De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Betrouwbaarheidsanalyse.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Betrouwbaarheidsanalyse."— Transcript van de presentatie:

1 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Betrouwbaarheidsanalyse

2 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Betrouwbaarheidsanalyse Classificatie methoden (JCSS): Niveau IIIvolledig probabilistisch Niveau IIvolledig probabilistisch met benaderingen Niveau Isemi-probabilistisch (met probabilistisch onderbouwde rekenwaarden) Niveau 0deterministisch (dus geen betrouwbaarheidsanalyse)

3 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Opzet betrouwbaarheidsanalyse Niveau III (vandaag) Niveau II (vandaag) VAP-oefenen (vandaag) Niveau I (volgende week; Sten de Wit)

4 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Niveau III analyse Model voor faalmechanisme: grenstoestandsfunctie Z: waarin: x 1, x 2, …, x n (stochastische) variabelen Falen: Z<0 Kans op falen P(Z<0) uitrekenen Berekenen kans op ongewenste gebeurtenis

5 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Voorbeeld: draad Grenstoestandsfunctie: Z = R - S met: S R

6 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Kansverdelingen R,S (N) kansdichtheid (1/N) S R

7 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Gezamenlijke kansverdeling volume = faalkans S (kN) R (kN) falen: Z<0 Z>0

8 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Niveau III: kans op falen berekenen –Analytisch –Directe numerieke integratie –Monte Carlo

9 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Analytisch P(Z<0) = volume 02040r r S (kN) R (kN) falen: Z<0 Z>0 dr R en S onafhankelijk: hoogtelijnen kdf f R,S (r,s) Faalgebied opdelen in reepjes: convolutie-integraal

10 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Analytisch Uitwerken: Voorbeeld: R en S normaal verdeeld: invullen en uitrekenen       r SR dssfdrrf0ZP

11 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Analytisch In dit geval eenvoudige aanpak mogelijk: –variabelen normaal verdeeld –Z is lineair in variabelen dan Z ook normaal verdeeld. Voorbeeld draad: –Gemiddelde –Standaarddeviatie

12 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Kansdichtheid van Z

13 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Faalkans

14 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Faalkans Bepalen: –Berekenen van rode oppervlak onder kansdichtheidscurve –Tabel normale verdeling via met U standaard normaal verdeeld –EXCEL Antwoord: P f = ZZ UZ 

15 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Analytisch Eenvoudige aanpak was mogelijk omdat: –Z-functie lineair in variabelen –Variabelen normaal verdeeld Algemeen: –Bewerkelijke integralen uitrekenen –In meeste gevallen analytische aanpak onpractisch of onmogelijk

16 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Directe numerieke integratie S (kN) R (kN) falen: Z<0 Z> P(Z<0) = volume Faalgebied opdelen in kleine hokjes: Kansdichtheid in hokje i hoogte van hokje i breedte van hokje i

17 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Directe numerieke integratie Integralen bepalen via standaard numerieke technieken Rekenintensief: Voorbeeld: Daarom niet vaak toegepast bij een groter aantal variabelen Aantal variabelenAantal hokjes *100 =

18 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Monte Carlo (sampling/ simulatie) Statistische methode: –Steekproef nemen uit populatie –Schatten relevante aspecten kansverdeling Steekproef nemen: Grenstoestands- functie R S Z

19 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Monte Carlo analyse Stappen: 1. Random trekkingen uit verdelingen R en S 2. Bereken voor elke trekking de waarde van Z 3. Voer statistische analyse uit op Z-waarden

20 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Bepalen waarden voor Z Resulteert in een steekproef van Z

21 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Kans op falen

22 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Trekkingen uit verdelingen Gebruik (pseudo-)randomgenerator: Levert onafhankelijke trekkingen uit de standaard uniforme verdeling Hoe bepalen trekkingen uit ander type verdeling?

23 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Trekkingen uit verdelingen Andere typen verdeling Gebruik de cumulatieve verdelingsfunctie 0 1 pipi sisi

24 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Kans op falen

25 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Schatter faalkans met =0.015   p = 0.01

26 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Onzekerheid in faalkans Aantal trekkingen onafhankelijk van aantal variabelen!

27 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Importance sampling

28 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Importance sampling –Trekkingen uit andere verdeling: sampling verdeling –Correctie in statistische analyse achteraf: –Voorkennis nodig echte kansdichtheid sampling kansdichtheid

29 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Importance sampling Increased variance sampling:

30 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Importance sampling –Mogelijke reductie aantal samples t.o.v. ruwe Monte Carlo: orde –Voor increased variance sampling geen voorkennis vereist –Variant: adaptive importance sampling iteratieve aanpassing sampling verdeling.

31 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Monte Carlo en afhankelijkheid Mogelijkheden: –Rangschikken trekkingen –Trekkingen uit conditionele verdeling –…

32 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Besluit Berekenen kansen: –Analystisch –Directe Numerieke Integratie –Monte Carlo –FORM

33 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Niveau II constructieberekeningen

34 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 FORM First Order Reliability Method Faalkans volgt uit eenvoudige formules als: –Grenstoestandsfunctie lineair –Variabelen normaal verdeeld Dit suggereert algemene aanpak: –Lineariseer grenstoestandsfunctie –Transformeer naar normale verdelingen

35 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Recap lineaire Z-functie Algemeen: X-en onafhankelijk

36 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Voorbeeld Gegeven: Z = R - S R = N(6, 1) S = N(2, 0.5) Dan: Normaal verdeeld 

37 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Om faalkans en betrouwbaaheidsindex te bepalen: transformeren naar standaard normale variabele u Z  Z =4  Z = 1.12 z 0 kansdichtheid  uz =0  uz = 1 uZuZ Z=0  dus: 

38 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Nieuw begrip: importance factor  Standaarddeviatie Z: is de relatieve bijdrage van variabele X i aan de onzekerheid (variantie) van Z We schrijven: en  i is de importance factor van X i Z ii i a      i = 1

39 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Importance factors - voorbeeld In het voorbeeld Z=R-S geldt: en:  importance factor; is een maat voor de bijdrage van een variabele aan de onzekerheid in Z (en daarmee aan de faalkans) waarin de variantie van Z

40 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Alternatief: geometrische aanpak Formules gegeven om bij lineaire Z-functies en normaal verdeelde variabelen waarden voor  en  ’s te berekenen. Alternatieve methode is de geometrische aanpak

41 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Geometrische methode S R Z = -2 Z = 0 Z = 2 Z = 4 Z<0: faalgebied Z=R-SR en S normaal verdeeld

42 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Geometrische methode Transformatie naar standaard normale variabelen: invullen in Z-functie: Z=0:

43 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Geometrische methode standaard normale verdeling  Z= u S u R  Z<0: faalgebied

44 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Geometrische methode Z=0 Ontwerppunt (u S *, u R *): punt op Z=0 met hoogste kansdichtheid punt dichtst bij oorsprong (u S *, u R *) = (-  S , -  R  ) waarin:  betrouwbaarheidsindex  importance factor u S u R  Z<0: faalgebied SS RR

45 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Geometrische methode Terug bij de variabelen R en S: ontwerppunt S R Z<0: faalgebied Ontwerppunt (S*, R*): punt op Z=0 met hoogste kansdichtheid S* =  S + u S *  S =  S -  S  S R* =  R + u R  R =  R -  R  R

46 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Geometrische methode Samenvatting twee variabelen: Z = Z(X 1, X 2 ): 1. Transformeer naar standaard normale variabelen U 1 en U 2 : 2. Schrijf Z-functie om in u 1 en u 2 3. Teken de lijn Z=0 in het (u 1, u 2 ) - vlak 4. Bepaal punt op Z=0 dat het dichtst bij de oorsprong ligt Dit is het ontwerppunt (u 1 *, u 2 *). 5. Bepaal de betrouwbaarheidsindex 6. Bepaal importance factors 7. Bereken het ontwerppunt in de X-variabelen:

47 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Voorbeeld Case II

48 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 FORM Voorbeeld uitgebreid: met: fbreuksterkte ddiameter draad S = 100 kN f = N(290 N/mm 2, 25 N/mm 2 ) d = N (30 mm, 3 mm) S = 100kN

49 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Niet-lineaire functie

50 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Niet-lineaire functie Hoogtelijnenkaart d (mm) f (N/mm2) Z=0 Z=100 kN Z=200 kN Z=- 50 kN Z<0: faalgebied

51 Probabilistisch ontwerpen, lesblok d (mm) f (N/mm2) hoogtelijnen kdf hoogtelijnen Z-functie Z<0: faalgebied Z=0 Z=100 kN Z=200 kN

52 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Lineariseren Z-functie: mean value aanpak d (mm) f (N/mm2) Z=0 Z lin =0 linearisatiepunt (  d,  f ) Z<0: faalgebied hoogtelijnen gelineariseerde Z-functie Z=100 kN Z=200 kN

53 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Mean value aanpak - doorsnedetekening in (  d,  f ) gelineariseerde Z-functie d (mm) f (N/mm2) Z=0 Z lin =0 Z<0: faalgebied Z=100 kN Z=200 kN A A’ Z (kN) doorsnede A-A’ verloop Z-functie

54 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Mean value aanpak linearisatiepunt (  d,  f ) hoogtelijnen gelineariseerde Z-functie d (mm) f (N/mm2) Z=0 Z lin =0 Z<0: faalgebied Overschatting faalkans bij mean value aanpak

55 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Mean value aanpak Nadeel: Niet voldoende betrouwbaar Voordelen: Handmatig uit te voeren Geeft eerste inzicht in gevoeligheden

56 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Mean value aanpak -1 Algemeen: Gegeven willekeurige Z-funtie: Lineariseren in willekeurig punt: waarbij worden berekend in

57 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Mean value aanpak - 2 Mean value approach: invullen waarbij worden berekend in Z i i i X Z      

58 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Verfijnde analyse: linearisatie in ontwerppunt d (mm) f (N/mm2) Z=0 Z lin =0 Z<0: faalgebied linearisatiepunt = ontwerppunt (d*,f*) = punt op lijn Z=0 met hoogste kansdichtheid kleine fout in faalkans hoogtelijnen gelineariseerde Z-functie

59 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Verfijnde analyse: linearisatie in ontwerppunt Voordeel: Meestal nauwkeurige schatting faalkans Nadeel: Ontwerppunt niet van te voren bekend: opzoeken via optimalisatie procedure Behept met alle nadelen optimalisatie-aanpak, bijv. blijven hangen in lokaal optimum

60 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Transformatie naar standaard normale variabelen  Z<0: faalgebied ontwerppunt (u 1 *,u 2 *)  betrouwbaarheidsindex u1*u1* u2*u2* kdf standaard normale verdeling Z=0 Bij 2 variabelen ontwerppunt grafisch te bepalen

61 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Niet-normaal verdeelde variabelen ingewikkelder transformatie naar standaard normale variabelen

62 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Besluit Berekenen kansen: –Analystisch –Directe Numerieke Integratie –Monte Carlo –FORM Oefenen: m.b.v. VAP

63 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Case study Consider an earth moving project during the construction of a bridge over the river Lek. In total about 3000 m3 of clay has to be removed. The engineer thinks that the average production of his excavator is approximately 80 m3/h. He decides to use the excavator for a period of 7 days (one working day is 8 hours). The production, however, is random and so the probability exists that a longer period is needed.

64 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 An additional risk in this project is the discovery of a Second World War bomb at the location of the trench. Based on the total area of the location, the probability of finding a bomb in the trench is estimated to be 1%. The consequence of that event would be a delay of a few days.

65 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 The following random variables can be introduced in this excercise: T: total amount of clay P: production of the excavator (in m3/h) D: delay in days because of bomb detection with the following distribution types and parameters: Variable Distribution-type mean standard dev. TNormal 3000 m3100 m3 PNormal 80 m3/h10 m3/h DNormal 2 days0.5 days

66 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 The engineer is interested in the probability that the excavation work is not finished after 7 working days.

67 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Limit State Function Z follows from Z = R - T/P - D in which: R D 7 0 [day] D N [day] P N [m3/day] T N 3.000e [m3] Z is a non-linear function with 3 variables X1=D, X2=P and X3=T

68 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Run VAP (MC simulations and FORM) with: Limit State Function Z follows from Z = R - T/P - D in which: R D 7 0 [day] D N [day] P N *i [m3/day] T N 3.000e [m3] i: your student number (1 to 14)


Download ppt "Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Betrouwbaarheidsanalyse."

Verwante presentaties


Ads door Google