Februari 2011 Risico’s & Afhankelijkheden Hans Waszink Waszink Actuarieel Advies

Februari 2011 Introductie Inhoud Doel, Begrippen, Achtergrond Wiskundige Theorie ter introductie Copula Practicum- vergelijken verschillende methoden

Februari 2011 Doel –M.b.v. interne modellen risico’s modelleren in onderlinge samenhang. –Blootstelling van verzekeraars aan geaggregeerde risico’s beter begrijpen. –Meer zekerheid voor polishouders dat verplichtingen zullen worden voldaan. –Betere informatie voor beleidsmakers en aandeelhouders: verplichtingen correct(er) waarderen; beter inzicht in kapitaalsbehoefte & verhouding risico/rendement –NB interne modellen zijn niet nieuw en niet Solvency II specifiek: –Economisch Kapitaal; –Catastroferisico (EQE/RMS/AIR) –Markt & Kredietrisico (bv Barrie & Hibbert, KMV,Creditmetrics) –Claims run-off (ICRFS/Mack)

Februari 2011 Wat is het doel niet ? Ingewikkelde oplossingen voor simpele problemen. Gebruik complexiteit alleen waar nodig. Op hoog niveau is een eenvoudige uitleg nog steeds vereist. Pretenderen dat we onze modellen kunnen perfectioneren. We hebben nog steeds parameter- & modelrisico. Blindvaren op de uitkomsten van modellen en het belang van kwaliteitsbewaking van bedrijfsprocessen in het algemeen uit het oog verliezen. Als de processen niet onder controle zijn, dan zijn de risico’s niet te modelleren.

Februari 2011 Afhankelijkheid Onafhankelijkheid Het één heeft in het geheel geen relatie tot het ander. De uitkomst van het een geeft geen informatie over de uitkomst van het ander. Afhankelijkheid Twee verschijnselen zijn niet onafhankelijk van elkaar, bijvoorbeeld: Verschillende fenomenen hebben gemeenschappelijke oorzaak Het één veroorzaakt het ander; Het één veroorzaakt soms het ander; Het één veroorzaakt op den duur het ander; Het één beïnvloedt het ander; …

Februari 2011 Voorbeelden van Afhankelijkheid Verschillende financiële en verzekeringsrisico’s vertonen dikwijls enige vorm van afhankelijkheid. Markt- en kredietrisico worden beide versterkt door economische recessie. Langdurige economische achteruitgang beïnvloedt levensverwachting.

Februari 2011 Diversificatie Diversificatie wil zeggen: niet alle risico’s treden op hetzelfde moment op. Diversificatie is het complement van correlatie en afhankelijkheid. Meer afhankelijkheid = minder diversificatie Diversificatie is een noodzakelijke behoefte van iedere bank en verzekeraar. Voorbeeld: verzekeraar heeft 1 miljoen posten met gemiddeld risicobedrag € per post (bv. uitkering bij overlijden, of herbouwwaarde woning). Het totale risicobedrag is €100 miljard. € 100 miljard = 4 * beurswaarde van ING Groep

Februari 2011 Correlaties & De Crisis –Negative correlations among asset classes, so evident during an expansion, can collapse as all asset prices fall together, undermining the strategy of improving risk/reward trade-offs through diversification.’ Alan Greenspan Financial Times 16 March –Warren Buffet in 2002 called CDOs financial weapons of mass destruction - since he believes, contrary to the philosophy behind CDOs, that default risk is correlated and cannot be diversified away. CDOs and other such debt-related derivatives have been blamed for the 2007 credit crisis.

Februari 2011 Modellering –Percentielen in combinatie met correlatiematrix. –Stochastische (Monte Carlo) simulatie met behulp van Copula’s. –Seriële correlatie, d.w.z. ‘door de tijd heen’ - tijdreeksen; –Oorzaak & gevolg; –Control cycle: Realisatie -> Aanpassing -> Nieuwe realisatie Vandaag komen de eerste twee technieken aan bod. Technieken voor het modelleren van afhankelijkheden o.a.

Februari 2011 Correlatie De mate van afhankelijkheid tussen risico’s. (Lineaire) correlatie tussen X en Y = E[XY]-E[X]E[Y] σ(X) σ(Y) De correlatie ligt altijd tussen -1 en 1. Voordelen: –eenvoudig te bepalen, –eenvoudig toe te passen –algemeen bekend Nadelen: –Correlatie maakt geen onderscheid tussen oorzaak en gevolg. –Correlatie is een functie van enkel verwachting en variantie. => deze worden gemeten over de hele verdeling, maar in de staart kan zij anders zijn dan in het midden. –Correlatie legt de afhankelijkheid niet volledig vast. Verschillende typen afhankelijkheid leiden tot dezelfde correlatie. Bij simulatie van risico’s is correlatie derhalve niet voldoende om het model volledig te specificeren.

Februari 2011 Voorbeeld X ~ N(0, 1) X heeft standaard normale verdeling. Y = X 2. Vraag: zijn X en Y onafhankelijk? Vraag: wat is de correlatie tussen X en Y? 0

Februari 2011 Voorbeeld De correlatie tussen X en Y is 0! Reden: Wanneer X> 0, dan stijgt Y als X stijgt. Wanneer X< 0, dan daalt Y als X stijgt. Stel X= 2, Y =4. Als X stijgt naar 2.2 dan stijgt Y naar 2,2 2 = 4.84 Stel X= -2, Y =4. Als X daalt naar -2.2, dan stijgt Y naar 2,2 2 = 4.84 Aangezien X symetrisch is rond 0, hebben deze stijging en daling een compenserend effect op de correlatie.

Februari 2011 Conclusie –Correlatie is een maat voor afhankelijkheid, maar geen volledige. –In het geval van asymetrische afhankelijkheid voldoet de correlatie minder goed.

Februari 2011 Verwachting: E Variantie: σ 2. Voor alle kansvariabelen X 1 en X 2 geldt: E[X 1 +X 2 ] = E[X 1 ] + E[X 2 ] σ 2 [X 1 +X 2 ] = σ 2 [X 1 ] + 2 ρ σ[X 1 ] σ[X 2 ] + σ 2 [X 2 ] waarbij ρ de lineaire correlatie: Enkele begrippen uit de theorie

Februari 2011 VaR = Value at Risk 99,5% VaR is het maximale verlies dat optreedt met een kans van 99,5%. 99,5% VaR = 99,5% percentiel van de kansverdeling: Enkele begrippen uit de theorie 99,5% 0,5% 99.5% VaR

Februari 2011 Enkele begrippen uit de theorie Normale Verdeling –De normale verdeling heeft 2 parameters: μ Verwachting σ Standaard Deviatie

Februari 2011 Normale Verdeling Wanneer we μ en σ van de Normale verdeling weten, dan ligt de verdeling volledig vast. We weten dan ook 99.5% Var bv: 99% VaR - μ = 2.33 σ 99.5% VaR - μ = 2.58 σ Stel dat X 1, X 2 en X 1 +X 2 alle Normaal verdeeld zijn. Dan geldt niet alleen: σ 2 [X 1 +X 2 ] = σ 2 [X 1 ] + 2 ρ σ[X 1 ] σ[X 2 ] + σ 2 [X 2 ] maar ook: V 2 [X 1 +X 2 ] = V 2 [X 1 ] + 2 ρ V[X 1 ]* V[X 2 ] + V 2 [X 2 ], waarbij V = x% VaR– μ voor willekeurig percentage x. Echter de laatste formule geldt (bijna) alleen voor Normale verdelingen!

Februari 2011 Normale Verdeling Deze formule komt terug in de QIS4 en 5 spreadsheets:

Februari 2011 Normale Verdeling Stel dat X 1 en X 2 beide normaal verdeeld zijn. Is X 1 + X 2 dan ook Normaal verdeeld? Antwoord: niet noodzakelijk Echter: Voor een bepaalde klasse van Normale verdelingen geldt dat wanneer X 1 en X 2 Normaal verdeeld zijn, X 1 + X 2 eveneens Normaal verdeeld is. We noemen deze klasse: Multivariaat Normaal.

Februari 2011 Normale Verdeling Som 1 en Som 2 zijn beide de som van twee standaard normale verdelingen met 0 correlatie. Som1 is Normaal verdeeld, Som 2 niet.

Februari 2011 Normale Verdeling Conclusie: Wanneer X, Y, X+Y Normaal verdeeld dan kan de VaR van X+Y direct worden berekend op basis van de VaR van X en Y, de correlatie tussen X en Y, en de verwachting van X en Y. Echter, Als X en Y en X+Y niet alle Normaal verdeeld zijn, dan kan de verdeling van X+ Y niet worden bepaald op basis van bovenstaande gegevens. De verdeling van X+Y hangt dan ook nog af van het soort afhankelijkheid tussen X en Y. Deze wordt wel vastgelegd door een zg. Copula.

Februari 2011 Centrale Limiet Stelling Wanneer X 1, X 2,…,X n onafhankelijk en identiek verdeeld zijn, en eindige variantie hebben, dan convergeert de som S: S = X 1 + X 2 +…X n naar een Normale verdeling. Vanwege de CLS wordt de Normale verdeling in de praktijk veel gebruikt.

Februari 2011 Centrale Limiet Stelling Echter, de Centrale Limietstelling geldt in het algemeen niet: Wanneer de variantie van de verdeling niet bestaat (bv. Pareto verdeling); Wanneer de verdelingen niet identiek zijn Wanneer de verdelingen niet onafhankelijk zijn. Voor andere functies van X 1, X 2,…,X n dan de som. Geldt CLS voor rendement op aandelenindex?

Februari 2011 Centrale Limiet Stelling

Februari 2011 Centrale Limiet Stelling Voorbeeld: Rendement op Aandelenportefeuille/Index (Log)Normaal verdeeld?

Februari 2011 Copula - theorie Stel X heeft kansverdeling F, d.w.z. P(X ≤ w) = F(w). F(w) is een niet dalende functie en 0 ≤ F(w) ≤ 1.

Februari 2011 Copula - theorie F heeft ook een inverse: als F(w)= k%, dan F -1 (k%) = w, met 0 ≤ k ≤ 100%. F -1 (k%) is de k% VaR van X. Bv. de 50% VaR van de standaard normale verdeling is 0. Kans = 50% Waarde = 0 F -1 (50%) = 0

Februari 2011 Copula - theorie Een kansvariabele X heeft verdeling F d.w.z. P(X ≤ w) = F(w). F is een niet-dalende functie. 0 ≤ F ≤ 1 F heeft een inverse F -1.

Februari 2011 Copula - theorie Definieer: U heeft uniforme verdeling op [0,1] d.w.z. P(U ≤ u) = u, 0 ≤ u ≤ 1. Verdelingsfunctie U 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Waarde Kans U ≤ Waarde

Februari 2011 Copula - theorie Vraag: Wat is de kansverdeling van F -1 (U) ? Waarbij U uniform[0,1] en F een kansverdelingsfunctie. P(F -1 (U) ≤ w) = P(F(F -1 (U)) ≤ F(w)) = P(U ≤ F(w)) = F(w).  De kansverdeling van F -1 (U) is F ! !  We kunnen een kansvariabele met kansverdeling F construeren door een uniform verdeelde variable U te transformeren met de inverse van F.

Februari 2011 Copula - theorie Vraag: Wat is de kansverdeling van F(X) waarbij F de kansverdeling van X is ? 0 ≤ F(X) ≤ 1 en P(F(X) ≤ w) = P(F -1 (F(X)) ≤ F -1 (w)) = P(X ≤ F -1 (w)) = F(F -1 (w))= w.  De kansverdeling van F(X) is Uniform[0,1]

Februari 2011 Copula - theorie Wat is een Copula? In wiskudige termen: een gezamenlijke verdelingsfunctie van meerdere Uniform [0,1] verdeelde variabelen: C[0,1] n → [0,1]. In meer praktische termen: een volledige en eenduidige definitie van de afhankelijkheid van meerdere variabelen. Bijvoorbeeld (2 variabelen): C[u1,u2] = P(U1 ≤ u1, U2 ≤ u2) C[u1,u2] = u1 * u2 : Onafhankelijkheid;

Februari 2011 Copula - theorie Wanneer altijd geldt: U1 = U2, dan is er maximale afhankelijkheid (comonotoon)

Februari 2011 Copula - theorie Enige andere copula’s: ‘Staart’ afhankelijkheid ‘Normale’ correlatie Y = X 2 X~ N(0,1)

Februari 2011 Copula - theorie Voor twee variabelen U1 en U2 legt C[u1,u2] legt de gezamelijke verdeling van U1 en U2 volledig vast. Voor niet-Uniforme verdelingen X en Y gebruiken we vervolgens de transformaties F X -1 (U1) en F Y -1 (U2). De kansverdeling van (X,Y) is dan: P(X ≤ x, Y ≤ y) = C[F X (x),F Y (y)] Voor iedere vorm van afhankelijkheid tussen X en Y is er een copula C! Voorbeeld: X ~ N(0,1) en Y~ N(0,1), X en Y onafhankelijk, x=y=0: P(X ≤ 0, Y ≤ 0) = C[F X (0),F Y (0)] = C[½, ½ ] = ½ × ½ = ¼.

Februari 2011 Copula - theorie U1 Copula U2 U1, U2 uniform, afhankelijkheid volgens Copula transformatie met behoud copula X= F X -1 (U1) Copula Y = F Y -1 (U2)X, Y hebben gewenste verdeling en afhankelijkheid volgens Copula. heeft verdeling F X heeft verdeling F Y

Februari 2011 Copula - theorie De copula legt de afhankelijkheid tussen variabelen volledig vast. Onafhankelijkheid is een copula Comonotoniciteit is een copula Correlatie is geen copula Bij simulatie van meerdere variabelen gebruik je altijd een copula! De copula staat geheel los van de verdelingsfuncties van de individuele variabelen.

Februari 2011 De ‘Normale’ Copula We hebben eerder gezegd: Stel dat X 1 en X 2 beide normaal verdeeld zijn. Is X 1 + X 2 dan ook Normaal verdeeld? Antwoord: niet noodzakelijk Echter: Voor een bepaalde klasse van Normale verdelingen geldt dat wanneer X 1 en X 2 Normaal verdeeld zijn, X 1 + X 2 eveneens Normaal verdeeld is. We noemen deze klasse: Multivariaat Normaal.

Februari 2011 Normale Verdeling Wanneer X 1 en X 2 onafhankelijk en beide Normaal verdeeld, dan zijn aX 1 en X 1 + X 2 ook Normaal verdeeld. => Als X 1 en X 2 Normaal, en onafhankelijk van elkaar, dan geldt: Y = aX 1 + b X 2 is eveneens normaal verdeeld. Indien X 1 en X 2 gelijke variantie hebben, dan geldt: correlatie (Y, X 1 ) = a/√(a 2 + b 2 ), dus als a 2 + b 2 = 1, dan: correlatie (Y, X 1 ) = a.

Februari 2011 Normale Verdeling We kunnen de parameters a en b zo kiezen dat X, en Y de gewenste correlatie hebben. Uitbreiding naar meerdere variabelen is eveneens mogelijk m.b.v. van de zogenaamde Choleski-decompositie. Aldus kunnen we een klasse van variabelen constureren waarvoor geldt: Afhankelijkheid ligt volledig vast. Afhankelijkheid wordt bepaald dmv correlatiematrix. Alle variabelen, en lineaire combinaties daarvan zijn Normaal verdeeld. Deze klasse heet ‘Multivariaat Normaal’, en legt ook een copula vast.

Februari 2011 Multivariaat Normale Copula N 1 Normale N 2 N 1, N 2 multivariaat Normaal Copulaverdeeldmet correlatie ρ. transformatie met behoud copula U 1 Normale U 2 U 1, U 2 Uniform Copula Z 1 = F Z1 -1 (U 1 ) Z 2 = F Z2 -1 (U 2 )Z 1, Z 2 hebben gewenste verdeling en afhankelijkheid volgens Normale Copula. heeft verdeling F Z1 heeft verdeling F Z2

Februari 2011 Multivariaat Normale Copula Door de transformatie van X naar Z kunnen we de Multivariaat Normale Copula gebruiken in combinatie met alle verdelingsfuncties. De lineaire correlaties van de normale verdelingen X 1 en X 2 veranderen echter wel bij niet-normale verdelingen. De transformatie Z = F Z -1 (F X (X)) is dan niet lineair. Ook bij niet- normale verdelingen geldt echter nog steeds: Normale copula met correlatie 1 = Comonotone Copula (maximale afhankelijkheid). Normale copula met correlatie 0 = Onafhankelijke Copula;

Februari 2011 Multivariaat Normale Copula Voordelen: We kunnen nog steeds werken met een correlatiematrix. De correlaties kunnen worden geschat op basis van waarnemingen. Tussen ieder paar variabelen kunnen we de correlatie apart vastleggen. De veronderstelling van Normaal verdeelde variabelen is niet langer noodzakelijk. We hebben een eenduig gedefinieerde structuur zonder inconsistenties waaruit we alle eigenschappen van de gezamenlijke kansverdeling kunnen afleiden. Nadelen: Correlaties nog steeds symmetrisch, dus minder geschikt voor asysmetrische afhankelijkheden (bv. oorzaak & gevolg). Simulatie benodigd, geen analytische oplossing. Geen staartcorrelatie, d.w.z. correlaties nemen af tot 0 in de staart van de verdeling. Na de kredietcrisis willen we daar juist wel correlatie.

Februari 2011 Staartcorrelatie Normale copula met 90% Correlatie. Door de constructie waarbij gesommeerd wordt over onafhankelijke verdelingen heeft de Normale Copula geen ‘Staartcorrelatie’.

Februari 2011 Staartcorrelatie Normale copula met 90% Correlatie. Wanneer je inzoomt op linkeronderhoek, is de resterende correlatie nog slechts 50%!

Februari 2011 Staartcorrelatie Een uitbreiding van de Normal Copula heeft een hogere staartcorrelatie. Dit is de zg. T-copula: Stel: Y 1 en Y 2 als hiervoor. Z ~ χ 2 v : Chikwadraat met v vrijheidsgraden. W 1 = Y 1 /√(Z/v) W 2 = Y 2 /√(Z/v) W 1, W 2 hebben afhankelijkheid volgens t-copula met v vrijheidsgraden. Hoe lager het aantal vrijheidsgraden, hoe groter de staartcorrelatie.

Februari 2011 Staartcorrelatie correlatie = 0 correlatie = 0 correlatie = 0,5 correlatie = 0.5 Normale copula t-copula 1 df Normale copula t-copula 3 df Afhankelijkheid in extreme situaties veel groter dan in normale omstandigheden.

Februari 2011 Practicum Opdracht 1: Simuleer 2 variabelen Copula: Comonotoon Verdeling 1: Uniform (0,1) Verdeling 2: Normaal(0,1) 100 simulaties Ga naar blad Simulation: hier vind je de simulaties Is er een verband tussen Verdeling 1 en Verdeling 2?

Februari 2011 Practicum Opdracht 2: Simuleer 2 variabelen Copula: Normaal Verdeling 1: Normaal(0,2) Verdeling 2: Normaal(0,2) simulaties correlatie = 0.5 Ga naar blad Simulation: hier vind je de simulaties Bepaal het 95% - percentiel van de som van Verdeling 1 + Verdeling 2 als: V 2 [X 1 +X 2 ] = V 2 [X 1 ] + 2 ρ V[X 1 ]* V[X 2 ] + V 2 [X 2 ], waarbij V = 95% Var – E[.]. Herhaal met Verdeling 1, Verdeling 2: Lognormaal i.p.v. Normaal

Februari 2011 Practicum Opdracht 3: herbereken het totale kapitaal op basis van niet-normale verdelingen m.b.v. het simulatiemodel, op basis van dezelfde gegevens als de QIS4/5 sheet. Gebruik hiervoor de sheet ‘qis4 voor cursus’ al dan niet aangevuld met gegevens uit de eigen QIS4/QIS5 sheet. Pas verschillende Copula’s toe: Normaal, t, Comonotoon, onafhankelijk. Doe gevoeligheidsanalyses op de parameters.

Februari 2011 Afsluiting Literatuur: 'Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models and Algorithms' 'Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management' ' 'Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models and Algorithms' The Report of the Research Working Party on Correlations and Dependencies Among All Risk Sources Voor verdere discussie kan de volgende blog worden gebruikt: