De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Regels bij kansrekeningen Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ). Complementregel P(gebeurtenis)

Verwante presentaties


Presentatie over: "Regels bij kansrekeningen Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ). Complementregel P(gebeurtenis)"— Transcript van de presentatie:

1 Regels bij kansrekeningen Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ). Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G 1 en G 2 ) = P(G 1 ) · P(G 2 ). aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) = Kansdefinitie van Laplace 10.1 Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.

2 In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. aP(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood) bP(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen) =+≈ 0, =+≈ 0,667 Voorbeeld somregel

3 De complementregel P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) 10.1

4 Het vaasmodel Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten manieren = =5 10.1

5 opgave 6 aP(minstens één prijs) = 1 – P(geen prijs) = bP(100 euro) = P(1 × 100) + P(2 × 50) = cP(minstens 30 euro) = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – (P(niets) + P(10 euro) + P(20 euro)) = ≈ 0,370 ≈ 0,048 ≈ 0,173

6 Berekeningen met breuken 10.2

7 opgave 21 aP(minstens 2)= 1 – P(geen of 1) = 1 – P(geen) – P(1) = 1 – 0, · 0,22 · 0,78 7 ≈ 0,554 bP(zes of zeven) = P(zes) + P(zeven) = · 0,53 6 · 0, · 0,53 7 · 0,47 5 ≈ 0,434 cP(hoogstens 2 zakken)= P(minstens 8 slagen) = P(8) + P(9) + P(10) = · 0,71 8 · 0, · 0,71 9 · 0,29 + 0,71 10 ≈ 0,

8 opgave 31 aAls er van de 10 knikkers a rood zijn en de rest zwart, zijn er 10 – a zwarte knikkers. bP(zwarte knikker) = cP(2 zwarte knikkers) =

9 opgave 32 aP(rr) = bP(zwarte en rode) = P(zr) + P(rz) cVoer in y 1 = (17x - 2x 2 )/66 en maak een tabel. Je ziet dat y 1 maximaal 0,545 is voor x = 4. In vaas I zitten dan 4 rode en 7 zwarte knikkers en in vaas II 4 rode en 2 zwarte knikkers.

10 opgave 37 In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. aP(rr) = bP(rode en witte) = 2 · P(rw) = cVoer in y 1 = (50x – x 2 )/1225 en maak een tabel. Je ziet dat y 1 > 0,5 voor x = 22 tot en met x = 28. Bij x = 22 horen 50 – 22 = 28 witte knikkers en bij x = 28 horen 50 – 28 = 22 witte knikkers. Dus er zitten 22 of 23 of 24 of … of 28 witte knikkers in de vaas. De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. Er zijn 50 – p witte knikkers

11 Bernoulli-experimenten De complement-gebeurtenis van succes is mislukking. De kans op succes geven we aan met p. Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten. 10.3

12 Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd X het aantal keer succes p de kans op succes per keer de kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = · p k · (1 – p) n – k. nknk 10.3

13 opgave 45 an = 6 en p = = 0,4 P(X = 4) = · 0,4 4 · 0,6 2 ≈ 0,138 bn = 12 en p = = 0,9 P(Y = 10) = · 0,9 10 · 0,1 2 ≈ 0,

14 De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 10.3

15

16 voorbeeld som van de ogen aX = het aantal keer minstens vijf ogen. p = P(minstens 5 ogen) = P(X ≤ 10) = binomcdf(15,, 10) ≈ 0,998 bX = het aantal keer meer dan zeven ogen. p = P(meer dan 7 ogen) = p = P(X = 5) = binompdf(18,, 5) ≈ 0,097

17 opgave 49 aX = het aantal keer banaan. P(X = 5) = binompdf(10, 0.2, 5) ≈ 0,026 bX = het aantal keer appel. P(X = 3) = binompdf(18, 0.4, 3) ≈ 0,025 cX = het aantal keer appel. P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.4, 2) ≈ 0,004 dX = het aantal keer banaan P(X = 4) = binompdf(5, 0.2, 4) ≈ 0,006

18 opgave 53 aX = het aantal keer oost. P(in B uitkomen) = P(X = 2) = binompdf(8,, 2) ≈ 0,260 bP(in C uitkomen) = P(X = 4) = binompdf(8,, 4) ≈ 0,026 cP(via A in B) = P(X = 1) · P(X = 1) = binompdf(5,, 1) · binompdf(3,, 1) ≈ 0,140 dP(ten noorden van de lijn AC) = P(X ≤ 3) = binomcdf(8,, 3) ≈ 0,

19 Werkschema: het maken van opgaven over binomiale kans- experimenten 1.Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X 2.Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. 3.Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 10.4

20 opgave 60 aX = het aantal keer even. P(X > 10) = 1 – P(X ≤ 10) = 1 – binomcdf(16, ½, 10) ≈ 0,105 bX = het aantal keer 3 ogen. P(X < 2) = P(X ≤ 1) = binomcdf(16, ⅙, 1) ≈ 0,227 cX = het aantal keer 6 ogen P(X = 5) = binompdf(16, ⅙, 5) ≈ 0,076

21 opgave 63 a60% van 120 is 72 X = het aantal dat studie met succes voltooit. P(X > 72) = 1 – P(X ≤ 72) = 1 – binomcdf(120, ⅔, 72) ≈ 0,925 bX = het aantal dat de studie voortijdig staakt. P(X ≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – binomcdf(6, 0.40, 2) ≈ 0,456 ⅓ haakt voortijdig af dus ⅔ voltooit de studie. p = 0,40

22 Het berekenen van n bij een binomiale verdeling opgave 70 X = het aantal treffers. Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0,9, oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ? TI 1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9 Voer in y 1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4). Maak een tabel en lees af voor n = 17 is y 1 ≈ 0,874 voor n = 18 is y 1 ≈ 0,906. Dus minstens 18 vrije worpen. Casio 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,1 ? Proberen geeft voor n = 17 is P(X ≤ 4) ≈ 0,126 voor n = 18 is P(X ≤ 4) ≈ 0,094. Dus minstens 18 vrije worpen. 10.4

23 De binomiale en de normale verdeling combineren opgave 76 aX = het aantal optredens dat langer dan 2 uur duurt. X is binomiaal verdeeld met n = 22 en p = normalcdf(120, 10 99, 112, 5) = 0,054… P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – binomcdf(22, 0.054…, 3) ≈ 0,030 bX = het aantal optredens dat korter duurt dan 105 minuten. X is binomiaal verdeeld met n = 120 en p = normalcdf(-10 99, 105, 112, 5) = 0,080… Je verwacht dat er 120 · 0,080… ≈ 10 optredens korter duren dan een uur en drie kwartier.

24 Werkschema: het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X 1.Stel de kansverdeling van X op. 2.Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. 3.Tel de uitkomsten op. De som is E(X). Dus E(X) = x 1 · P(X = x 1 ) + x 2 · P(X = x 2 ) + … + x n · P(X = x n ). 10.5

25 opgave 79 aW = uitbetaling - 2 E(W) = -2 · 0, · 0, · 0,01 = -1,20 De winstverwachting is - € 1,20 per lot. bEen lot moet dan 2 – 1,20 = € 0,80 kosten. w-2848 P(W = w)0,960,030,01 4 prijzen, 96 keer niet prijs van de keer eerste prijs van de keer tweede prijs van de 100

26 opgave 85 aP(13 euro terugbetalen) = P(twee van de drie dagen slecht weer) = 3 · 0,4 2 · 0,6 = 0,288 bP(niets terugbetalen) = 0,6 3 = 0,216 P(6,50 euro terugbetalen) = 3 · 0,4 · 0,6 2 = 0,432 P(19,50 euro terugbetalen) = 0,4 3 = 0,064 V = de verdienste per kaart = 20 - terugbetaling E(V) = 20 · 0, ,50 · 0, · 0, ,50 · 0,064 = 12,20 De eigenaar verdient naar verwachting 228 · 12,20 = 2781,60 euro. v2013,5070,50 P(V = v)0,2160,4320,2880,064

27 De standaardafwijking van een toevalsvariabele 10.5

28 De somregel voor de standaardafwijking Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt de somregel voor de standaardafwijking σ x+ y = √ σ 2 x + σ 2 y VAR(X) = σ 2 x (de variantie van X) σ 2 x+ y = σ 2 x + σ 2 y dus VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) 10.5


Download ppt "Regels bij kansrekeningen Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ). Complementregel P(gebeurtenis)"

Verwante presentaties


Ads door Google