havo B Samenvatting Hoofdstuk 3

Algebraïsch oplossen van kwadratische vergelijkingen 1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule 3.1

1 x² = getal x = √getal v x = -√getal vb.1 x² = 7 x = √7 v x = -√7 x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen vb.3 (x + 5)² = 16 x + 5 = √16 v x + 5 = -√16 x + 5 = 4 v x + 5 = -4 x = 4 – 5 v x = -4 – 5 x = -1 v x = -9 a x² = positief getal 2 oplossingen b x² = 0 x = 0  1 oplossing c x² = negatief getal k.n.  geen oplossing 3.1

2 Ontbind in factoren prod=+15 +1 +15 -1 -15 +3 +5 -3 -3 -5 -5 a Maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen. b Vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk. c Ontbind het linkerlid in factoren. d A · B = 0  A = 0 v B = 0 voorbeeld1 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 ad a prod=+15 opgeteld = -8 ad b +1 +15 ad c product = +15 -1 -15 ad d +3 +5 ad d -3 -3 -5 -5 3.1

3 De abc-formule Bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt. De vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen. x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 3.1

GR 1 y1 = x2 en y2 = 10 plotten  intersect coördinaten v/h snijpunt 2 optie x√ gebruiken Wortels x² = 10 x = √10 v x = -√10 Kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen. √10 = 2√10 √10 = 10 √10 ≈ 3,16 (√10)² = 10 3.2

1 p is positief ( n = oneven ) er is één oplossing x = p = n√p Grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0). 1,44 x³ = 3 x = 3 x ≈ 1,44 3.2

2 p is negatief ( n = oneven ) er is één oplossing x = p = n√p -1,44 3.2

3 p is positief ( n = even ) er zijn twee oplossingen x = p = n√p v x = -p = - n√p x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32 n = even Grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as. -1,32 1,32 3.2

4 p is negatief ( n = even ) er zijn geen oplossingen x4 = -3 x = -3¼ x = kn 3.2

De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1 algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = 3 prod = -3 +1 +1 -3 -3 -1 +3 3.3

2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) De oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y1 = x² en y2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 3.3

Grafisch-numeriek y 10 y1 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 3 4 x -2 y2 -4 x² = 2x + 3 y1 = x² y2 = 2x + 3 optie intersect x = -1 v x = 3 6 4 2 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 3 4 x -2 y2 -4 -6 3.3 13

Los algebraïsch op y f x g x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 Werkschema bij het oplossen van ongelijkheden Schets de grafieken van f en g. Los de vergelijking f(x) = g(x) op. Lees uit de schets de oplossingen af. Los algebraïsch op y x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 f Lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g. x -1 3 g 3.4

Los op y y1 x y2 x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet algebraïsch te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen. Los op y x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² y2 = 3x - 4 optie intersect x ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56 aflezen uit de schets -1,56 < x < 1 v x > 2,56 y1 1 -1,56 2,56 x Lees het antwoord af op de x-as f(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g. y2 3.4