Algebra oefenen met inzicht Johan Deprez Dag van de wiskunde, Kortrijk, 28/11/15 slides op mijn website: zie KU Leuven – wie is wie

Kennismaking 2

Wie zijn jullie? student? gra(a)d(en) waarin je lesgeeft?  (derde) // tweede // eerste basisdiploma?  bachelor onderwijs: wiskunde // andere  master/licentiaat: wiskunde // andere ervaring als wiskundeleraar?  < 5 jaar //  5 jaar, < 10 jaar //  10 jaar

Wie ben ik? verantwoordelijke voor de Specifieke Lerarenopleiding wiskunde KU Leuven (en een verleden als  docent wiskunde in het economisch onderwijs aan de hogeschool/universiteit  verantwoordelijke voor de Specifieke Lerarenopleiding wiskunde aan de Universiteit Antwerpen)

gebaseerd op artikel in Uitwiskeling 29/1 (winter 2013) = syllabus mede-auteur: Regi Op de Beeck (lerares) + grondig besproken met de hele redactie van Uitwiskeling artikel schatplichtig aan vele bronnen, maar o.a. aan Paul Drijvers en Martin Kindt (medewerkers Freudenthal Instituut) 5

Syllabus nu: 3 werkteksten slides: op mijn website aan de KU Leuven  gebruik wie-is-wie op website KU Leuven tekst uit Uitwiskeling: op de website Eekhoutcentrum 6

Werktekst 1 Je kunt alvast beginnen! 7

Aanleiding voor deze nascholing 8

Peiling wiskunde 2 de graad aso (2011) resultaten voor algebra niet goed genoeg 9

Twee voorbeeldvragen

Peiling eerste graad A-stroom 11

Resultaten voor algebra niet goed genoeg enkele nuanceringen  grote verschillen tussen studierichtingen  op het einde van het vierde jaar zonder vooraf studeren oorzaken?  te moeilijke vragen? eerder niet  leraren vinden algebra niet belangrijk? leraren geven in de peiling aan dat ze algebra belangrijk vinden  weinig lestijd besteed aan algebra? leraren besteden veel tijd aan algebra 12

Oplossingen? problemen zijn niet nieuw  zoals oudere collega’s wel weten  is ook gedocumenteerd in wetenschappelijk onderzoek niet typisch voor Vlaanderen  in internationaal perspectief doen we het zelfs vrij goed geen wonderoplossingen bekend vandaag inzoomen op verdere verbetering didactiek (lang) niet enige element in de oplossing bv. grote problemen bij Humane Wetenschappen zijn niet zomaar op te lossen met betere didactiek betere oriëntering? eindtermen differentiëren … 13

Vijf vraagjes 14

15

5. Wat verkies je? 16

Wat werkt niet? 17

Wat werkt niet? [S]tudies over several decades ha[ve] shown that an exclusively skills-based approach to the teaching of algebra did not lead to skilled performance among algebra students […]. Nor, according to the ample number of studies of the late 1970s and 1980s, ha[ve] such approaches led to students’ being able to interpret adequately the various ways in which letters are used in algebra […], or the structural features of algebraic expressions […], or equivalence constraints on equations and equation solving […]. Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building meaning for symbols and their manipulation. In F. K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching 18

Vaardigheden + inzicht! basisvaardigheden alleen: werkt niet doel moet hoger liggen: basisvaardigheden + algebraïsch inzicht 19 flexibel met verschillende methodes (oef. 1 en 2) inzicht in de structuur van een uitdrukking (oef. 4 en 5) deeluitdrukkingen als een geheel zien (oef. 3 en 4) welke vorm is best: product of som? (oef. 5) je niet laten verleiden door aandachtstrekkers (oef. 3) …

Vaardigheden + inzicht! 1.techniek, begrip, … inzichtelijk aanbrengen 2.gedurende een korte tijd directe oefeningen maken 3.oefenen combineren met versterken van inzicht 20 VANDAAG!

Wat kunnen we je bieden? een menu met veel kleine gerechtjes! 21

Wat we je al geboden hebben gevarieerd oefenen oef. 1 en 2: rechthoeksmodel voor vermenigvuldigen oef. 3: band tussen getallen en algebra oef. 4 en 5: inzicht in structuur van een uitdrukking oef. 5: omkeeroefeningen 22

Werktekst 2 Omkeervragen Slimme rijtjes niet de ‘opgaven’ in de kadertjes, wel de vraagjes hierover onder de kadertjes! Verrassende resultaten

Formules, regels, …

Rekenregels die nuttig zijn 25

Rekenregels die nuttig zijn Haakjes wegwerken is soms nuttig, maar soms ook niet. moet een optie zijn mag geen automatisme worden breng dit aan met voorbeelden waaruit de nuttigheidswaarde blijkt oefen dit in in situaties waarin het nuttig is 26

Rekenregels die nuttig zijn 27

Optellen van breuken? 28

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules 29

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules Ken je nog voorbeelden? tabellen met tekenverloop van een algemene tweedegraadsfunctie  laat leerlingen de 6 types grafieken onthouden…  … en het tekenverloop (en nog veel meer) daaruit afleiden… 30

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules 31

Van abstract terug kunnen gaan naar concreet inzichtelijk aanbrengen: van concreet naar abstract bij oefenen: verband abstract - concreet levendig houden (zie werktekst 1) bij twijfel: van abstract terug kunnen gaan naar concreet verschillende vormen  zien  sprekende voorbeelden  narekenen …… 32

Formules zien bij het aanbrengen bij het oefenen bij twijfel op een poster in de klas? op het formularium?

Formules zien

Sprekende voorbeelden 36

Formules narekenen 37

Proces versus object 38

Werktekst 3 Oplossingen van een vergelijking zien Tweedegraadsvergelijkingen oplossen … 39

Vergelijkingen

Los komen van standaardoplossingen (plan B) 41

Niet te snel en niet teveel verkorten beter … dan overbrengingsregels die de betekenis verdoezelen van wat je doet  van beide leden … aftrekken  beide leden van een vergelijking delen door …  van beide leden de … macht nemen  van beide leden de logaritme nemen  op beide leden de exponentiële functie toepassen beter rijherleiden van stelsels dan spilmethode 42

Twee vraagstukjes vertegenwoordigers van de verschillende Belgische gewesten waren aanwezig op een congres over euthanasie. Er waren 3 keer zoveel Vlamingen als Brusselaars, en 16 Walen minder dan Vlamingen. Hoeveel vertegenwoordigers had elk gewest op het congres? 2.Een lagere school telt 345 leerlingen. Op de schoolsportdag konden ze kiezen tussen in-line skaten, zwemmen en een fietstocht. Er kozen twee keer zoveel leerlingen voor in-line skaten dan voor de fietstocht, en er kozen 30 leerlingen minder om te gaan zwemmen dan voor in-line skaten. Als je nu weet dat er 120 leerlingen gingen zwemmen, hoeveel gingen er dan mee in-line skaten, en hoeveel kozen voor de fietstocht? 43

Twee vraagstukjes 1.… 2.Een lagere school telt 345 leerlingen. Op de schoolsportdag konden ze kiezen tussen in-line skaten, zwemmen en een fietstocht. Er kozen twee keer zoveel leerlingen voor in-line skaten dan voor de fietstocht, en er kozen 30 leerlingen minder om te gaan zwemmen dan voor in-line skaten. Als je nu weet dat er 120 leerlingen gingen zwemmen, hoeveel gingen er dan mee in-line skaten, en hoeveel kozen voor de fietstocht? 44

Zijn variabelen en vergelijkingen nuttig? basisonderwijs: ‘rekenkundige oplossingsmethoden’, bv. terugrekenen secundair onderwijs: algebraïsche oplossingsmethoden overgang kan beter  voor sommige vraagstukken zijn rekenkundige methoden prima  voor andere vraagstukken is algebra beter (sneller, routine i.p.v. inventiviteit, …)  wees flexibel  waardeer rekenkundige methoden…  … maar laat de voordelen van algebra zien: zoek problemen waar algebra echt nuttig is en laat leerlingen hierover nadenken, zie bv. werktekst in syllabus 45

Zijn variabelen en vergelijkingen nuttig? There is a stage in the curriculum when the introduction of algebra may make simple things hard, but not teaching algebra will soon render it impossible to make hard things simple. Tall, D., Thomas, M. (1991). Encouraging versatile thinking in algebra using the computer. Educational Studies in Mathematics 22, 125–147. simple things hard  er is een serieuze drempel die overschreden moet worden hard things simple  algebra maakt veel mogelijk voor wie het begrijpt 46

Globaal kijken naar uitdrukkingen 47

Voorbeeld 1 48

Voorbeeld 2 49

Voorbeeld 3 50

Voorbeeld 4 51

Algebra expressies op 52

Slot we kunnen niet alle problemen zelf oplossen, wel ons steentje bijdragen door in te zetten op het combineren van basisvaardigheden met het werken aan algebraïsch inzicht. Een menu met veel kleine gerechtjes  Variatie in de vraagstelling, Omkeervragen, Slimme rijtjes, Kunnen weerstaan aan aandachtstrekkers, Uitdrukkingen als een object kunnen zien, Rekenregels moeten functioneel zijn, Spaarzaam zijn met formules, Van abstract terug naar concreet, Globaal kijken naar uitdrukkingen, Algebra inzetten om patronen te beschrijven, Vergelijkingen interpreteren met grafieken, Loskomen van standaard- oplossingsmethoden, Niet te snel en niet teveel verkorten,  En ook nog: Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig, Niet alleen successen maar ook mislukkingen, Geregeld oefenen, Ook bij andere onderwerpen algebra oefenen, … 53

Bedankt voor uw aandacht!

Weer nuttige algebra een uitdrukking beschrijft een patroon (ook hiervan zijn er zeker nog voorbeelden bij Martin te vinden) 4 is eerder voor de derde graad, ook interpreteren met groeifactoren (-20% en dan +25% neutraliseert) hier zeker ook de applet gebruiken met de patronen voor de eerste graad 55

Werkmoment 2 (waarin al een aantal hints zitten 56

Globaal kijken naar uitdrukkingen eerste en vierde bolletje: hier bv. verwijzen naar algebra pijlen hier beginnen met de voorbeelden geven van vergelijkingen en afgeleiden en integralen 57