De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Particle Physics 2003/2004Part of the “Particle and Astroparticle Physics” Master’s Curriculum 1 Particle Physics II V.Quantum Flavour Dynamics: QFD (5)

Verwante presentaties


Presentatie over: "Particle Physics 2003/2004Part of the “Particle and Astroparticle Physics” Master’s Curriculum 1 Particle Physics II V.Quantum Flavour Dynamics: QFD (5)"— Transcript van de presentatie:

1 Particle Physics 2003/2004Part of the “Particle and Astroparticle Physics” Master’s Curriculum 1 Particle Physics II V.Quantum Flavour Dynamics: QFD (5) Low q 2 weak interaction High q 2 weak interaction Electro-weak interaction Experimental highlights: LEP VI.Origin of mass? (2) Symmetry breaking Higgs particle: in e  e  and in pp VII.Origin of matter? (5) K 0 -K 0, oscillations B 0 -B 0 oscillations Neutrino oscillations VIII.Fantasy land (2) Particle Physics I I.Introduction, history & overview (2) II.Concepts (3): Units (h=c=1) Relativistic kinematics Cross section, lifetime, decay width, … Symmetries (quark model, …) III.Quantum Electro Dynamics: QED (6-7) Spin 0 electrodynamics (Klein-Gordon) Spin ½ electrodynamics (Dirac) Experimental highlights: “g-2”, e  e , … IV. Quantum Chromo Dynamics: QCD (3-4) Colour concept and partons High q 2 strong interaction Structure functions Experimental highlights:  s, e  p, … III. Quantum Electro Dynamics: QED SB JvdB File on “paling”: z66/PowerPoint/ED_Master/QED.ppt

2 2 Spin-0 Elektrodynamika Electromagnetische wisselwerking voor deeltjes die aan de Klein-Gordon vergelijking voldoen “spinloze” electronen of “spinloze” muonen geladen   & K  (zonder sterke wisselwerking)

3 3 Klein-Gordon vergelijking “Vertaling” van p 2 =m 2 naar Q.M. (p   i    (i  t,  i  ) dan E=p 2 /2m  Schrödinger vgl.): Problemen: Historisch: drop Klein-Gordon t.g.v. Dirac vgl. Beter: her-interpretatie van j  : D.w.z.: Dit is de interpretatie van: Pauli & Weisskopf Stückelberg & Feynman

4 4 Deeltje  anti-deeltje In termen van de ladingsstroom(dichtheid): Oftewel: volgende scenario's identiek! tijd +e (  E,  p) absorptie ee (+E,+p) emissie e+e+ ee Dus voor een systeem geen verschil tussen: Emissie: e  met p  =(+E,+p) Absorptie: e + met p  =(  E,  p) (factor 2)

5 5 Storingsrekening ee 2 e orde: ee Intermediair: e  ee ee Intermediair: e  e + e  Pair annihilation Pair creation D.m.v. anti-deeltjes wordt het vacuüm een complexe omgeving: e + e  paren kunnen uit het vacuüm komen of erin opgaan 1 e orde: tijd ee

6 6 Maxwell vgl. en Lorentz invariantie Maxwell: Stel h/2  =c=1 en introduceer potentiaal A  =(V,A) en de stroom j  =( ,j): Dus: Nog kompakter met F    A  A  :

7 7 IJk invariantie Vrijheid keuze A  Want: A  nog steeds niet uniek; want: Gebruik deze vrijheid om vgl. A  te vereenvoudigen (covariant): Lorentz konditie: En dus b.v. mogelijk om te voldoen aan (niet covariant): Coulomb konditie

8 8 Foton golffunktie In vacuüm geldt j  =0 en dus: Met als oplossingen (vlakke golven): I.p.v. 4 vrijheidsgraden (   ) dus nog maar 2: transversaalcirculair Onder rotatie over  rond z-as: IJk keuze: Lorentz konditie: Coulomb konditie:

9 9 Impuls en energie behoud ee e+e+  tijd pipi pfpf pp p+p+ k pp p+p+ k pipi pfpf k pipi pfpf k p+p+ p+p+

10 10 Dus:  Interakties: Klein-Gordon veld en A  “minimale substitutie” (of via lokale ijkinvariantie) T fi : gebruikt:  =Ne  ip  x Hogere orde (wel essentieel voor ijk-invariantie!) partieel integreren

11 11 Interactie van geladen deeltje met statisch elektrisch veld: V(x) pipi pfpf

12 12 Coulomb-verstrooiing V(x) pipi pfpf

13 13   K     K  verstrooiing Overgangswaarschijnlijkheid per tijds- en volume eenheid: e  iqx =  q 2 e  iqx Veronderstel:   verstrooit aan A  t.g.v. de K . Hoe vind je A  ? Ansatz: Vindt een oplossing van de Maxwell vgl. Met als stroom term de “overgangsstroom” die hoort bij K  ! KK  KK   (A) (B) (C) (D) De overgansamplitude T fi wordt dus: vgl. college “concepts”

14 14   K     K  verstrooiing De amplitude M wordt (q  p D -p B =p A -p C ): Notatie: verwaarloos massa’s KK  KK   (A) (B) (C) (D) Plug in standaard uitdrukking voor d  A+B  C+D /d  : A BAB

15 15 ‘Feynman regels’ Vertexfactor: voor elke vertex introduceer een factor -ie  (4  )p . e : koppeling van deeltje aan het e.m. veld, p  : som van 4-impulsen voor en na de vertex Propagator: voor elke interne lijn introduceer een factor –ig  /q 2 q: de 4-impuls van het uitgewisselde quantum B A C D Houdt rekening met impulsbehoud in elke vertex (uitdrukking voor q in termen van p A, p B, p C, p D ) Berekening differentiële werkzame doorsnede identiek aan die voor “ABC” model

16 16 Elektrodynamika (S=0): Feynman regels Externe lijnen Vertices: Propagatoren: p 1 k in:   out:   p p’ k p kk’ q q

17 17          verstrooiing pBpB q=p A -p C =p D -p B (a) pDpD pApA pCpC pBpB (b) pApA q=p A -p D =p C -p B pDpD pCpC Gewoon regels volgen geeft: En daarmee de werkzame doorsnede: Let op: faktor ½ identieke deeltjes!

18 18    +     + verstrooiing Gewoon regels volgen geeft: Etcetera! (a) pBpB q=p A -p C =p D -p B pDpD pApA pCpC  ++ (b) pBpB q=p A +p B =p C +p D pDpD pApA pCpC  ++  ++ pDpD pBpB pDpD pBpB

19 19  +    K + K  verstrooiing Follow the rules: pDpD pBpB 2. anti-particles  time reversed particles pBpB q=p A +p B =p C +p D pDpD pApA pCpC  ++ KK K+K+ 1. Feynman diagram(s): 3. amplitude: 4. standard d  /d  expression: 6. relativistic limit (set particle masses to zero): 5. pick frame (c.m.) & make 4-vectors explicit: A B C D 

20 20        verstrooiing q=p+k =p’+k’ (a) “Direkte interaktie” p k p’ k’ (a) (c) “Kontakt interaktie” p p’ k k’ (c) k  =k’  ’=0 (b) “Exchange interaktie” q=p-k’ =p’-k p k p’ k’ (b) k  =k’  ’=0

21 21 IJk-invariantie I Totale amplitude: Lorentz konditie: (al gebruikt) Resterende vrijheid: Uit laatste volgt o.a. invariantie M onder: Algemeen: Toepassen op        Nu  k en gebruik:

22 22 IJk-invariantie II Dus met  k en  ’  k’ wordt –iM a -iM b : Dus niet ijk-invariant! Door –iM c erbij te betrekken (“vergeten” tot nu toe) vind je ijk-invariantie terug! Dit gerealiseerd hebbende kan je ijk-invariantie gebruiken om de te berekenen amplitude te vereenvoudigen! D.w.z. iedere keer als er een A  verschijnt kan je polarisatie vector   vervangen door een lineaire combinatie van   en k  ! Voor onze        berekening manipuleer je het zo dat:  p=0 en  ’  p=0 Daarmee wordt M a =M b =0 en blijft slecht M c over!

23 23 Vervolg        berekening Amplitude: A+B  C+D standaard: 4-vektor behoud: Kies nu eens het Lab. stelsel: En dus:

24 24 Slot        berekening Daarmee wordt de werkzame doorsnede: De totale werkzame doorsnede na middelen en sommeren foton polarisaties: De essenties: 1.Feynman: handige rekenregels in termen van diagrammen 2.Ijkinvariantie: gebruik alle diagrammen orde  n essentieel

25 25  +     verstrooiing (a) “Direkte interaktie” (a) q=p-k =k’-p’ p k’,  ’ -p’ k,      (b) “Exchange interaktie” (b) q=p-k’ =k-p’ p k’,  ’ -p’ k,      (c) “Kontakt interaktie” p -p’ k,  k’,  ’ (c)      ,p’  ,  p’ particle anti-particle

26 26 Vervolg  +     verstrooiing Ijkinvariant? D.w.z. ? Dus inderdaad ijkinvariant! Gebruik dit om: p  =0 en p  ’=0 te krijgen Standard d  /d  expression c.m. frame: ++    Use relativistic limit (k  p f =p i  p); identical particles; sum over foton polarisations! Let op: Polarisatie som kan je doen zoals je wilt; als je maar over alle mogelijke polarisaties sommeert! Ik kies “gewoon” z//  -richting en x,y   -richting. (faktor 2)  e 2

27 27 Dirac vergelijking

28 28 Golf-vergelijkingen Quantummechanica: De golffunctie wordt verkregen m.b.v. de transcriptie Schrödinger vergelijking Klassiek, E=p 2 /2m Klein Gordon vergelijking Relativistisch, E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4 Vergelijking met 2 e afgeleide naar de tijd  er bestaan oplossingen met negative energie Dirac vergelijking Relativistisch, lineair in  /  t Om aan relativistische uitdrukking E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4 te voldoen:  en  matrices met: 0 0 1

29 29 Dirac algebra Eigenwaarden  i en  zijn  1 en dimensie (d) is even Voor d=2 zijn er maximaal 3 anti-commuterende matrices Voor d=4 zijn er inderdaad 4 anti-commuterende matrices (laagste dimensie waarin Dirac algebra in kan worden gerepresenteerd) De matrices  i en  moeten voldoen aan

30 30 Dirac algebra Expliciet Lorentz-invariantie notatie (x  ): met: Dirac algebra: Let op:   is geen 4-vector, (zie later voor rechtvaardiging gebruik Lorentz index  ) definitie: Je kunt laten zien dat:

31 31 Dirac vergelijking Dus stroom j  : Dirac vergelijkingen voor Optellen na multiplicatie met Vgl. Klein-Gordon: Het stroombehoud wordt verkregen via geconjugeerde Dirac vergelijking: 0 0

32 32 Oplossing deeltje in rust: Splits  in twee componenten, dan volgt (  0  (1/c)  t ) Oplossingen De 4 onafhankelijke oplossingen volledig uitgeschreven: ee e+e+ Dirac vgl. voor p=0 eenvoudig:

33 33 Oplossing bewegend deeltje: probeer “ansatz”  voor spinor u(p) splits spinor u(p) in twee componenten: Invullen: B.v. voor u A (p): p 

34 34 Wat levert ? En hiermee kan expliciet aangetoond worden dat aan de relativistische vergelijking voor de energie voldaan wordt: (niet erg verbazend: had Dirac er in gestopt!) 0

35 35 Volledige oplossingen Dirac vgl. De 4 onafhankelijke oplossingen worden m.b.v. de Dirac spinoren: Oplossingen E<0 (3 en 4) Oplossingen E>0 (1 en 2) Normalisatie:

36 36 Dirac stroom j  Waarom? Expliciet uitschrijven, b.v. voor de x-component: De waarschijnlijkheidsdichtheid j 0 is altijd positief. Dit resulaat was uitgangspunt van Dirac’s werk! De stroom j  voor p i =0 (met standaard normalisatie) De stroom j  voor p i  0 (met standaard normalisatie)

37 37 Instrinsieke spin De E>0 en de E<0 oplossingen van de Dirac vergelijking zijn tweevoudig ontaard. Welke observabele kan deze toestanden onderscheiden? Slim combineren: Def.  Gebruik de Hamiltoniaan voor de Dirac vgl.:

38 38 Wat levert op  ? [H,  2 ]=0 maar [H,  ]  0 en dus:  i.h.a. geen eigenvector van  3 deeltjes met spin=1/2 z-component van de spin: ½  3 +½: positieve heliciteit  ½: negatieve heliciteit voor p  0 deeltjes met spin=1/2 Spin component  p kan altijd gebruikt worden: De operator heet heliciteit; eigenwaarden zijn  1/2 Want: voor p=0:

39 39 Spinors with helicity  1/2 Particle spinors: Which linear combinations are also eigenstates of the helicity: Must solve: for  and  Therefore:

40 40 Measurements of “g-2”

41 41 Magnetisch moment Dirac deeltje In volgende college zal blijken dat een Dirac deeltje wisselwerkt via: zijn elektrische lading: (net als een Klein-Gordon deeltje) zijn magnetisch moment: Conventies: g=2?Baryonen: p & n g p  5.6 g n  3.8 quark sub-structuur Leptonen: e  &   ( a  (g-2)/2) B BBB sub-structuur vacuüm q  factor two!

42 42 Classical precession: spinning top =0 Apply to an electron or muon B y z x

43 43

44 44 Principle B Elektron “Penning” trap (N e =1) E  1 meV (T  4.2 K)  =(g/2)  (eB/mc) Muon Storage Ring (N   10 4 ) E  3 GeV (  30)  =((g-2)/2)  (eB/mc)

45 45 Principe meting van “g-2” muon B Spin precessie (klassiek) (voor kennisgeving)  in rust:  in orbit:

46 46 Realiteit “g-2” muon ee  e Sterke correlatie: muon spin & elektron energie   

47 47 tijd (  s) E   GeV,  30 Het resultaat! Bepaal de muon spin richting Als functie van de tijd uit de gemeten elektron energie Spectrum quantitatief: N(t)=Ne -t/  (1+Acos  t) Spectrum qualitatief: exponentieel gedrag: muon verval oscillaties: spin precessie Reductie factor 10  4 over 600  s    2.2  s oscillatie period

48 48 Wat zegt de theorie? Bottom line elektron: uitrekenen! 1 e orde correctie: enige dimensie loze variabele:  2 e +3 e +4 e orde correcties a e the   10  13 Bottom line muon: uitrekenen! 1 e orde correctie: enige dimensie loze variabele:  2 e +3 e +4 e orde correcties (groter dan voor electron vanwege m  /m e  40000) a  the   10  11 a e exp   10  13 a  exp   10  11

49 49 Dirac equation: continued

50 50 Lorentz transformaties Waarnemer S en S’ (x’  =a  x ) gebruiken dezelfde Dirac vgl. Lineaire relatie tussen  en  ’  Dus: S(a) hangt niet expliciet af van x: S(a)  S L Uitvolgt Let op: dit geldt voor alle Lorentz transformaties!

51 51 Infinitesimale transformaties:   =   (gewoon verifiëren; sorry) Expliciete uitdrukkingen Specifiek geval: pariteit S P =S P † =S P  1 Bedenk: Met:volgt voor S L  1  5 is een handige definitie voor de zwakke wisselwerking

52 52 Spinoren: hoe transformeren ze? Nu kan je volgende belangrijke relatie afleiden: 4x4=16 mogelijkheden hiermee geordend! En daarmee:

53 53 Rotatie van een spinor rond z-as z-as rotaties via J 3 operator: Voor Dirac spinoren:  Vgl. eerder gevonden S L

54 54 Boost van een spinor langs z-as Voor Dirac spinoren:  Dus: Met ook nog de e-macht zie je dus dat deze boost precies  geeft voor p  0

55 55 Inversie van een spinor in oorsprong  Kijk wat dit doet op: fermion toestanden (  (1) en  (2) ) anti-fermion toestanden (  (3) en  (4) ) En hiermee zie je dus: intrinsieke pariteit fermion en anti-fermion toestanden tegengesteld

56 56 Ladingsconjugatie Dirac vgl. elektron (lading –|e|) in e.m. veldDirac vgl. positron (lading +|e|) in e.m. veld Er moet een relatie tussen  en  C bestaan omdat we de “gewone” Dirac vgl. zullen gebruiken voor zowel elektronen als positronen. Deze relatie vind je zo: Vind C die voldoet aan: Dan vind je uit de elektron Dirac vgl. de positron Dirac vgl. Relatie tussen elektron en positron oplossingen:

57 57 Elektron & Positron oplossingen Expliciete uitdrukking C  0 Dit voor mijn keuze van de   matrixes! Relaties elektron-positron oplossingen: Gebruiken: “u” spinoren “v” spinoren: v (1)

58 58 Normalisatie, orthogonaliteit en completeness Normalisatie: Orthogonaliteit: Completeness:

59 59 Spin ½ Electrodynamica

60 60 Dirac vergelijking en A  Vrije Dirac-veld (electronen) Minimale substitutie (q e =-e): p   p  +eA  S=0 11 S=1/2 uiui ufuf vergelijk nu de vertex factoren: ff ii V De overgangs amplitude wordt dus (vgl. Klein-Gordon voor spin S=0)

61 61 QED: Lading & magnetisch moment M.b.v. de Gordon decompositie wordt de S=1/2 vertex herschreven: Gewoon: stug door rekenen! De overgangswaarschijnlijkheid: De eerste term is identiek aan het Klein- Gordon resultaat; ladings-interactie De tweede term is de magnetische moment interactie, d.w.z. q 

62 62 Waarom magnetisch moment? partieel integreren In de niet-relativistische limiet geeft deze term, A  =(0,A) y z x

63 63 e     e    verstrooiing B A pApA pBpB  e C D pCpC pDpD En de overgangsamplitude wordt dus (q=p A -p C =p D -p B ) Analoog aan   K     K  verstrooiing voor s=0

64 64 Feynman regels voor QED (S=1/2) Externe lijnenVerticesPropagatoren

65 65 QED Fundamentele interacties: e+e+ e-e-  t Bhabha verstrooiingpaar annihilatie/creatie Möller verstrooiing Compton verstrooiing

66 66 Analyse voorbeeld: normalisatie detector identifikatie

67 67 Bhabha verstrooiing: kleine hoeken Luminositeits detector Voor elk process:  = N events /Normalisatie Karakteristieken:  “back-to-back”  energie = E beam  kleine hoeken huiswerk, bereken: e  e   e  e  ee e+e+ ee e+e+ ee e+e+ ee e+e+

68 68 Resultaat voor ieder ander process:  = Konstante  N events /N luminosity

69 69 Hogere orde correcties A B C D ee e+e+ A B C D ee e+e+ A B C D ee e+e+ A B C D ee e+e+

70 70 Werkzame doorsneden Experiment (vaak): spin toestanden van in- en uit-komende deeltjes onbekend Uitgaande deeltjes: spins sommeren Inkomende deeltjes: spins middelen beschouw dit eens voor een concreet voorbeeld: e  e   e  e  A B C D A B C D

71 71 Niet relativistische limiet De vectoren worden Niet relativistische limiet: lim|p|  0 d.w.z. de spins verandert niet. Dus de termen met matrix-element   :  ee ee ee ee En de amplitude na sommatie en middelen middelen! sommeren! identieke deeltjes! vgl. weer met Rutherford!

72 72 Relativistische spin Voor |M| 2 volgt dus: lepton tensor: A B C D Relativistische spin is ook niet moeilijk ee 

73 73 De lepton tensor Hoewel de uitdrukking op het eerste gezicht verschrikkelijk lijkt, geldt wel: 1)Geen spinoren meer: via completeness relaties 2)De spoorberekening is rechtoe-rechtaan: m.b.v. enkele regels “Casimir’s trick” kk’ 2 AC

74 74 Sporen met  -matrices Gebruik altijd: sporen van producten van  matrices Zwakke wisselwerking producten van  matrices

75 75 Voorbeeld Toepassen spoor identiteiten geeft: Voor de muon tensor geldt hetzelfde: Zodat: Merk op dat in de extreem relativistische limiet geldt: 000 relativistische limiet: M 2,m 2  k p ee  k’ p’

76 76 Hiermee wordt het matrix element uiteindelijk: En de werkzame doorsnede:  cos   d  /dcos  1 hoekverdeling  E cm [GeV]   totaal totale werkzame doorsnede  1/s

77 77 e-e- e-e- -- -- q=k-k’ =p-p’ k p k’ p’ Voorbeeld (“crossing”) en daarmee de werkzame doorsnede: gebruik: e + e   +   amplitude ++ q=k+p =k’+p’ k’ e-e- e+e+ -- k p p’ “s” p  -k’ stst er is een relatie tussen de amplituden voor: e-e- e-e- -- -- q=k’-k =p-p’ kk’ pp’ “t”

78 78 Directe berekening De spin algebra geeft weer een spoor Je kunt het proces ook direct uitrekenen: En dit wordt in de extreem relativistische limiet: (gelijk eerdere resultaat)

79 79 Werkzame doorsnede e  e     

80 80 Hoekverdelingen: e  e      and    

81 81 En nu heb je ook: e  e   qq gedaan! udsc uds udsc no color d, s, bu, c, t With three colours  s

82 82 Compton verstrooiing: ijk-invariantie geeft: relativistische limiet, d.w.z. verwaarloos rustmassas kwadraat: relabel:  k k’ pp’ k k’ p p’ q=p+k q=p-k’

83 83 Compton verstrooiing…

84 84 Compton verstrooiing……… Converteren naar traces: De trace theorema’s geven je voor |a| 2 en |b| 2 :

85 85 Compton verstrooiing…………… De totale amplitude wordt dus: Hierbij gebruik gemaakt van: En idem voor de twee kruis termen:

86 86 Compton verstrooiing………………… We hebben voor het matrix element dus: De differentiele werkzame doorsnede is dan: In lab-stelsel (electron in rust, foton energie E , en dus s~2mE  ) Voor berekening van totale werkzame doorsnede is alleen bijdrage van term –s/u van belang. Om een eindig antwoord te krijgen is het noodzakelijk m 2 van electron propagator te behouden: 

87 87 Paar annihilatie Amplitude volgt uit de amplitude voor e   e   via “crossing”:  s s  cos  k k’ p p’ ee ee q=p+k Dus:  k k’ pp’ q=p+k ee ee b.v. “s” p’  k stst q=p  p’ p’ k’ k e+e+ ee p “t” p k p k k’ p’ e+e+ ee e+e+ ee    

88 88 After all this: computer program FORM e+e+ ee   order  2 e + e    e+e+ ee    e + e    order 

89 89 Coming soon!


Download ppt "Particle Physics 2003/2004Part of the “Particle and Astroparticle Physics” Master’s Curriculum 1 Particle Physics II V.Quantum Flavour Dynamics: QFD (5)"

Verwante presentaties


Ads door Google