Relativiteitstheorie (3) H.A. Lorentz

Tot nu toe… De lichtsnelheid c is onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer t.o.v. de bron. Consequentie: de gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen is relatief, d.w.z. twee waarnemers die t.o.v. elkaar bewegen zullen er verschillend over oordelen. Kan je harder gaan dan de lichtsnelheid?

Kinetische energie De kinetische energie K van een voorwerp met massa m en snelheid v is Hoe kan je een voorwerp versnellen? Een deeltje met een elektrische lading, zoals een elektron, kan je versnellen met een elektrisch veld.

CERN - Geneve

Energie en snelheid Het blijkt experimenteel dat de energie van een electron onbeperkt kan worden opgevoerd in een versneller. Maar v 2 blijkt alleen lineair te zijn met de energie K als v<<c. Het lijkt alsof de massa van het elektron steeds groter wordt, en het daardoor steeds moeilijker kan worden versneld. Als je de energie van het elektron laat toenemen kruipt z’n snelheid langzaam naar de lichtsnelheid toe. Blijkbaar is c de maximale snelheid die een deeltje kan bereiken. c 2c 2 theorie: experiment

Twee waarnemers Een waarnemer is iemand met ‘bij zich’ de oorsprong O van een coördinatensystem en zijn eigen klok. We beschouwen steeds twee waarnemers, S en S’, die t.o.v. elkaar bewegen: Waarnemer S’ beweegt met een snelheid v t.o.v. S naar rechts (d.w.z. langs de x-as). Hoe ‘vertaal’ je de tijd en ruimte metingen van S naar die van S’? x y z O S t x’ y’ z’ O’ S’ t’ v m/s

Twee waarnemers (2) Neem aan dat op t = 0 de twee oorsprongen O en O’ samenvallen. De ‘vertaling’ van de tijd en ruimte metingen die S en S’ doen ligt voor de hand: t = t ’ z = z’ y = y’ Maar S’ gaat per seconde v meter naar rechts, dus de x’ as verschuift v t meter in t secondes t.o.v. de x as, dus: x = x’-v t x y z O S t x’ y’ z’ O’ S’ t’ v m/s

Michelson-Morley (1) Maar hoe verhoudt deze ‘vertaling’ zich tot de uitkomst van het Michelson-Morley experiment? Op t = 0 flitst een lichtbron in O = O’. Beide waarnemers zien een bolgolf die zich uitbreidt met voor hen dezelfde snelheid c. Dit kunnen we wiskundig beschrijven. R x y R x y z De vergelijking voor een cirkel met straal R volgt uit de stelling van Pythagoras: x 2 +y 2 =R 2 Idem is de vergelijking voor een bol met straal R: x 2 +y 2 +z 2 =R 2

Michelson-Morley (2) Beide waarnemers zien een bolgolf die zich uitbreidt met snelheid c. De straal R van de bol is dus na t seconden gelijk aan c t. R = c t x y z De vergelijking voor een zich uitbreidende bolgolf is dus voor S x 2 +y 2 +z 2 =c 2 t 2 (1) Maar S’ ziet ook een bolgolf die zich met dezelfde snelheid uitbreidt: x’ 2 +y’ 2 +z’ 2 =c 2 t ’ 2 (2) Wat gebeurt er nu als we de ‘vertaling’ van S’ naar S toepassen? t = t ’, z = z’, y = y’, x’ = x+v t in vgln. (2) gebruiken geeft (x+v t ) 2 +y 2 +z 2 =c 2 t 2, dus x 2 +v 2 t 2 +2xv t +y 2 +z 2 =c 2 t 2 (3) Als we nu vgln. (1) aftrekken van vgln. (3) krijgen we v t (2x+v t ) = 0. (4)

Michelson-Morley (3) v t (2x+v t ) = 0. (4) Voor een willekeurige waarde van x, v en t kan je niet aan vgl. (4) voldoen. De conclusie moet wel zijn dat onze ‘intuïtieve vertaling’ van metingen van S naar metingen van S’ niet werkt. M.a.w. het Michelson- Morley experiment dwingt je om een andere vertaling te zoeken. Dat is op zich niet vreemd: de uitkomst van het experiment leerde ons al dat onze intuïtieve opvatting over ruimte en tijd niet juist kan zijn.

De Lorentz transformatie Lorentz (en anderen) lieten zien dat de volgende coördinatentransformatie wèl werkt: x’ =  (x-v t ) y’ = y z’ = z t ’ =  ( t -vx/c 2 ) waarbij Ruimte en tijd worden nu gemengd : t ’ hangt af van t én van x! Als v << c, dan is  ≈ 1 en reduceert de Lorentz transformatie tot onze eerdere ‘intuïtieve’ vertaling. [Ga dit na.] Blijkbaar is die laatste alleen geldig voor lage snelheden. Als je de Lorentz transformatie gebruikt in vgln. (2), krijg je nu wel vgln. (1) terug. [Ga dit zelf na.] Kortom, de Lorentz transformatie is in overeenstemming met de resultaten van het Michelson-Morley experiment. Lorentz transformatie (4)

De Lorentz transformatie van afstanden (1) x’ =  (x-v t ); y’ = y; z’ = z; t ’ =  ( t -vx/c 2 ) [(4)] Vgln. (4) drukt een gebeurtenis in S (d.w.z. 4 coördinaten x,y,z,t) uit in een gebeurtenis in S’ (nl. de 4 coördinaten x’,y’,z’t’). Als we van S’ naar S toe willen, hoeven we alleen maar de snelheid v van teken te laten veranderen: x =  (x’+v t’ ); y = y’; z = z’; t =  ( t’ +vx’/c 2 ) (5) De samentrekking (‘contractie’) van lengtes Waarnemer S meet de lengte van een staaf die in zijn coördinatenstelsel stilligt. De staaf ligt langs de x-as. De lengte L = x 2 -x 1, als x 1 en x 2 de x-coördinaten van de twee uiteindes zijn (met x 2 > x 1, natuurlijk). Waarnemer S’, die een snelheid -v heeft t.o.v. S, ziet de staaf met snelheid +v langs de x-as bewegen. Omdat de staaf niet stilligt voor hem, is het van belang dat hij de posities van de beide uiteindes tegelijkertijd bepaalt (zeg op het tijdstip t ’).

De Lorentz transformatie van afstanden (2) Waarnemer S’ bepaalt dus twee gebeurtenissen: het ene uiteinde meet hij als x 1 ’, t 1 ’ (y 1 ’ = z 1 ’=0) en het andere uiteinde meet hij als x 2 ’, t 2 ’; waarbij, omdat beide metingen tegelijk plaatsvinden, t 1 ’ = t 2 ’. De door S’ gemeten lengte is L’ = x 2 ‘-x 1 ’. Nu gaan we m.b.v. de Lorentz transformatie de meting van S’ ‘vertalen’ naar de meting L = x 2 -x 1 die S gedaan heeft: x 1 =  (x 1 ’+v t 1 ’) (6) x 2 =  (x 2 ’+v t 2 ’) (7) Dus L = x 2 -x 1 =  (x 2 ’- x 1 ’) =  L’ oftewel L’ = L /  (8) M.a.w: waarnemer S’ vindt dat de voor hem bewegende staaf een factor  = 1-v 2 /c 2 korter is dan de lengte die S (voor wie de staaf stilligt) bepaald heeft.   Dit effect is de beroemde Lorentz contractie, die overigens nog niet direct experimenteel is aangetoond.

De Lorentz transformatie van tijdsduren (1)

De Lorentz transformatie van tijdsduren (2) Waarnemer S bepaalt een tijdsduur T door twee keer op een klok te kijken die voor hem in rust is. Hij registreert dus twee gebeurtenissen, namelijk x 1, t 1 en x 2, t 2. Omdat de klok vanuit S gezien stilstaat, is x 1 = x 2. De door S gemeten tijdsduur is T = t 2 - t 1. (met t 2 > t 1 natuurlijk) Waarnemer S’ ziet dat de klok een snelheid v heeft. We kunnen weer met de Lorentz transformatie de meting van S vertalen naar de tijdsduurmeting T’ = t 2 ’- t 1 ’ die S’ doet: t 1 ’ =  ( t 1 -vx 1 /c 2 ) (9) t 2 ’ =  ( t 2 -vx 2 /c 2 ) (10) Dus T’ = t 2 ’ - t 1 ’ =  ( t 2 - t 1 ) =  T  Oftewel T = T ’/  (11) M.a.w: waarnemer S’ vindt dat de voor hem bewegende klok van S langzamer loopt dan zijn eigen stilstaande klok.  Dit effect wordt tijdsdilatatie (‘tijdsuitrekking’) genoemd.

De tijdsdilatatie getest In tegenstelling tot de Lorentz contractie, wordt tijdsdilatatie dagelijks experimenteel geverifieerd in bijv. deeltjesversnellers zoals CERN. Zgn.   mesonen (‘pionen’) zijn elementaire deeltjes die een gemiddelde levensduur hebben van 2, s. [Daarna vervallen ze in een   meson en een neutrino.] Als je een pion versnelt tot een zeer hoge energie dan zal zijn ‘interne klok’ langzamer gaan lopen. De levensduur van zo’n snel pion zal dan ook langer zijn dan die van een pion in rust.  Het is gelukt om ‘snelle’ pionen te maken die keer langer leven, nl. gemiddeld s. Deze waarde is precies in overeenstemming met de voorspelling van de relativiteitstheorie.

Tot nu toe… De lichtsnelheid c blijkt experimenteel de uiterste snelheid te zijn tot welke je een deeltje kunt versnellen. Wel kan je de energie van het deeltje blijven opvoeren. De ‘intuïtieve’ vertaling van de tijd en ruimte metingen van twee waarnemers die t.o.v. elkaar bewegen is alleen geldig als hun onderlinge snelheid laag is (<<c). Bij hogere snelheden moet je de Lorentz transformatie gebruiken. Deze is wél in overeenstemming met het Michelson- Morley experiment. Het is een direct gevolg van de Lorentz transformatie dat a) bewegende voorwerpen ‘krimpen.’ (lengte contractie) b) bewegende klokken langzamer lopen (tijdsdilatatie) De tijdsdilatatie is uitgebreid geverifieerd.