rekenvoorschrift ziet er bvb. uit als volgt y[n]= b0 x[n] + b1 x[n-1] + a1 y[n-1] De uitgang is functie van de ingang, maar ook van uitgangen en ingangen op vorige tijdstippen

Orde van het systeem y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + a1 y[n-1] + … + ak y[n-k] de orde k van een discreet systeem is de maximale vertraging van het uitgangssignaal

Recursief / niet - recursief Recursief systeem: y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + a1 y[n-1] + … + ak y[n-k] De uitgang is funktie van de ingang, maar ook van uitgangen en ingangen op vorige tijdstippen Niet-recursief systeem: y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + … + bk x[n-k] De uitgang is enkel functie van de ingang en van ingangen op vorige tijdstippen De orde van een niet-recursief systeem is dus steeds gelijk aan 0 !

2. Blokdiagram 3 basisbouwblokken : schaalfactor sommator vertrager A x[n] y[n] = A x[n] x1[n] y[n] = x1[n] + x2[n] x2[n] + 1 / z x[n] y[n] = x[n-1]

Niet-recursief systeem y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + b2 x[n-2] 1 / z x[n] x[n-1] y[n] x[n-2] b0 b1 b2 + orde = steeds gelijk aan 0: er zijn geen terugkoppelingen

Recursief systeem y[n] = b0 x[n] + a1 y[n-1] + a2 y[n-2] 1 / z x[n] y[n-1] y[n] y[n-2] b0 a1 a2 + orde = maximaal aantal vertragers in het terugkoppelpad !

y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + b2 x[n-2] + a1 y[n-1] + a2 y[n-2] 1 / z 1 / z b0 b1 b2 y[n] + a2 a1 y[n-1] y[n-2] 1 / z 1 / z

3. Impulsresponsie niet-recursief systeem : h[n] is eindig x[n] = d[n] y[n] = h[n] h[n] niet-recursief systeem : h[n] is eindig → FIR : finite impulse response recursief systeem : h[n] is oneindig → IIR : infinite impulse response

FIR n x[n] x[n-1] x[n-2] y[n] 1 b0 b1 2 b2 3 4 beginvoorwaarden 1 b0 b1 2 b2 3 4 beginvoorwaarden Voor het berekenen van de impulsresponsie moeten alle beginvoorwaarden gelijk zijn aan nul ! ingangssignaal

IIR beginvoorwaarden n x[n] y[n-2] y[n-1] y[n] 1 b0 a1 b0 2 1 b0 a1 b0 2 a12 b0 + a2 b0 3 a13 b0 + 2 a1 a2 b0 4 …. ingangssignaal

Digitale teller x[n] y[n-1] 1 / z + y[n] = y[n-1] + x[n] x[n] = u[n] → y[n] = (n+1) u[n] n x[n] y[n-1] y[n] 1 2 3 4 5 dit is een digitale integrator, omdat voor een analoge integrator geldt: x(t) = u(t) → y(t) = t u(t) eenheidsstap

Van continue naar discrete systemen eerste-orde differentiaalvergelijking : volgens de methode van Euler Er zijn 2 manieren: voorwaarts Euler achterwaarts Euler

Achterwaarts Euler y[n] y[n] y[n-1] nTS (n-1)TS nTS

Voorwaarts Euler y[n] y[n+1] y[n] nTS nTS (n+1)TS

Eerste orde differentievergelijking Achterwaarts Euler Voorwaarts Euler

Berekeningen met Excel hoe kleiner de tijdstap TS, hoe nauwkeuriger de benadering, maar hoe meer rekenwerk er nodig is om de responsie te berekenen voor grotere TS, minder rekenwerk, maar ook minder nauwkeurig

TS = t / 4

TS = t / 2

TS = t

TS = t / 0,55

TS = t / 0,5

TS = t / 0,45

We stellen vast dat achterwaarts Euler iets onder, en voorwaarts Euler iets boven de exacte curve ligt dat voor een te grote TS voorwaarts Euler onstabiel wordt

Tweede orde systeem de tweede orde differentiaalvergelijking wordt dan omgezet naar de tweede orde differentievergelijking

TS = t / 4 Q = 4

TS = t / 2 Q = 4

Op dit ogenblik (voor TS = t/2) lijkt voorwaarts Euler beter dan achterwaarts Euler, maar als we TS vergroten …

TS = t Q = 4

TS = t / 0,5 Q = 4

TS = t / 0,44 Q = 4

…dan wordt voorwaarts Euler onstabiel, en achterwaarts Euler niet In de praktijk wordt de methode van Euler niet veel gebruikt, omdat er betere benaderingen bestaan

Algemeen besluit Een systeem kan worden voorgesteld door het signaal h(t) of h[n] We noemen h(t) of h[n] de impulsresponsie Alles wat verder zal worden gezegd over signalen, geldt ook voor systemen