De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Van Planck tot Dirac in vijf lessen Vierde les Iedere golf zijn golfvergelijking.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Van Planck tot Dirac in vijf lessen Vierde les Iedere golf zijn golfvergelijking."— Transcript van de presentatie:

1 Van Planck tot Dirac in vijf lessen Vierde les Iedere golf zijn golfvergelijking

2 Iedere golf zijn golfvergelijking Golven Een (lopende) golf is een zich voortplantende evenwichtsverstoring in een medium. watergolvensnaargolvengeluidsgolven Het medium golft, maar de deeltjes planten zich (gemiddeld genomen) niet voort. Er is wel energie- en impulstransport. Wat golft er bij de voortplanting van licht = elektromagnetische golven? Het E en het B veld! lichtgolven?

3 golflengte λ (labda) golfgetal k=1/λ (meestal: 2π/λ) is een maat voor impuls. frequentie f (ook (nu)) hoekfrequentie ω=2πf periode T; T=1/f snelheid v; golf loopt 1 golflengte per periode dus v = λ/T= λf= ω/k amplitude A. A 2 is een maat voor energie. trillingsrichting (polarisatie) loodrecht op de bewegingsrichting (transversaal) of in de bewegingsrichting (longitudinaal) of mengvorm. λ f,T A v Eigenschappen van een (lopende) golf

4 Beschrijving van een lopende 1-dimensionale sinusvormige golf met k=2π/λ en ω=2πf (ter herinnering: v=λf=ω/k). Verder is x’=x-vt, dus: Reis met de golf mee. Op tijdstip 0 vallen de oorsprong van het bewegende en het stilstaande coördinatenstelsel samen. Wat geldt op tijdstip t? Bewegende waarnemer ziet stilstaande golf met golflengte λ. Sinus heeft periode 2π en de golf herhaalt zich na λ dus: v t=0 x x’ v t=t vt x x’=x-vt

5 Van welke differentiaalvergelijking is u(x,t)=Asin(kx-ωt) een oplossing? Deze vergelijking is lineair. Dat wil zeggen als u 1 (x,t) en u 2 (x,t) oplossingen zijn, dan is u(x,t)=c 1 u 1 (x,t) +c 2 u 2 (x,t) ook een oplossing. Dit heet het superpositiebeginsel. Omdat de golf een sinusfunctie is naar x en naar t geeft twee keer differentiëren naar x of t hetzelfde resultaat op een constante na. v=ω/k=λf is de golfsnelheid Golfvergelijking Gevolg is dat als een punt deelneemt aan twee golfbewegingen, dan vinden we de uitwijking door de afzonderlijke uitwijkingen op te tellen: golven kunnen elkaar verzwakken en versterken: interferentie. Deeltjes doen dat niet.

6 Golven lopen door elkaar heen. Twee gelijke bronnen geven een patroon van licht en donker. Typische golfverschijnselen

7 Door golven samen stellen kunnen we golfpakketten maken. We kunnen dan een fasesnelheid en een groepsnelheid onderscheiden. Ook in geval van dispersie (kleurschifting) moeten we dit onderscheid maken. Twee tegen elkaar in lopende golven geven een staande golf.

8 Voorbeeld: een snaar met lengte L waarvan de eindpunten zijn vastgeklemd. Op de snaar passen dan alleen staande golven waarvoor L=½λ, λ, … etc. 2 1 e harmonische 1 grondtoon n Staande golf: u(x,t)= Asin(kx-ωt) + Asin(kx+ωt)= 2Asin(kx)cos(ωt). Als kx=0,  π,  2π dan is de uitwijking 0: knoop. Met k=2π/λ vinden we dus knopen bij x=0,  ½λ,  λ,…

9 Iedere golf zijn golfvergelijking “…the only phenomena involving integers…” …“Determination of the stable motion of electrons in the atom introduces integers, and up to this point the only phenomena involving integers in physics were those of interference and of normal modes of vibration. This fact suggested to me the idea that electrons too could not be considered simply as particles, but that frequency (wave properties) must be assigned to them also.”… (Louis de Broglie, On Quantum Theory, 1929, Nobelprijs toespraak)

10 Iedere golf zijn golfvergelijking Louis de Broglie: levensloop 1892 Geboren in Dieppe, zoon van de vijfde hertog de Broglie. Ongetrouwd gebleven Eindexamen Lyceé Janson de Sailly in Parijs 1910 Behaalt een graad in de geschiedenis aan de Sorbonne met het oog op een diplomatieke carrière, maar studeert verder in de wiskunde en de natuurwetenschappen en treedt daarmee in het voetspoor van zijn broer Maurice Behaalt het Licence ès Sciences In dienst van het leger bij de draadloze telefonie afdeling in de Eiffeltoren Hervat zijn werk in de theoretische fysica, met een bijzondere belangstelling voor de kwantumtheorie Proefschrift: Recherches sur la theorie des quanta, waarin zijn theorie van deeltjesgolven staat.

11 Na 1924 Diverse onderwerpen, waaronder publicaties over toepassingen, uitbreidingen en interpretatie van de golfmechanica, met een causale variant, later verbeterd door Bohm. Sticht een centrum voor toegepaste mechanica, schrijft ongeveer 30 boeken, waaronder ook populair wetenschappelijke, houdt zich als Einstein en Schrödinger zijn verdere leven bezig met de vraag of de statistische interpretatie van de kwantummechanica noodzakelijk is of een teken van onze onwetendheid Hoogleraar aan het Henri Poincaré Instituut Nobelprijs Ook hoogleraar aan de Sorbonne Overlijdt.

12 Iedere golf zijn golfvergelijking Ondes et quanta Comptes Rendu, 177 (1923) Radiations.- Ondes et quanta. Note de M. LOUIS DE BROGLIE présentée par M. Jean Perrin. Een deeltje met rustmassa m 0 beweegt met snelheid v=βc (β<1) ten opzichte van een vaste waarnemer. Volgens het inertieprincipe van de energie heeft het deeltje een interne energie m 0 c 2....”D’autre part, le principe des quanta conduit à attribuer cette énergie interne à un phénomène périodique simple de fréquence 0 telle que h 0 = m 0 c 2 …”… Voor de vaste waarnemer correspondeert met de totale energie van het deeltje een frequentie > 0 want m=m 0 /√(1-β 2 ), dus = 0 /√(1-β 2 )] Maar…. vanwege tijddilatatie kent hij aan het interne verschijnsel een frequentie 1 = 0 √(1-β 2 )< 0 toe; voor hem varieert het dus als sin(2  1 t). De Broglie’s dilemma: hoe het verschil tussen en 1 te verklaren?

13 … ”Supposons maintenant qu’au temps t=0, le mobile coïncide dans l'espace avec une onde de fréquence ci-dessus définie se propageant dans la même direction que lui avec vitesse c/β. Cette onde de vitesse plus grande de c ne peut correspondre à un transport d'énergie; nous la considérerons seulement comme une onde fictive associée au mouvement de mobile. Je dis que, si au temps t=0, il y a accord de phase entre les vecteurs de l'onde et le phénomène interne du mobile, cet accord de phase subsistera.”… Op tijstip t is het deeltje op positie x=vt. Zijn interne beweging is dus sin(2  1 (x/v)). De fictieve golf in dat punt is sin(2  (t-xβ/c)) [de golf is het deeltje voorbij over een afstand (c/β)t-x]. Dit is gelijk aan sin(2  (x/v)(1-β 2 )) De twee sinusgolven zijn dus gelijk als 1 = (1-β 2 ). Dit is het geval omdat per definitie = 0 /√(1-β 2 ) en 1 = 0 √(1-β 2 ) [Dit is het gevolg van de keuze van de snelheid van de fictieve “draag”golf!] De Broglie lost het probleem op door aan het deeltje twee golfbewegingen toe te kennen: een interne met frequentie 1 en een “onde fictieve” met frequentie. Hij stelt dat als er op t=0 faseovereenstemming is tussen deze golven, dan blijft die behouden. Ze blijven dus gekoppeld.

14 Een elektron beschrijft eenparig een gesloten baan met snelheid kleiner dan c [v=βc, β<<1] en omlooptijd T r. Op t=0 is het elektron in O. De fictieve geassocieerde golf vertrekt ook van O met snelheid c/β [sneller dus!] en achterhaalt het deeltje na een volledige omloop op tijdstip τ in het punt O’, met OO’= β c τ. O (t=0) O’ (t=τ) Voor de afgelegde wegen geldt: (c/ β) τ= β c (τ+T r ), waaruit volgt: τ= (β 2 /(1-β 2 )) T r Het faseverloop van de interne golf tussen O en O’ is 2  1 τ. Met 1 = 0 √(1-β 2 ) =m 0 c 2 /(h √(1-β 2 ) ) volgt dus:

15 …“Il est presque nécessaire de supposer que la trajectoire de l'électron n'est stable qui si l'onde fictive passant en O’ retrouve l'électron en phase avec elle : l'onde de fréquence ν et de vitesse c/β doit être en résonance sur la longueur de la trajectoire. Ceci conduit à la condition n étant entier. Montrons que cette condition de stabilité est bien celle de théories de Bohr et Sommerfeld pour une trajectoire décrite à vitesse constante. ”… We veronderstellen nu dat het elektron alleen dan een stabiele baan beschrijft als de fictieve golf bij het passeren door O’ het elektron met zichzelf in fase aantreft. Dus moet het faseverloop van de interne golf tussen O en O’ een geheel aantal malen 2  zijn.

16 De Bohr-Sommerfeld kwantumvoorwaarde is dat de actie-integraal gekwantiseerd is: [Voor een cirkelvormige baan met straal R en eenparige snelheid v wordt dit de Bohrse kwantumregel voor het impulsmoment: L=pR=mvR=nh/2π] In dit geval: p x =mv x =(m 0 / √(1-β 2 ))v x en dx=v x dt, en dus: Voor een cirkelbeweging met straal R en voor lage snelheden van het elektron (√(1-β 2 )) ≈1) volgt de oorspronkelijke formule van Bohr: Nous sommes dès aujourd’hui en mesure d’expliquer les phénomènes diffraction et d’interférences en tenant compte des quanta de lumière.

17 Staande golf op een cirkelbaan kan alleen ontstaan als een geheel aantal golflengtes op de baan past: 2πr =nλ, n=1, 2,… Voor het lichtdeeltje (foton) geldt: p=mc en E=mc 2 =cp. Ook geldt: E=hf=hc/λ. Waaruit volgt p=h/λ. Geef nu ook een deeltje met impuls p een golflengte λ=h/p. Met 2πr=nλ, n=1, 2,… volgt dan voor het impulsmoment: L=rp=nħ, n=1, 2,… Dat is de Bohrse kwantisatievoorwaarde! De relatie E=h of E=ħω komt wel expliciet voor bij de Broglie maar de relatie p=hλ of p=ħk niet. “kop bijt in staart” Een simpele schoolboek afleiding niet volgens de Broglie.

18 Iedere golf zijn golfvergelijking De Broglie: het vervolg De Broglie bewijst later dat de groepssnelheid van de fictieve “materiegolven” gelijk is aan de waarneembare deeltjessnelheid. θiθi θrθr Hij postuleert dat het deeltje altijd zijn draaggolf volgt en dus mee afbuigt als de draaggolf bij passage van een smalle spleet afbuigt. Daarmee voorspelt en verklaart hij de diffractie van deeltjes, die in 1927 door Davissen en Germer overtuigend wordt aangetoond

19 Voorbeeld: elektron wordt versneld met een potentiaalverschil van 100 V: ½mv 2 =eV => p=mv=m√2eV => λ=h/p=0,12 nm => kan gebruikt worden voor een microscoop op nanometer schaal

20 Hij vergelijkt de klassieke deeltjestheorie met de geometrische optica en de nieuwe golf-deeltjes theorie met de golfoptica. De materiegolven zijn voor hem realiteit. Dit standpunt zal hij blijven verdedigen. Dit en meer vormt de inhoud van het proefschrift van De Broglie dat met enige aarzeling geaccepteerd wordt door zijn promotiecommissie. Het proefschrift trekt weinig aandacht in Kopenhagen (Bohr) en München (Sommerfeld), maar Einstein oordeelt positief (“Er hat eine Ecke des großen Schleiers gelüftet”) en gebruikt het in zijn publicaties. Dat blijft niet onopgemerkt. Aan de ETH Zürich hebben Debije c.s. twijfel over de theorie van De Broglie. Dus nodigt men de hoogleraar theoretische natuurkunde aan de universiteit van Zürich uit om een colloquium te geven over de theorieën van De Broglie. Die hoogleraar is…

21 Iedere golf zijn golfvergelijking …“ik heb er een gevonden.” …”Mijn collega Debije suggereerde [een paar weken geleden] dat er een golfvergelijking zou moeten zijn; nu, ik heb er een gevonden!”

22 Iedere golf zijn golfvergelijking Schrödinger: levensloop 1887 Geboren in Erdberg, Wenen 3, Oostenrijk-Hongarije Habilitation bij Stefan Exner in Wenen Artillerie-officier in het Oostenrijkse leger Keert terug naar Wenen als docent meteorologie Werkt aan de theorie van het kleuren zien Verloving met Annemarie Bertel (maandsalaris van de secretaresse Annemarie Bertel is groter dan zijn jaarsalaris) Assistent van Max Wien in Jena (na afwijzen van een academische post in Wenen die hem nog steeds niet in staat stelt een vrouw te onderhouden) 1920 Trouwt met Annemarie Bertel. –Geen kinderen bij Annemarie, wel bij andere vrouwen o.a. bij Hilde March en twee Ierse vrouwen. –Leeft enige tijd samen met twee vrouwen (Annemarie en Hilde March- zelf getrouwd met een van zijn assistenten); ziet daarom waarschijnlijk noodgedwongen af van posities in Princeton en Oxford. –Tumultueus liefdesleven, getolereerd door Annemarie, die zelf een relatie heeft met Hermann Weyl.

23 1920 Assistent-hoogleraar in Stuttgart Hoogleraar in Breslau (nu Wroclaw) Hoogleraar in Zürich Publiceert, geïnspireerd door De Broglie’s golf-deeltje dualiteit, in de Annalen der Physik –Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) –Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) –Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen –Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung: Störungstheorie, mit Anwendung auf den Starkeffekt der Balmerlinien) –Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mitteilung) 1927 Volgt Max Planck op in Berlijn (twijfelt evenals Einstein en De Broglie aan de Kopenhagen interpretatie “als ik dit geweten had dan had ik de golfmechanica liever niet uitgevonden”) Verlaat Duitsland vanwege zijn anti-Nazi gevoelens en wordt Fellow van Magdalen College in Oxford 1933 Nobelprijs samen met Dirac

24 1934 Geeft colleges in Princeton; wijst een aanbod om te blijven af Introduceert Schrödingers kat Hoogleraar in Graz (na 1938 de Adolf Hitler Universität) 1938 – 1940 Problemen na de “Anschluss” (“politiek onbetrouwbaar”). Vlucht naar Italië en heeft tijdelijke hoogleraarposities in Oxford en Gent Hoogleraar in Dublin na bemiddeling van de Valera. Sticht het Institute for Advanced Physics. Werkt aan een universele veldentheorie Publiceert –What’s Life? 1954 Publiceert –Nature and the Greeks 1956 Terugkeer naar Wenen als hoogleraar Overlijdt.

25 Iedere golf zijn golfvergelijking Kwantisatie als eigenwaardeprobleem “ In dieser Mitteilung möchte ich zunächst an dem einfachsten fall (nichtrelativistischen und ungestörten) Wasserstoffatoms zeigen, daß die Üblichen Quantisierungsvorschift sich durch anderen Forderung ersetzen läßt, in der kein Wort von “ganzen zahlen” mehr vorkommt. Vielmehr ergibt sich die Ganzzahligkeit auf dieselben natürlichen art, wie etwa die Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite. Die neue Auffassung ist verallgemeinerungsfähig und rührt, wie ich glaube, sehr tief an das wahre Wesen der Quantenvorschriften.”… Ann. d. Phys. 79 (1926) Quantisierung als Eigenwertproblem; von E. Schrödinger (Erste Mitteilung) Schrijf de bewegingsvergelijking als: (1’)

26 We zoeken niet naar oplossingen van deze vergelijking maar brengen hem in de gedaante: kwadratische vorm van ψ en zijn eerste afgeleiden=0...”Wir suchen solche reelle im ganzen Konfigurationenraum eindeutige endliche und zweimal stetig differenzierbare Funktionen ψ, welche das über den ganzen Konfigurationenraum erstreckte Integral der eben genannten quadratischen Form zu einem Extremum machen. Durch dieses Variationsproblem ersetzen wir die Quantenbedingen.” Wir werden für H zunächst die Hamiltonsche Funktion der Keplerbewegung nehmen und zeigen, daβ die aufgestellte Forderung für alle positiven, aber nur für eine diskrete Schar von negativen E-Werten erfüllbar ist. D.h. das genannten Variationsproblem hat ein diskretes und ein kontinuierliches Eigenwertspektrum. Das diskrete Spektrum entspricht den Balmerschen Termen, das kontinuierliche den Energien der Hyperbelbahnen. Damit numerische Übereinstimmung bestehe, muβ K der Wert h/2  erhalten.“… Neem de hamiltonfunctie van het 1-elektron (Kepler) probleem: H=T+V=p 2 /2m-e 2 /r

27 Ten eerste moet dan gelden: (5) Tijdonafhankelijke, niet- relativistische schrödingervergelijking en ten tweede: Legt randvoorwaarden op aan ψ Schrijf nu (5) in bolcoördinaten r, θ, φ, want wegens de bolsymmetrie is de oplossing te schrijven als een product van functies in r, θ en φ. Voor de functie in r krijgen we dan (met dank aan collega Hermann Weyl) De beperking van n tot gehele getallen is noodzakelijk om de hoekafhankelijkheid eenduidig te maken. We zoeken naar oplossingen die voor alle niet-negatieve waarden van r eindig blijven. Dit komt neer op het stellen van randvoorwaarden. (6) (7) n=0, 1, 2, …

28 Es ergeben sich also die wohlbekannten Bohrschen Energieniveaus, die den Balmertermen entsprechen, wenn man der Konstante K, die wir in (2) aus dimensionellen Gründen einführen müßten, den Wert erteilt Na een wiskundige tour de force is de conclusie: …‘’Die Bedingung (15) ergibt: (19) Dann wird ja (20) (19’) Unser l ist die Hauptquantenzahl, n+1 hat Analogie mit der Azimutalquantenzahl, die…”… Het doel is bereikt, maar de wiskundige inspanning is veel en veel groter dan in de Bohrse, oude variant van de kwantummechanica! Meeropbrengst: de golffuncties. Maar wat betekenen ze?

29 …”Es liegt natürlich sehr nahe, die Funktion ψ auf einen Schwingungsvorgang des Atoms zu beziehen, dem die den Elektronenbahnen heute vielfach bezweifelte Realität in höherem Maße zukommt als ihnen.”… Wave Functions of Hydrogen Atom n=1: l=0 m=0 n=2: l=1 l=0 m=1 Im m=1 Re m=0 Laguerre polynoom Sferisch harmonische Let op: n is hoofdkwantumgetal, l is azimutaalkwantumgetal, m is magnetisch kwantumgetal

30 Iedere golf zijn golfvergelijking De kortste (?) weg naar de schrödingervergelijking Aan E=ħω en p=ħk voegen we toe: De “materiegolf” is niet een reëel verschijnsel maar een imaginair (complex) verschijnsel: ψ=e i(kx-ωt) (en onttrekt zich daarmee aan de waarneming!). Van welke vergelijking is ψ=e i(kx-ωt) de oplossing? Nu geldt: Eψ=ħωψ=iħ∂ψ/∂t en pψ=ħkψ =-iħ∂ψ/∂x 1-dimensionale niet- relativistische tijdafhankelijke schrödingervergelijking met een vlakke (complexe) golf als oplossing (vrij deeltje). Voor een vrij deeltje is E=p 2 /2m, en dus:

31 Wat te doen als het deeltje niet vrij is? Stel dat het zich in een krachtveld bevindt met potentiaal U, bijv. de 1/r potentiaal van een puntlading. 1-dimensionale niet- relativistische tijdafhankelijke Schrödingervergelijking. Als U niet van t afhangt kunnen we de vergelijking splitsen in een tijdafhankelijk en een plaatsafhankelijk deel: Ψ(x,t)=e iωt ψ(x) met ω=E/ħ. 1-dimensionale niet- relativistische tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking. Vergelijking (5) in het artikel van Schrödinger Alle vormen van de schrödingervergelijking zijn lineair en het superpositiebeginsel geldt dus (diffractie, interferentie,..) Klassiek is E=T+U=(p 2 /2m)+U en we vertalen dit in: Voor het (reële) tijdonafhankelijke deel ψ(x) (kleine ψ!) geldt dan:

32 Bohr-Bornse interpretatie: |Ψ| 2 = Ψ Ψ* is de waarschijnlijkheidsdichtheid om het deeltje op tijdstip t te vinden op plaats x. Er golft dus geen materie, alleen waarschijnlijkheid! Opmerkelijk: alle Godfathers (Planck, Einstein, de Broglie, Schrödinger) behalve Bohr verwerpen deze interpretatie! Het tijdafhankelijk deel is imaginair en wordt 1 bij het nemen van het kwadraat. Dus |Ψ| 2 = ψ 2 (ψ is reëel). Voor de verklaring van de spectra zijn nog extra veronderstellingen nodig: het bestaan van spin en het uitsluitingbeginsel.

33 Iedere golf zijn golfvergelijking Schrödinger: het vervolg Hij publiceert binnen een jaar nog 5 artikelen over de golfmechanica, waaronder het bewijs dat zijn golfmechanica en de matrixmechanica van Heisenberg, Jordan en Born equivalent zijn. Hij komt terug op zijn oorspronkelijke relativistisch invariante vergelijking, (nu de Klein-Gordon vergelijking) die hij had afgewezen omdat hij geen rekening hield met spin. Hij voert zijn kat in naar aanleiding van het EPR artikel van Einstein c.s. Werkt (o.a.) aan unificatie theorieën. Schrijft boeken over randgebieden van de natuurkunde die zeer populair worden: “What is Life?” en “Nature and the Greeks”. Schrijft liefdesgedichten

34 Liebeslied (voor Sheila May Green 1943/1944) Niemand als du und ich Wissen wie uns geschehen. Keiner hat es gesehen Wenn wir uns küssten inniglich. Keiner, keiner weiß dass uns der Himmel liebt dass er uns alles gibt was er zu geben weiß. Und säh uns wer er dacht es kam dass in weiten Raum sonst alles leer, nur wir, nur wir und unser Glück. Nie nie zurück als nur mit dir.


Download ppt "Van Planck tot Dirac in vijf lessen Vierde les Iedere golf zijn golfvergelijking."

Verwante presentaties


Ads door Google