De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Herhaling kansrekenen ?!? Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Herhaling kansrekenen ?!? Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel."— Transcript van de presentatie:

1 Herhaling kansrekenen ?!? Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel van deze uitkomsten er gunstig zijn. Hiervoor is het goed als je handig kan tellen en de rekenformules van de combinatoriek goed kent en beheerst. Het volgende schema kan hier handig bij zijn Herhaling toegestaan Herhaling niet toegestaan Volgorde niet van belang Volgorde wel van belang nPr nCr

2 Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit. Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit. Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit. Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.

3 Voorbeelden Pin code Afspelen van 9 nummers van een CD Toto voor een competitie met 13 wedstrijden Voorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 leden Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28 Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 dranken Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnen Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6 Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen Verdeling van de kaarten bij klaverjassen 4 rings’combinatieslot ‘ ?!?

4 Kansen en combinaties Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7 Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als Spreek uit : 7 boven 4 Het aantal manieren om k dingen uit n dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n, is 7474 nknk 9.1

5 Kansen en combinaties Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten manieren 8+4+3= =5 P(G) =.. 9.1

6 Vaas met3 Rode 6 Blauw en 7 witte knikkers. Wat is de kansverdeling voor X= aantal Blauwe knikkers als Eline 3 knikkers pakt? P(0 blauw) = P(1 blauw) = P(2 blauw) = P(3 blauw) = ≈ opgave ≈ ≈ ≈

7 Het vaasmodel Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel 9.1

8 probleem Gloeilampen in dozen van 20 stuks. Willekeurig worden 4 lampen uit de doos gecontroleerd. Alle 4 goed dan wordt de doos goedgekeurd. In een doos zitten precies 2 defecte lampen. vaasmodel Vaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de defecte lampen) en 18 groen. antwoord P(goedkeuring) = P(4 goed) = ≈ 0,632 opgave 9

9 probleem 500 appels wordt verpakt in 20 dozen van elk 25 stuks. Bij deze 500 appels zijn er 10 met een rotte plek. Bereken de kans dat alle appels in de doos gaaf zijn. vaasmodel Vaas met 500 knikkers waarvan 10 rood (de appels met een rotte plek) en 490 groen, je pakt 25 knikkers uit de vaas. antwoord P(alle appels gaaf) = P(geen rode) = ≈ 0,596 opgave 10

10 probleem In een restaurant zijn bij de ingang 20 kapstokken. Er komt een gezelschap van 18 personen binnen. Willekeurig worden de jassen opgehangen. Hoe groot is de kans dat de kapstokken 3 en 12 leeg blijven. vaasmodel Vaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de nummers 3 en 12) en 18 groen. antwoord P(3 en 12 blijven leeg) = ≈ 0, opgave 11

11 De somregel Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben, dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten dan geldt de somregel. Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan geldt de somregel niet. Zo is als we kijken naar het aantal ogen bij het gooien van twee dobbelstenen P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan, P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’ en ‘product is 4’ hebben de uitkomst  gemeenschappelijk Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt de somregel: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) 9.2

12 In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. aP(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood) bP(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen) = + ≈ 0, =+ ≈ 0,667 opgave 20

13 De complementregel P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) + P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte) 9.2

14 Vaas met 60 knikkers waarvan 4 rood (de glazen met een barst). Aafke pakt 12 knikkers (de doos met de 12 glazen). aP(minstens 1 glas met barst) = 1 – P(geen glas met een barst) = 1 – bP(alle kapotte glazen in de doos) = ≈ 0, ≈ 0,001 opgave

15 Vaas met 30 knikkers waarvan 20 rood (minder dan 10 km van school). P(minstens 6 minder dan 10 km van school) = P(6) + P(7) + P(8) = ≈ 0, opgave 35a

16 Vaas met 30 knikkers waarvan 12 rood (de jongens). P(minder dan 7 jongens) = 1 – (P(7 jongens) + P(8 jongens)) = opgave 35b

17 Vaas met 30 knikkers waarvan 13 rood. (de meisjes die minder dan 10 km van school wonen) P(3 meisjes die minder dan 10 km van school wonen) = ≈ 0,302 opgave 35c

18 De productregel Voor de gebeurtenis G 1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G 2 bij het andere experiment geldt : P(G 1 en G 2 ) = P(G 1 ) · P(G 2 ) 9.3

19 Kansbomen Bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken. Je gaat als volgt te werk : Zet de uitkomsten bij de kansboom. Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt. Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst. 9.3

20 Draaiende schijven Welke kansboom hoort er bij het draaien van de schijven?

21 Oefenopgave 1 aP(ba,ba,ba)= 2/4 × 1/3 × 1/4 = 2/24 ≈ 0,083 bP(ke,ke,ke)= 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042 cP(ci,ci,ba)= 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042 dP(ci,ci,ci)= 1/4 × 1/3 × 0 = 0

22 opgave 2 aP(geen banaan) = P(bbb) = 2/4 × 2/3 × 3/5 = 12/60 = 0,2 bP(2 citroenen en 1 banaan) = P(ccb) + P(cbc) + P(bcc) = 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 2/4 × 1/3 × 2/5 = 8/60 ≈ 0,133 cP(3 dezelfde) = P(bbb) + P(ccc) + P(kkk) = 2/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 1/5 = 7/60 ≈ 0,117 dP(2 keer kersen) = P(kkk) + P(kkk) + P(kkk) = 1/4 × 1/3 × 4/5 + 1/4 × 2/3 × 1/5 + 3/4 × 1/3 × 1/5 = 9/60 = 0,15 eP(1 banaan) = P(bbb) + P(bbb) + P(bbb) = 2/4 × 2/3 × 3/5 + 2/4 × 1/3 × 3/5 + 2/4 × 2/3 × 2/5 = 26/60 ≈ 0,433

23 Een experiment 2 keer of vaker uitvoeren Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment. Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen te berekenen. De productregel gebruik je ook als je hetzelfde kansexperiment 2 of meer keren uitvoert. 9.3

24 Oefen opgave 3 aP(3 rode) = P(r r r) = 2/5 × 2/5 × 2/5 = 0,064 bP(geen rode) = P(r r r) = 3/5 × 3/5 × 3/5 = 0,216 cP(2 rood en 1 blauw) = P(r r b) + P(r b r) + P(b r r) = 3 × 2/5 × 2/5 × 1/5 = 0,096 dP(2 rood) = P(r r r) + P(r r r) + P(r r r) = 3 × 2/5 × 2/5 × 3/5 = 0,288 = · (2/5) 2 · (3/5) 1 2 rood van de 5 3 niet rood van de 5 2 rood van de 5 1 blauw van de 5 2 rood van de 5 3 niet rood van de 5 De schijf wordt drie keer rondgedraaid. 3131

25 opgave 46 De kansen dat ze op rood staan is achtereenvolgens 0,4 ; 0,7 en 0,2. aP(3 keer doorlopen) = P(r, r, r) = (1 - 0,4) x (1 - 0,7) x (1 - 0,2) = 0,144 bP(één keer wachten, niet voor de derde) = P(r, r, r) + P(r, r, r) = (0,4 x 0,3 x 0,8) + (0,6 x 0,7 x 0,8) = 0,

26 aP(tweejarige wordt 4) = 0,40 x 0,25 = 0,1 bP(pasgeboren muis gaat op driejarige leeftijd dood) = 0,42 x 0,60 x 0,40 x (1 – 0,25) ≈ 0,076 cP(pasgeboren muis wordt geen 3 jaar) = 1 – P(pasgeboren muis wordt 3 jaar) = 1 – 0,42 x 0,60 x 0,40 ≈ 0,899 leeftijd in jaren01234 kans0,420,600,400,250,05 opgave 48

27 Experimenten herhalen totdat succes optreedt In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uit een nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoor per keer. 9.3

28 aP(Sanne wint in 2 sets) = P(SaSa) = 0,6 · 0,6 = 0,36 bP(Johan wint de 1 e en Sanne de volgende twee sets) = P(JSS) = 0,4 · 0,6 · 0,6 = 0,144 cP(de partij duurt 3 sets) = P(SJS) + P(SJJ) + P(JSS) + P(JSJ) = 0,6 · 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,6 · 0,6 + 0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,48 opgave 60

29 start S S S S S S S S toelatings- examen eerste herkansing tweede herkansing derde herkansing 0,6 0,4 0,3 0,7 aP(bij de 2 e herkansing slagen) = P(S S S) = 0,4 · 0,7 · 0,3 = 0,084 bP(definitief afgewezen) = P(S S S S) = 0,4 · 0,7 · 0,7 · 0,7 ≈ 0,137 opgave 62

30 opgave 65 Kansen en formules In vaas I zitten 11 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart. In vaas II zitten 6 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart. aP(rr) = bP(zr) = cVoer in y 1 = Maak een tabel: Je ziet dat dat y 1 maximaal 0,4545 is bij x = 5 en x = 6. Dus bij 5 rode en 6 zwarte knikkers in vaas I en 5 rode en 1 zwarte knikker in vaas II. En bij 6 rode en 5 zwarte knikkers in vaas I en 6 rode en geen zwarte knikkers in vaas II.

31 Trekken met en zonder terugleggen 9.4

32 aP(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,417 bP(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,316 cP(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309 dP(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0, opgave

33 Kleine steekproef uit grote populatie Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 9.4

34 opgave 75 aP(geen bijtende stoffen) = 0,85 10 ≈ 0,197 bP(8 brandende en 2 bijtende) = · 0,60 8 · 0,15 2 ≈ 0,017 cP(minstens 9 brandbare) = P(9 brandbare) + P(10 brandbare) = · 0,60 9 · 0,40 + 0,60 10 ≈ 0,

35 opgave 79 aP(één van de twee) = · 0,18 · 0,82 ≈ 0,295 bP(minstens 2 van de 8) = 1 – P(0 of 1) = 1 – (P(0) + P(1)) = 1 – (0, · 0,18 · 0,82 7 ) ≈ 0,437 c20% van 85 is 0,2 · 85 = 17 P(17 van de 85) = · 0,18 17 · 0,82 68 ≈ 0,


Download ppt "Herhaling kansrekenen ?!? Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel."

Verwante presentaties


Ads door Google