Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Inleiding Adaptieve Systemen Aftelbaarheid & Berekenbaarheid.

Presentatie over: "Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Inleiding Adaptieve Systemen Aftelbaarheid & Berekenbaarheid."— Transcript van de presentatie:

1 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Inleiding Adaptieve Systemen Aftelbaarheid & Berekenbaarheid

2 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Flake’s persoonlijke motivatie “I wrote this book for the person I was around ten or fifteen years ago. I always wished for a book that combined all of these topics within one cover, gave sufficient information to enable one to duplicate all of the programs, and at the same time gave enough motivation to appreciate the more fundamental themes. I also wanted this hypothetical book to have parts that could be understood on a first reading, but additionally have sections that would be beyond my capabilities for years to come. This book could be sporadically opened at a random page or read sequentially. It would serve as a cookbook of computer recipes, be mostly self-contained, be a basic primer on some common mathematics, and also serve as a pointer to more fundamental texts.”

3 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Gary Flake

4 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Flake’s hypothese (in TCBoN) Complex gedrag op samengesteld nivo in grote natuurkundige, biologische, economische of sociologische systemen, lijkt te worden veroorzaakt door (zeer) eenvoudig gedrag op individueel nivo. “Fantastic: The appropriate shape came about due to the threat of a nearby Peregrine Falcon.” Photo (c) Robert Wolstenholme, site Daily mail UK.

5 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Flake’s idee “Of all the possible rules that could be used to govern the interactions among agents, scientists find that nature often uses the simplest.” Simple rules make complex systems. “The goal of this book is to highlight the computational beauty found in nature's programs.” (p. 5) Vak: computational systems biology

6 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk “Simple rules, complex systems” Fractals Chaos Cellular automata Flocking Competition and cooperation Adaptation Evolution Netlogo

7 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Opzet van college

8 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Onderdelen Werk-colleges –Inleveropgaven Computer-practica –Programmeer-opdrachten Hoor-colleges –Schriftelijke tentamens http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ias/ Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

9 Inhoudsopgave Preface How to Read This Book Dealing with Difficult Subjects Personal Motivation 1. Introduction 1.1. Simplicity and Complexity 1.2. The Convergence of the Sciences 1.3. The Silicon Laboratory 2. Number Systems and Infinity 3. Computability and Incomputability

10 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Aftelbaarheid

11 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Aftelbare verzamelingen Kenmerk: (mogelijk oneindige) rij. Typische aftelbare verzameling: N. Maar ook Z: 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3,… Maar ook alle cellen in het rooster Z x Z Een verzameling heet aftelbaar als deze op een (mogelijk oneindige) rij kan worden gezet.

12 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Z x Z is aftelbaar Dus de verzameling van alle breuken, Q, is ook aftelbaar. Immers, elke breuk x / y correspondeert met een roosterpunt (x, y). 1 23 4 567 8 9 10121311 14 15 16 1719202118 23 24 25 26 22 283029 27 Generalisatie. Als A en B aftelbaar, dan is A x B dat ook

13 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Waarom is aftelbaarheid zo belangrijk? Aftelbare verzamelingen zijn alomtegenwoordig in de wiskunde en exclusief vertegenwoordigd in de informatica. Discreet (alles wat aftelbaar is) vs. continu (alles wat gelijkmachtig is met R). Maakt het mogelijk elementen één voor één (en uitputtend!) te bekijken of te bewerken. –Bijv. sommeren (i.p.v. integreren).

14 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Aftelbaarheid Cartesisch product Generalisatie. Als A en B aftelbaar zijn, dan is het Cartesisch product A x B dat ook a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a 10, a 11, … b1b2b3b4b5b6b7b1b2b3b4b5b6b7 (a 5, b 6 ) Generalisatie. Als A 1,…, A n aftelbaar zijn, dan is het eindig Cartesisch product A 1 x … x A n dat ook

15 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Aftelbaarheid van vereniging Stelling. Als A en B aftelbaar zijn, dan is hun vereniging A  B dat ook. A : a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a 10, a 11, … B : b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6, b 7, b 8, b 9, b 10, b 11, …

16 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Aftelbaarheid van verenigingen Stelling. Als A en B aftelbaar zijn, dan is hun vereniging A  B dat ook. Aftelling van elementen A1A2A3A4A5A6A7A1A2A3A4A5A6A7 (A 6, 5) Generalisatie. Als A 1,…, A n,… een aftelbare rij is van aftel- bare verzamelingen, dan is de vereniging A 1  …  A n … ook aftelbaar.

17 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Hilbert’s hotel: aftelbaar oneindig veel kamers Elke kamer is bezet. Scenario 1: Eén extra gast. Scenario 2: Bus met m extra gasten. Scenario 3: Aftelbaar oneindig veel extra gasten. Scenario 4: Aftelbaar oneindig veel bussen met extra gasten: m 1, …, m n, … Scenario 5: Aftelbaar oneindig veel bussen, elk met aftelbaar oneindig veel extra gasten.

18 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Een verzameling A heet aftelbaar als er een surjectie f: N  A bestaat. Wiskundige definitie van aftelbaarheid N A 1 2 3 4 5....... Alle elementen uit A moeten een nummer krijgen.

19 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Andere definitie van aftelbaarheid Een verzameling A heet aftelbaar als er een injectie f: A  N bestaat. Opmerking: beide definities zijn natuurlijk gelijkwaardig want het is altijd zo dat als er een injectie van A naar B bestaat, er dan ook een surjectie van B naar A bestaat, en omgekeerd. (Dit is eenvoudig te bewijzen.) N A 1 2 3 4 5....... Niet alle nummers hoeven te worden gebruikt. Elk nummer mag hoogstens één keer worden gebruikt.

20 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Aftelbare verzamelingen (dus allemaal gelijkmachtig!) Voorbeelden van aftelbare verzamelingen: –De verzameling breuken, Q. –De verzameling van algebraïsche getallen (oplossingen van veeltermen), A. –De verzameling van alle LISP-programma’s. –De verzamelig van alle Java-programma’s. –De verzameling van alle computer-programma’s. –De verzameling van alle boeken (geschreven en ongeschreven, ongeacht lengte, en in welke taal dan ook). Hoe? Itereer aftelbaarheids -stellingen voor Cartesisch product en (aftelbare) vereniging.

21 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Hugo Battus Rekenen op taal (Querido, 1983) “ ” Link naar p. 264- 265

22 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Continue verzamelingen

23 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Is alles dan aftelbaar? Nee. Belangrijke voorbeelden van over-aftelbare verzamelingen: –De reële getallen R. –Alle deelverzamelingen van N. –Alle, zg. realisaties bij oneindig vaak gooien munt. –De verzameling van alle eindige en oneindige bitstrings –Cantor’s kam: Over-aftelbaar en toch (kans-) maat nul! Kans dat willekeurig element van (0, 1) in Cantor set zit, is nul! 0101010110101010... 0010101001010011... 0101100101011010... 0100101011000011......

24 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Diagonaal-argument (Cantor) Bewering: (0, 1) is niet aftelbaar (= niet op een rij te zetten). ?: 0.221268360............... 1: 0.142343626578235369587... 2: 0.011013310333222824829... 3: 0.120876543849244764612... 4: 0.115112516464462462621... 5: 0.411153534536993555353... 6: 0.116677778897900490453... 7: 0.396536236258632331221... 8: 0.345465654645564645665... 9: 0.811221119121765005056... 1.Stel toch. 2.Dan kunnen we de elementen op een rijt zetten. 3.Selecteer van getal N het cijfer op de N e plek. 4.En tel daar 1 bij op. 5.Dit getal komt niet voor in de rij. 6.Tegenspraak met (1).

25 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Gelijkmachtigheid Bi-jectie = Def een functie die tegelijkertijd injectief en surjectief is. Gelijkmachtig = “even groot”. Voorbeelden: {3,5,6} en {6,77,101} zijn gelijkmachtig. Alle aftelbare verzamelingen zijn gelijkmachtig met N. De verz. van alle even getallen is gelijkmachtig met N. Twee verzamelingen heten gelijkmachtig als een bi-jectie tussen deze twee bestaat.

26 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk [0, 2] en [0, 1] zijn gelijkmachtig 12 1 y = x/2

27 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk [0, 2) en [0, 1) zijn gelijkmachtig 12 y = x/2 1

28 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk (0, 2] en [0, 1) zijn gelijkmachtig 12 y = (1− x)/2 1

29 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk [0, 2] en [0, 1) zijn gelijkmachtig 12 1 Waar laat je die 2 ??? Oplossing blijkt vernuftig, en is opmaat voor de zg. Stelling van Cantor-Bernstein

30 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk (0, 1) en R zijn gelijkmachtig! Gebruik arctan. [en (–π/2, π/2) en (0,1) zijn uiteraard gelijk- machtig]

31 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Nog groter dan over-aftelbaar? Ja: voor elke set A geldt: |A| < | 2 A |. Dus |N| < | N1 = 2 N | < | N2 = 2 N1 | < … Voor R ~ 2 N hoeven alleen maar te bewijzen dat (0,1) ~ 2 N, immers (0, 1) ~ R en gelijkmachtigheid is transitief. Welnu: (1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …) ~ 1/2 + 1/16 + = | R |

32 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Cantor: voor elke verzameling A geldt: |A| < | 2 A | Stel f: A  2 A. Bekijk B = { a | a  f(a) } Stel, er is een b  A, zó dat f(b) = B. Dan: b  B  b  f(b)  b  B. Conclusie: zo’n b bestaat niet, dus f kan nooit surjectief zijn. Stelling. Elke verzameling is “kleiner” dan haar machtsverzameling.

33 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Continuüm-hypothese |N| < | N1 = 2 N | < | N2 = 2 N1 | < … Zitten hier nog cardinaliteiten tussen? Bestaat er bijvoorbeeld een β zó dat |N| < β < | 2 N | ? Dit is een moeilijke vraag (Hilbert’s 1e van tien problemen.) Uiteindelijk in 1963 beantwoordt door Paul Cohen. Antwoord: aanwezigheid van β niet te bewijzen of te weerleggen in standaard wiskunde.

34 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Berekenbaarheid

35 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk These van Church-Turing

36 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Alle (voldoend sterke) programmeertalen zijn even krachtig Claim. Laat J en K programmeertalen zijn. Als J een functie f : N  N kan uitrekenen, dan kan K dat ook. Deze claim is waar. Uit deze claim volgt dat alle programmeertalen op N N even sterk zijn. Later volgt hier gemakkelijk uit dat alle programmeertalen op Strings Strings evenveel kunnen. Uit deze claim volgt niet dat alle programmeertalen even efficiënt met tijd en geheugen omspringen (of even gebruiksvriendelijk zijn). Uit deze claim volgt ook niet dat alle programmertalen even sterk zijn in toepassingen buiten N N (of buiten Strings Strings ), zoals bv. interactieve of asynchrone toepassingen.

37 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Modellen van berekenbaarheid De Turing-machine

38 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk De register-machine Slechts vier instructies: De nul-instructie. Voorbeeld: r 6 := 0. De verhoog-instructie. Voorbeeld: r 7 ++. De kopieer-instructie. Voorbeeld: r 9 := r 7. De sprong-instructie. Voorbeeld: als r 4 =r 8 ga dan naar instructie 7. Afgekort: jump(4,8,7). r1 9 r2 7 r3 0 r4 00 r5 1.jump(1,2,6) 2.r 2 ++ 3.r 3 ++ 4.jump(1,2,6) 5.jump(1,1,2) 6.r 1 := r 3

39 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk De register-machine is even sterk als (bv.) Java. Eén kant is makkelijk: Elke berekening van een register-machine kan worden gesimuleerd in Java. De andere kant is moeilijker maar waar: Elke berekening in Java kan worden uitgevoerd door een register-machine. Idee: schrijf macros.

40 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Macro’s Voor GOTO (onvoorwaar- delijke sprong): kort j(1,1, n ) af tot j( n ). Voor optelling r k := r i +r j : maak subroutine als in BASIC: … 127.x:= i 128.y:= j 129.r:= 131 130.GOTO 500 131.k:= z … 500.u:= 0 501.z:= x 502.j(u, y, r) 503.u++ 504.z++ 505.GOTO 502 Moet eigenlijk ook nog een macro voor worden gedefinieerd…

41 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk These van Church-Turing Wat wij intuïtief onder (effectieve) bereken- baarheid verstaan wordt vertegenwoordigd door de klasse van (gelijkmachtige) berekenings- mechanismen op N N. Deze klasse is erg groot. Hij bevat o.a. Turing-machines, register-machines, mu-recursieve functies, Church’s lambda-calculus, Post’s tag-systems, BASIC- programma’s (op Strings Strings ), C#-programma’s op Strings Strings, C#-programma’s op Strings Strings x Strings,...

42 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Beslisbaarheid

43 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Vraag-typen EenvoudigReken- intensief Met de computer te beantwoorden Niet met de computer te beantwoorden Vaag of subjectief Voldoende precies geformuleerd Beslisbaar Onbeslisbaar ( )

44 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Bestaan er onbeslisbare vraagstukken? Bestaan er vraagstukken die, hoewel voldoende precies geformuleerd, computers, ongeacht programmeertaal, beschikbaar aantal processoren, rekentijd, en geheugen, principieel niet kunnen oplossen? Antwoord: JA, zulke vraagstukken bestaan.

45 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Carcassone Youtube gameplay instruction

46 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Voorbeelden van een Carcassone tegelset Stel: van elke tegel zijn oneindig veel exemplaren voorradig Is het mogelijk het platte vlak met deze tegelset af te dekken, zonder tegels te roteren?

47 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Platte vlak afdekken met rotatie is flauw

48 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Wang (1961) Vermoeden: “er bestaat een algoritme (reken-recept) dat voor alle tegelsets kan beslissen of deze het platte vlak kunnen vullen” Idee: probeer steeds grotere gebieden te bedekken, totdat: –een gebied niet bedekt kan worden (mislukking) –een periodiek patroon ontstaat (succes)

49 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Er bestaat geen algoritme! Er bestaat geen algoritme, er kan ook geen algoritme bestaan, en er zal ook nooit een algoritme komen, dat voor alle niet-roteerbare Carcassonne-tegelsets kan bepalen of deze het platte vlak kunnen betegelen. Op dit moment hebben wij niet de middelen om dit te bewijzen. Het bewijs komt er op neer elk specifiek zg. universele halting- probleem te vertalen naar een specifiek betegelings-probleem. Het universele halting-probleem is onbeslisbaar. Dit wordt zodadelijk besproken.

50 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Culik (1996) (Als je Carcassonne wilt: rood is stad, groen is land, blauw is water, grijs is steen, geel is weg.) A-periodieke betegeling

51 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Het stop-probleem The halting problem

52 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Alan Turing 23 juni 1912: geboren in Londen 1931-1934 kwantummechanica, al snel wiskunde aan de Universiteit van Cambridge 1935: maakt kennis met het Entscheidungsproblem 1936: On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem de Logical Computing Machine (later: Turing-machine) WW2: Government Code and Cypher School (ontcijfering Enigma) 1950: Turing test in AI 1954: overleden (cyanide- vergiftiging)

53 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Het stop-probleem is onbeslisbaar (Turing) Merk op: h/2 en j/1. Stel h bestaat, zó dat h(j, i) = 1  j(i) stopt. Stelling. Zij J een programmeertaal. Als J voldoende rijk is (en Java is dat bijvoorbeeld zeker), dan kan er geen programma h  J bestaan dat voor elke programma/input-combinatie (j, i)  J  I kan uitmaken of j met input i stopt.

54 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Tabel voor h, met daaruit q hi1i1 i2i2 i3i3 i4i4 i5i5 i6i6 i7i7 i8i8 i9i9 … j1j1 111101101… j2j2 111001010… j3j3 101111111… j4j4 111111111… j5j5 111001101… j6j6 110111111… j7j7 001111111… j8j8 011111101… j9j9 111111111… …………………………… 0 0 0 0 1 001 0 q Nu moeten we er ons alleen nog van overtuigen dat q gewoon één van de j i zou moeten zij. Zoja, dan zijn we klaar. (Ga na!)

55 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk De constructie van q opgeschreven: Stel h bestaat, zó dat h(j, i) = 1  j(i) stopt. Omgekeerd: h(j, i) = 0  j(i) stopt niet. Bekijk programma q/1: q(i): als h(i, i) = 0 stop, anders draai oneindige loop. Stopt q(q) ? –Volgens q’s definitie: q(q) stopt  h(q, q) = 0. –Volgens h’s definitie: q(q) stopt  h(q, q) = 1. Tegenspraak. diagonalisatie

56 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Andere begrippen in berekenbaarheidstheorie: berekenbaar, opsombaar, complementair opsombaar, semi-beslisbaar

57 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Drie kern-begrippen Berekenbare (computable) functie f : N  N. Opsombare (enumerable) set X  N. Beslisbare (decidable) set X  N.

58 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Opsombaar, berekenbaar, beslisbaar. Een (mogelijk partiële) functie f : N  N heet berekenbaar (computable) als er een computerprogramma bestaat dat f kan berekenen voor precies alle getallen waarvoor f gedefinieerd is. Een verzameling getallen X  N heet opsombaar, (recursively enumerable) als er een computerprogramma bestaat dat alle elementen van X (vroeg of laat) afdrukt. (Niet noodzakelijk in die volgorde.) Een verzameling getallen X  N heet beslisbaar (decidable) of recursief (recursive) als er een computerprogramma bestaat dat voor alle getallen kan beslissen of het in X zit.

59 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Vragen over opsombaarheid Is elke eindige verzameling X  N opsombaar? Stel, X en Y zijn opsombaar. –Is X  Y opsombaar? –Is X  Y opsombaar? –Is X  Y opsombaar? –Is X ─ Y opsombaar? –Is X C = N ─ X opsombaar? –Ja. –??

60 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Complementair opsombaar N

61 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Stelling van Emil Post De volgende beweringen zijn equivalent: 1. De verzameling A is beslisbaar. 2. De verzamelingen A en N \ A zijn opsombaar. 1  2 : tel N af en beslis voor elke n of n  A. Zo ja, druk n af. (Hetzelfde argument kun je toepassen op N \ A.) 2  1 : fix n. Som A en N \ A alternerend op. Er moet uitsluitsel komen over n.

62 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Onderverdeling van deelverzamelingen van N Flake, p. 47:

63 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk On-berekenbaarheid van N N Niet alle functies van N naar N zijn berekenbaar. Bewijs: we hebben net gezien: –De verzameling van alle computerprogramma’s is aftelbaar. –N N is over-aftelbaar. Sterker: –{0,1} N is over-aftelbaar, dus niet berekenbaar. –Er geldt |R| > |R – N|. Onberekenbaarheid komt dus “vaker voor” dan berekenbaarheid.

64 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Expliciete constructie van een onberekenbaar reëel getal Laat P 1, P 2, P 3, P 4,… een aftelling van computerprogramma’s zijn. Laat 0, 1, 0, 1, 1, … de corresponderende stop- string zijn: –Bit 1 : stopt op alle inputs –Bit 0 : anders κ = 0.01011… is niet berekenbaar. (Stel wel, dan zou stop-probleem beslisbaar zijn.)

65 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Getallen-hiërarchie binnen R N: alle positieve gehelen: 1, 2, 3, 4, … Z: alle gehelen: 0, 1, −1, 2, −2, … Q: alle breuken: 1/2, 3/4, −1/17, … A: alle algebraïsche reële getallen: √3, … C: alle berekenbare reële getallen. D: alle definieerbare reële getallen. R: alle reële getallen.

66 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Voorbeelden Het getal √2/(1+ √7) is –irrationaal (element van R – Q) –maar wel algebraïsch (bevat in A) Het getal π is –transcendent (element van R – A) –maar wel berekenbaar (  Def π is tot aan een willekeurige precisie te berekenen) Het stop-getal κ = 0.01011… is –onberekenbaar –maar wel definieerbaar (eng.: definable)

67 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Definieerbaarheid Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico- philosophicus, 1918. Dit is Stelling 7, de laatste hoofdstelling uit de Tractatus. Wiskundigen hebben zich hier niet door laten weerhouden: er bestaat een heel veld dat zich bezighoudt met definieerbaarheid.definieerbaarheid “Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.”