De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Goniometrische formules x P = cos(α) en y P = sin(α) x Q = x P en y Q = -y P Dus sin(-α) = y Q = -y P = -sin(α) en cos(-α) = x Q = x P = cos(α) x R = -y.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Goniometrische formules x P = cos(α) en y P = sin(α) x Q = x P en y Q = -y P Dus sin(-α) = y Q = -y P = -sin(α) en cos(-α) = x Q = x P = cos(α) x R = -y."— Transcript van de presentatie:

1 Goniometrische formules x P = cos(α) en y P = sin(α) x Q = x P en y Q = -y P Dus sin(-α) = y Q = -y P = -sin(α) en cos(-α) = x Q = x P = cos(α) x R = -y P y R = x P sin(α + ½ π) = y R = x P = cos(α) cos(α + ½ π) = x R = -y P = -sin(α) 11.1

2 opgave 2

3 Goniometrische vergelijkingen sin(A) = sin(B) geeft A = B + k · 2π ⋁ A = π – B + k · 2π cos(A) = cos(B) geeft A = B + k · 2π ⋁ A = -B + k · 2π 11.1

4 Opgave 9 a.2sin(x)= sin(x) => sin(x) = 0 b.Sin(2x) = sin(x) => 2x = x + 2k π v 2x = π – x + 2k π c.- d.- e.Sin (2x) = sin ( x + 1/3 π) => 2x = x + 1/3 π + 2kπ v 2x = 2/3π - x + 2kπ f.-

5 opgave 10 f(x) = sin(x) en g(x) = -cos(2x) met domein [0, 2π]. ay = cos(x) verm. y-as, ½ y = cos(2x) verm. x-as, -1 y = -cos(2x) b cf(x) = geeft sin(x) = x = - ¼ π + k · 2π ⋁ x = π + ¼ π + k · 2π x = - ¼ π + k · 2π ⋁ x = 1 ¼ π + k · 2π x op [0, 2π] geeft x = 1 ¾ π ⋁ x = 1 ¼ π  

6 opgave 10 f(x) = sin(x) en g(x) = -cos(2x) met domein [0, 2π]. dg(x) = ½ geeft –cos(2x) = ½ cos(2x) = - ½ 2x = ⅔π + k · 2π ⋁ 2x = -⅔π + k · 2π x = ⅓π + k · π ⋁ x = -⅓π + k · π x op [0, 2π] geeft x = ⅓ π ⋁ x = 1⅓ π ⋁ x = ⅔ π ⋁ x = 1⅔ π ef(x) = g(x) geeft sin(x) = -cos(2x) cos(x - ½π) = cos(2x + π) x - ½π = 2x + π + k · 2π ⋁ x - ½π = -2x - π + k · 2π -x = 1½π + k · 2π ⋁ 3x = -½π + k · 2π x = -1½π + k · 2π ⋁ x = - π + k · ⅔π x op [0, 2π] geeft x = ½π ⋁ x = 1 π ⋁ x = 1 π f(x) ≤ g(x) geeft x = ½π ⋁ 1 π ≤ x ≤ 1 π

7 Verschil-, som- en verdubbelingsformules 11.1

8 CosinusregelCosinusregel en verschilformule 11.1 AB 2 =OA 2 +OB 2 -2* OA* OB *cos(t-u) (x b -x a ) 2 + (y a -y b ) 2 = – 2 cos(t-u) x b 2 -2x b x a +x a 2 + y a 2 –2y b y a + y b 2 = 2 – 2 cos(t-u) x b 2 + y b 2 +x a 2 + y a 2 –2y b y a -2x b x a = 2 – 2 cos(t-u) –2y b y a -2x b x a = 2 – 2 cos(t-u) 2y b y a +2x b x a = 2 cos(t-u) x b x a +y b y a = cos(t-u) cos(u)cos(t)+ sin(u)sin(t)=cos(t-u) A B t u

9 somformule 11.1 AB 2 =OA 2 +OB 2 -2*OA*OB*cos(t-(-u)) (x b -x a ) 2 + (y a -y b ) 2 = – 2 cos(t-(-u)) x b 2 -2x b x a +x a 2 + y a 2 –2y b y a + y b 2 = 2 – 2 cos(t-(-u)) x b 2 + y b 2 +x a 2 + y a 2 –2y b y a -2x b x a = 2 – 2 cos(t-(-u)) –2y b y a -2x b x a = 2 – 2 cos(t-(-u)) 2y b y a +2x b x a = 2 cos(t-(-u)) x b x a +y a y b = cos(t-(-u)) cos(-u)cos(t)+ sin(t)sin(-u)=cos(t+u) cos(t)cos(u)-sin(t)sin(u) = cos(t+u) A B t u

10 opgave 17 ay = sin 2 (x) + cos(2x) evenwichtsstand ½ amplitude ½ periode π beginpunt (0, 1) y = ½ + ½cos(2x) bcos(2A) = 1 – 2 sin 2 (A) geeft 2 sin 2 (A) = 1 – cos(2A) dus sin 2 (A) = ½ - ½cos(2A) y = sin 2 (x) + cos(2x) y = ½ - ½ cos(2x) + cos(2x) y = ½ + ½ cos(2x)

11 Sommige goniometrische functies zijn lijn- of puntsymmetrisch.

12 Lijn- en puntsymmetrie De grafiek van f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a. Voor elke p geldt f(a – p) = f(a + p). De grafiek van de functie f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a als voor elke p geldt f(a – p) = f(a + p). De grafiek van f is puntsymmetrisch in het punt (a, b). Voor elke p geldt f(a – p) – b = b – f(a + p) of f(a – p) + f(a + p) = 2b. De grafiek van de functie f is puntsymmetrisch in het punt (a, b) als voor elke p geldt f(a – p) + f(a + p) = 2b. 11.1

13 opgave 24 a a f(x) = 2sin(x) – 2cos(x) f( - ¼ π - p) = 2sin(- ¼ π - p) – 2cos( - ¼ π - p) 2(sin(- ¼ π - p) – cos( - ¼ π - p)) 2(sin(- ¼ π) cos(- p) – cos(- ¼ π) sin(- p) – (cos(- ¼ π) cos(- p)+sin((- ¼ π)sin(-p)) b f(x) = 2sin(x) – 2cos(x) f( - ¼ π + p) = 2sin(- ¼ π + p) – 2cos( - ¼ π + p) 2(sin(- ¼ π + p) – cos( - ¼ π + p)) 2(sin(- ¼ π) cos( p) + cos(- ¼ π) sin( p) – (cos(- ¼ π) cos( p) – sin((- ¼ π)sin(p))

14 De afgeleide van sinus, cosinus De afgeleide van sinus, cosinus en tangens f(x) = sin(x) geeft f’(x) = cos(x) g(x) = cos(x) geeft g’(x) = -sin(x) f(x) = sin(ax + b) geeft f’(x) = a cos(ax + b) g(x) = cos(ax + b) geeft g’(x) = -a sin(ax + b) f(x) = tan(x) geeft f’(x) = en f’(x) = 1 + tan 2 (x). 11.2

15 opgave 28 [cos(x)]’ = [sin(x + ½π)]’ = cos(x + ½π) = -sin(x) 11.2

16 opgave 36 af(x) = sin(x - ⅓π) met domein [0, 2π] evenwichtsstand 1 amplitude 2 periode 2π beginpunt (⅓π, 1) bHorizontale raaklijn in de toppen ( ⅚, 3) en (1 ⅚, -1), dus x = ⅚ π en x = 1 ⅚ π. π π

17 opgave 39 af(x) = ½ x + cos(x) geeft f’(x) = ½ - sin(x) f’(x) = 0 geeft½ – sin(x) = 0 sin(x) = ½ x = ⅙ π + k · 2π x = ⅚ π + k · 2π x op [0, 7] geeft x = ⅙ π ⋁ x = ⅚ π ⋁ x = 2 ⅙ π bf’(x) = 1 geeft ½ - sin(x) = 1 sin(x) = -½ x = - ⅙ π + k · 2π ⋁ x = 1 ⅙ π + k · 2π x op [0, 7] geeft x = 1 ⅙ π ⋁ x = 1 ⅚ π

18 opgave 41 a f(x) = met domein [0, 2π]

19 opgave 41b

20 Primitieven van sinus en cosinus De primitieven van f(x) = sin(x) zijn F(x) = -cos(x) + c De primitieven van g(x) = cos(x) zijn G(x) = sin(x) + c De primitieven van f(x) = sin(ax + b) zijn F(x) = cos(ax + b) + c De primitieven van g(x) = cos(ax + b) zijn G(x) = sin(ax + b) + c Hint:

21 opgave 50 f(x) = sin(2x) met domein [0, ½π] I(L) = 11.3

22 opgave 53 af(x) = 1½ - 3 sin(½x) evenwichtsstand 1½ amplitude 3 periode = 4π beginpunt (0, 1½), dalend door beginpunt bf(x) = 0 geeft1½ - 3 sin(½x) = 0 sin(½x) = ½ ½x = ⅙ π + k · 2π ⋁ ½x = ⅚ π + k · 2π x = ⅓π + k · 4π ⋁ x = 1⅔π + k · 4π O(V) =

23 opgave 53 cI(L) =

24 Eenparige cirkelbeweging Doorloopt het punt P met hoeksnelheid ω de cirkel met middelpunt (a, b) en straal r en bevindt P zich op t = 0 in het punt (a + r, b), dan hoort hierbij de parametervoorstelling De omlooptijd van P is T = Het punt P voert een eenparige cirkelbeweging uit. Bij positieve hoeksnelheid draait P tegen de wijzers van de klok in en bij negatieve hoeksnelheid draait P met de wijzers van de klok mee. Bevindt Q zich op t = t 0 in het punt (a + r, b), dan horen bij Q de bewegingsvergelijkingen x Q = a + r cos(ω(t – t 0 ) en y Q = b + r sin(ω(t – t 0 )). x P = a + r cos(ωt) y P = b + r sin(ωt)

25 De pv van de baan van P is aOp t = 0 is P in (1, 3). P draait linksom. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt (-1, 3) en straal 2. bx = 0 geeft cos(t) = 0 cos(t) = ½ t = ⅓π + k · 2π ⋁ t = -⅓π + k · 2π t op [0, 1½π] geeft t = ⅓π y A = sin(⅓π) = · = 3 +, dus A(0, 3 + ) x = cos(t) y = sin(t)

26 opgave 56 cSubstitutie van x = cos(t) en y = sin(t) in y = x + 4 geeft sin(t) = cos(t) sin(t) = 2 cos(t) sin(t) = cos(t) cos(t - ½π) = cos(t) t - ½π = t + k · 2π ⋁ t - ½π = -t + k · 2π geen opl. 2t = ½π + k · 2π t = ¼π + k · π t = ¼π geeft x B = cos(¼π) = · ½ = -1 + en y B = sin(¼π) = 3 + t = 1¼π geeft x C = cos(1¼π) = · ½ = -1 – en y C = sin(1¼π) = · -½ = 3 – Dus B(-1 +, 3 + ) en C(-1 -, 3 - ). dVoer in y 1 = cos(x) en y 2 = -2. De optie intersect geeft x ≈ 2,09 en x ≈ 4,19. Dus 2,09 < t < 4,19.

27 opgave 61 aDe omlooptijd is seconden. Na seconde bevindt P zich in (7, -2). Dus met t in seconden. bt = 2 geeft x P = cos(5 - ½π) ≈ 1,12 en y P = sin(5 - ½π) ≈ -2,85 Dus P(1,12; -2,85). cNa seconde bevindt P zich voor het eerst in (1, -2). dy = 0 geeft Voer in y 1 = De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x ≈ 0,92 en x ≈ 1,59. Dus de snijpunten zijn (0,92; 0) en (1,59; 0).

28 Gezamenlijk begonnen ze aan de eerste ronden Al was het vanaf het begin (0,1) waarop ze stonden. Met voor ieder een gelijke hoeksnelheid Het was een eerlijke parameterstrijd. Geheel in gelijk tred werd het schema afgedraait De tijden stabiel de race nog niet echt opgelaait Bij een kwam er een staak in het wiel Ze kwam tot stilstand met een smak, ze viel. Weer opgestapt en eenparig voortgezet was zij bij doorkomst van de rest op (0,-1) gezet. Hoewel ze door roteerde en haar frustratie bedwong Ze bleef aankijken tegen een negatieve fasesprong.

29 Opgave 66 De x-coördinaat van rol I loopt van 10 naar – 10 en terug (normaal). De y-coördinaat van rol I loopt van 0 naar – 10 en terug (tegengesteld). De x-coördinaat van rol II loopt van 10 naar 20 en terug (tegengesteld). De y-coördinaat van rol II loopt van 0 naar – 10 en terug (tegengesteld).


Download ppt "Goniometrische formules x P = cos(α) en y P = sin(α) x Q = x P en y Q = -y P Dus sin(-α) = y Q = -y P = -sin(α) en cos(-α) = x Q = x P = cos(α) x R = -y."

Verwante presentaties


Ads door Google