De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 4 STATISTIEK II.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 4 STATISTIEK II."— Transcript van de presentatie:

1 Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 4 STATISTIEK II

2 In wetenschappelijk onderzoek vertrekken we vanuit een onderzoeksvraag waaruit wordt afgeleid wat de populatie is en wat de onderzoekseenheden zijn. Om die vraag te beantwoorden verzamelen we data in de vorm van steekproeven omdat de hele populatie vaak moeilijk te onderzoeken is. Die steekproeven worden volgens bepaalde regels getrokken. Om via de verzamelde data de onderzoeksvraag te beantwoorden hebben we kansberekeningen nodig: kansen stellen ons in staat om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel gewoon. Om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen: theoretische verdelingen van mogelijke waarden en bijhorende kansen van een variabele. In de psychologie wordt de normale verdeling vaak gebruikt, aangezien veel kenmerken van mensen als normaal verdeeld in de populatie worden beschouwd. Omdat voor elk kenmerk een normale verdeling met een ander gemiddelde en standaarddeviatie geldt, is het onmogelijk om voor elke verdeling de exacte kansen te kennen. Daarom herleiden we die normale verdeling naar een standaardnormale verdeling door z-scores te berekenen. Daarna kunnen we de kansen van de z-scores aflezen uit een tabel. Bij hypothesetoetsing gebruiken we de steekproevenverdeling van het gemiddelde als kansverdeling. Ook hier zetten we waarden (gemiddelden!) om naar z-scores. We kunnen dan beslissen of ons geobserveerde gemiddelde uitzonderlijk is of niet. Als het uitzonderlijk is – volgens de verdeling die bij H0 hoort – dan verwerpen we H0. PREVIOUSLY ON STATISTIEK II 2 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

3 We zijn nooit helemaal zeker van de juistheid van onze conclusie na hypothesetoetsing: fouten zijn mogelijk, en belangrijk is dat we weten hoe groot de kans is op een fout. Bij hypothesetoetsing kan je overschrijdingskansen gebruiken, maar net zo goed kan je de kritieke waarden berekenen die bij de overschrijdingskansen horen. Hypotheses kunnen éénzijdig of tweezijdig getoetst worden. Eénzijdig toetsen geeft meer kans op significante resultaten, maar mag enkel toegepast worden als er een duidelijk verantwoorde richting in de hypothese zit. PREVIOUSLY ON STATISTIEK II 3 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

4 Toetsen voor één populatie Z-toets, T-toets, X²-toets VANDAAG

5 1. Toetsingssituatie Bij welk soort onderzoeksvragen gebruik je deze toets? 2. Voorwaarden Wanneer mag je deze toets wel/niet gebruiken? 3. Hypothesen Hoe zien H0 en H1 eruit wanneer je deze toets gebruikt? 4. Toetsingsgrootheid Welke grootheid bereken je en wat is de kansverdeling van die grootheid? 5. Beslissingsregels Wanneer verwerp je H0: via overschrijdingskansen of kritieke waarden? 6. Effectgrootte Hoe belangrijk is het gevonden effect? 7. Rapporteren Hoe vermeld je op een juiste manier de resultaten? STRAMIEN TOETSEN 5 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

6 1. Toetsingssituatie Heeft het gemiddelde van de populatie waaruit de steekproef afkomstig is een bepaalde waarde of niet? Vb. Is de gemiddelde IQ score van de populatie van mensen die een training gevolgd hebben meer dan 100? 2. Voorwaarden σ is bekend en populatie is normaal verdeeld (ook bij kleine N) σ is niet bekend en/of populatie is niet normaal verdeeld, maar N ≥ 100 Uitleg: als σ niet bekend is maar N ≥ 100 dan mag je s gebruiken als populatie niet normaal verdeeld is maar N ≥ 100 dan mag je aannemen dat steekproevenverdeling normaal verdeeld is Z-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 6 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

7 Z-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 7 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

8 3. Hypothesen Linkseenzijdig H0: µ ≥ µ0 H1: µ < µ0 Rechtseenzijdig H0: µ ≤ µ0 H1: µ > µ0 Tweezijdig H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0 µ0 = veronderstelde waarde voor populatiegemiddelde µ Z-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 8 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

9 4. Toetsingsgrootheid te vervangen door s indien σ niet gekend is en N ≥ 100 Kansverdeling: Standaardnormale verdeling Z-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 9 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

10 5. Beslissingsregels 2 mogelijkheden: a.overschrijdingskansen b.kritieke waarden a. H0 verwerpen indien: Pl (z x) ≤ α ? >> linkseenzijdig Pr (z x) ≤ α ?>> rechtseenzijdig Pd (z x) = 2*Pl (z x) ≤ α ? (als X > tweezijdig 2*Pr (z x) ≤ α ? (als X > μ) Z-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 10 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

11 b. H0 verwerpen indien: z x ≤ >> linkseenzijdig z x ≥ 1.64 >> rechtseenzijdig z x ≤ (als X > tweezijdig ≥ 1.96 (als X > μ) Telkens bij α =.05 ! Bij een andere α veranderen ook de kritieke waarden!! Z-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 11 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

12 1. Toetsingssituatie Heeft het gemiddelde van de populatie waaruit de steekproef afkomstig is een bepaalde waarde of niet? 2. Voorwaarden σ is niet bekend en populatie is normaal verdeeld en N < 100 N > 30 en populatie is niet normaal verdeeld T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 12 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

13 3. Hypothesen Linkseenzijdig H0: µ ≥ µ0 H1: µ < µ0 Rechtseenzijdig H0: µ ≤ µ0 H1: µ > µ0 Tweezijdig H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0 µ0 = veronderstelde waarde voor populatiegemiddelde µ T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 13 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

14 4. Toetsingsgrootheid cfr. Z-toets maar s ipv σ Kansverdeling: Student t-verdeling Vrijheidsgraden: df = N-1 T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 14 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

15 Student t-verdeling Lijkt sterk op de normale verdeling - Symmetrisch - Gemiddelde = 0 - Bij oneindig grote steekproef identiek Verschillen: - Iets platter, dikkere staarten - Bepaald door grootte steekproef -> Meerdere t-verdelingen: parameter df T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 15 William Gosset, zichtbaar tevreden met het ontdekken van de t-verdeling Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

16 Wat zijn vrijheidsgraden? vrijheidsgraden = df = degrees of freedom = het aantal observaties waarvan de waarden arbitrair kunnen worden bepaald In deze t-toets: df = N-1 Vb. gemiddelde van 5 getallen is 10 -> hoeveel getallen mag ik dan vrij kiezen? Als ik 4 getallen arbitrair kies (bv. 5,11,3,8) dan ligt het 5e getal namelijk vast (nl. 23) opdat er een gemiddelde van 10 zou zijn Dus we hebben 5-1 of 4 vrijheidsgraden T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 16 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

17 Vrijheidsgraden in de t-toets: Bij een t-toets gebruiken we s als schatter voor σ s = een afwijkingsscore: We weten dat het gemiddelde van afwijkingsscores altijd 0 is. Dus: als we met n (vb. 5) afwijkingsscores werken en het gemiddelde ligt vast nl. 0, dan kunnen we N-1 (vb. 4) afwijkingsscores vrij kiezen. Als de steekproefgrootte N is, dan is de t-verdeling voor het gemiddelde gebaseerd op N-1 vrijheidsgraden T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 17 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

18 5. Beslissingsregels a. overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien: Pl (t x) ≤ α ? >> linkseenzijdig Pr (t x) ≤ α ?>> rechtseenzijdig Pd (t x) = 2*Pl (t x) ≤ α ? (als X > tweezijdig 2*Pr (t x) ≤ α ? (als X > μ) T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 18 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

19 Rechtseenzijdig toetsen H0: µ ≤ 100 x = sx = n = 29 H1: µ > 100 t x = – 100 √29 = df = 28 P r = 0.11 t x = > is P r (t x) ≤ α? ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 19 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

20 Probleem met overschrijdingskansen: Er zijn net zoveel t-verdelingen als er vrijheidsgraden zijn. Dan zouden er oneindig veel tabellen met overschrijdingskansen beschikbaar moeten zijn. -> toetsen met kritieke waarden T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 20 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

21 b. Toetsen met kritieke waarden -> t waarde opzoeken die hoort bij significantieniveau α -> Tabel kritieke waarden van de t-verdeling in bijlage 1 Rechtseenzijdig toetsen bij α = 0.05 en df = 28 -> rechter kritieke waarde = df = 28 P r = 0.05 t = > t x ≥ ? ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 21 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

22 Onderzoekshypothese: vaders van grote gezinnen vinden van zichzelf dat ze geen gemiddelde intelligentie hebben. In de populatie is schatting van IQ normaal verdeeld met µ = 100. De onderzoeker laat 29 vaders in grote gezinnen hun IQ schatten. Resultaat in deze steekproef: X = en s = Hoe zien H0 en H1 eruit? H0: µ = 100 H1: µ ≠ Welke toetsingsgrootheid? σ is onbekend, populatie is normaal verdeeld, N t-toets T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 22 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

23 3. t score berekenen 4. Kritieke t waarde opzoeken in tabel -> df = 29-1 = 28 en α = 0.05 en 2-zijdig -> T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 23 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

24 5. t score vergelijken met kritieke t score 1.28 < dus H0 niet verwerpen T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 24 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

25 Opmerking: SPSS gaat ervan uit dat σ niet gekend is en voert steeds een t-toets uit (dus ook in situaties waar een Z-toets toegelaten is) Maar: de overschrijdingskansen bij een t-toets zijn groter dan bij een z-toets (zie ook dikkere staarten in t-verdeling in vergelijking met z-verdeling) Gevolg: H0 zal minder snel verworpen worden bij een t-toets in vergelijking met een z-toets: 1-β (P om H0 terecht te verwerpen - onderscheidingsvermogen) neemt af We krijgen dus minder snel een significant resultaat bij een t- toets in vergelijking met een z-toets. Daarom eventueel manuele Z-toets gebruiken als aan de voorwaarden is voldaan. T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 25 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

26 Demo SPSS: metalfans en haarlengte Hebben metalfans langere haren dan de gemiddelde volwassene? T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 26 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

27 6. Effectgrootte 7. Rapporteren Om na te gaan of metalfans langere haren hebben dan de algemene bevolking werd een one sample t-test uitgevoerd. Gemiddeld hadden de metalfans uit de steekproef langere haren (M = 9.83, SD = 2.62) dan de referentiewaarde 8.9 uit de populatie, t(59) = 2.739, p =.008, r =.34. T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE 27 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

28 Wat als niet voldaan is aan voorwaarden voor parametrisch toetsen bij bestuderen van 1 populatie? variabele niet normaal verdeeld in populatie? steekproef < 30 ? geen intervalvariabele?  χ²-toets voor frequenties Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 28 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

29 1. Toetsingssituatie Stemmen de geobserveerde frequenties in de steekproef overeen met de verwachte frequenties op basis van normen of eerder onderzoek? Vb. Stemmen de frequenties leerlingen die lezen op niveau AVI-2, AVI-3, AVI-4 en AVI-5 in het tweede leerjaar van een bepaalde school overeen met de frequenties van deze leesniveaus in de algemene bevolking? 2. Voorwaarden de categorieën waarvan de frequenties bestudeerd worden moeten elkaar uitsluiten. 20% of minder van de categorieën heeft een verwachte frequentie kleiner dan 5; geen enkele categorie heeft een verwachte frequentie van minder dan 1; ordinale variabelen worden beschouwd als nominale variabelen. Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 29 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

30 3. Hypothesen Enkel tweezijdig! H 0 : π 1 = π 2 = … = π k H 1 : niet H 0 Of H 0 : π 1 = π A ; π 2 = π B ; … ; π k = π K H 1 : niet H 0 Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 30 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

31 4. Toetsingsgrootheid met df = k – 1 f o = geobserveerde frequenties f e = verwachte frequenties k = aantal categorieën Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 31 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

32 5. Beslissingsregels a. overschrijdingskansen maar χ²-verdeling afhankelijk van df, dus teveel mogelijkheden om te tabelleren, daarom: b. kritieke waarden Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 32 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

33 6. Effectgrootte (phi) (interpreteerbaar zoals r) 7. Rapporteren Verwachte en geobserveerde proportie, X², df, p-waarde. Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 33 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

34 Klas 2 e leerjaar: 9 van 26 leerlingen lezen op niveau AVI-5. Ongewoon veel? Meer dan verwacht? Verwachte frequentie = 23% of 6/26 Geobserveerde frequentie = 35% of 9/26 Verschil groot genoeg om van significantie te spreken? Hypotheses: H 0 : π minder dan AVI-5 = 20 ; π AVI-5 of meer = 6 en H 1 : niet H 0 Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 34 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

35 Hypotheses: H 0 : π minder dan AVI-5 = 20 ; π AVI-5 of meer = 6 en H 1 : niet H 0 Toetsingsgrootheid: Beslissen: Is 1.95 groter dan kritieke waarde?  tabel kritieke X²-waarden kritieke waarde bij α =.05 en df = 1 is gelijk aan Aangezien 1.95 < 3.84 wordt H 0 niet verworpen. Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 35 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

36 Demo SPSS: voorkeur vrijetijdsactiviteit bij senioren. Een gemoedelijke Duitse gemeente wil in het kader van de budgettering voor recreatie weten of de senioren in de gemeente een uitgesproken voorkeur hebben voor een bepaalde vrijetijdsactiviteit. Een steekproef van senioren wordt gevraagd een keuze te maken tussen wandelen, fietsen of rotsklimmen. Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES 36 Hoofdstuk 4: Toetsen voor 1 populatie

37 interval/ ordinaal nominaal 1 > 1 1 one sample t-test / z-test 1 2 > 2 interval/ ordinaal onafh. afh. independent t-test / z-test dependent t-test one way ANOVA repeated measures ANOVA Pearson correlation nominaal interval gemengd afh. gemengd n-way ANOVA repeated measures ANOVA mixed design ANOVA multiple regression Pearson chi-square multiple regression nominaal/ ordinaal onafh. type AV?aantal OV?type OV? hoeveel populaties? categorieën afhankelijk? parametrischnon-parametrisch Rank-sum Signed-ranks Kruskal-Wallis Friedman’s ANOVA Spearman correlation niet in dit boek chi-square goodness of fit 1 ≥ 2 chi-square goodness of fit onafh.


Download ppt "Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 4 STATISTIEK II."

Verwante presentaties


Ads door Google