Cirkelbaan en gravitatiekracht Samenvatting

10 Zonnestelsel Zonnestelsel Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Zonnestelsel In ons zonnestelsel draaien de planeten in een baan rond de zon, en draaien de manen in een baan rond hun planeet. De baan van de planeten en manen is een ellipsbaan die maar heel weinig afwijkt van een cirkelbaan. Ellipsbaan Figuur 1

10 Zonnestelsel Eenparige cirkelbeweging Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Eenparige cirkelbeweging De planeten en manen in ons zonnestelsel voeren bij benadering een eenparige cirkelbeweging uit. Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging met een baansnelheid die steeds even groot is. De richting van de baansnelheid is volgens de raaklijn aan de cirkel. Bij een eenparige cirkelbeweging wordt het verband tussen baansnelheid 𝑣, baanstraal 𝑟 en omlooptijd 𝑇 gegeven door: 𝒗= 𝟐𝛑∙𝒓 𝑻 De baansnelheid verandert voortdurend van richting. Figuur 2

10 Zonnestelsel Eenparige cirkelbeweging Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Eenparige cirkelbeweging Voor een eenparige cirkelbeweging is een naar het middelpunt van de cirkelbaan gerichte kracht nodig: de middelpuntzoekende kracht. De grootte van de benodigde middelpuntzoekende kracht 𝐹 mpz hangt af van de massa 𝑚, de baansnelheid 𝑣 en de baanstraal 𝑟: 𝑭 𝐦𝐩𝐳 = 𝒎∙ 𝒗 𝟐 𝒓 Voor een eenparige cirkelbeweging is een middelpuntzoekende kracht nodig. Figuur 3

10 Zonnestelsel Gravitatiekracht Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Gravitatiekracht Bij de cirkelbeweging van planeten rond de zon en van manen rond een planeet werkt de gravitatiekracht als middelpuntzoekende kracht. De gravitatiekrachten die twee voorwerpen op elkaar uitoefenen zijn even groot en tegengesteld gericht langs de verbindingslijn tussen de middelpunten van de voorwerpen. De grootte van de gravitatiekracht 𝐹 g hangt af van de massa’s 𝑚 en 𝑀 van de voorwerpen en hun onderlinge afstand 𝑟: 𝑭 𝒈 =𝑮∙ 𝒎∙𝑴 𝒓 𝟐 In deze formule is 𝐺 de gravitatieconstante. De gravitatiekracht werkt als middelpuntzoekende kracht. Figuur 4 De gravitatiekrachten die twee voorwerpen op elkaar uitoefenen zijn even groot en tegengesteld gericht. Figuur 5

10 Zonnestelsel Valversnelling Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Valversnelling Het aan elkaar gelijkstellen van de formules voor de zwaartekracht en de gravitatiekracht levert het verband tussen de valversnelling 𝑔 aan het oppervlak en de massa 𝑀 en straal 𝑅 van een planeet of maan: 𝑭 𝒛 = 𝑭 𝒈 →𝒈=𝑮∙ 𝑴 𝑹 𝟐 Deze formule hoef je niet te kennen: als je deze formule nodig hebt, kun je hem eenvoudig afleiden. De gravitatiekracht is de zwaartekracht. Figuur 6

10 Zonnestelsel Baansnelheid Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Baansnelheid Het aan elkaar gelijkstellen van de formules voor de middelpuntzoekende kracht en de gravitatiekracht levert het verband tussen baanstraal 𝑟 en baan- snelheid 𝑣 van planeten rond de zon met massa 𝑀: 𝑭 𝒎𝒑𝒛 = 𝑭 𝒈 → 𝒗 𝟐 ∙𝒓=𝑮∙𝑴 Deze formule hoef je niet te kennen: als je deze formule nodig hebt, kun je hem eenvoudig afleiden. De formule geldt ook voor de beweging van manen rond hun planeet, maar dan is 𝑀 de massa van de planeet. De gravitatiekracht werkt als middelpuntzoekende kracht. Figuur 7 De baansnelheid 𝑣 van de planeten in ons zonnestelsel is omgekeerd evenredig met de wortel uit de baanstraal 𝑟. Figuur 8

10 Zonnestelsel Geostationaire baan Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Geostationaire baan Een satelliet in een geostationaire baan staat stil ten opzichte van het aardoppervlak. De omlooptijd van een satelliet in een geostationaire baan is gelijk aan de tijd waarin de aarde eenmaal rond zijn draai-as draait (zo’n 24 uur). Dat is het geval bij een baanstraal van zo’n 42∙ 10 3 km. Het baanvlak van de satelliet staat loodrecht op de draai-as van de aarde. Geostationaire baan Figuur 9

10 Zonnestelsel Gravitatie-energie Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Gravitatie-energie Een voorwerp onder invloed van de gravitatiekracht heeft gravitatie-energie. De gravitatie-energie is gelijk aan de arbeid die de gravitatiekracht verricht tijdens het vallen naar het oppervlak van een hemellichaam. Het nulpunt van de gravitatie-energie is gekozen op een oneindig grote afstand van het hemellichaam, en daardoor is de gravitatie-energie altijd negatief. De grootte van de gravitatie-energie 𝐸 g hangt af van de massa’s 𝑚 en 𝑀 van de voorwerpen en hun onderlinge afstand 𝑟: 𝑬 𝐠 =−𝑮∙ 𝒎∙𝑴 𝒓 In deze formule is 𝐺 de gravitatieconstante. De arbeid 𝑊 Fg van de gravitatiekracht 𝐹 g is te bepalen uit het 𝐹 g ,𝑟-diagram Het nulpunt van de gravitatie-energie 𝐸 g ligt op een oneindig grote afstand 𝑟

10 Zonnestelsel Ontsnappingssnelheid Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting Ontsnappingssnelheid De snelheid die een voorwerp aan het oppervlak van een hemellichaam moet krijgen om aan de gravitatiekracht te ontsnappen (dus: om tot op een oneindige grote afstand van het hemellichaam te komen) is de ontsnappingssnelheid. De grootte van de ontsnappingssnelheid 𝑣 0 hangt af van de massa 𝑀 en de straal 𝑅 van het hemellichaam: 𝒗 𝟎 = 𝟐∙𝑮∙𝑴 𝑹 In deze formule is 𝐺 de gravitatieconstante. Deze formule hoef je niet te kennen: als je deze formule nodig hebt, kun je hem eenvoudig afleiden uit de wet van behoud van mechanische energie. De formule voor 𝑣 0 volgt uit de wet van behoud van mechanische energie, met 𝐸 k + 𝐸 g =0 op een oneindig grote afstand 𝑟 Figuur 12