Les 4 Bronnen van magnetische velden Elektriciteit 2 Les 4 Bronnen van magnetische velden

Bronnen van magnetische velden H o o f d s t u k 28 Magnetisch veld als gevolg van een rechte draad Kracht tussen twee evenwijdige draden Definities van de Ampère en de Coulomb De wet van Ampère 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.1 Magnetisch veld als gevolg van een rechte draad In paragraaf 27.2 werd besproken dat het magneetveld rond een rechte draad cirkelvormige veldlijnen realiseert met de draad als centrum en georiënteerd volgens de RHR. Het is te verwachten dat B toeneemt met I en afneemt met de afstand r tot de draad. Nauwkeurige experimenten tonen aan: Men kiest als evenredigheidsconstante: met Dus: (28.1) FIGUUR 28.1 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.1 Magnetisch veld als gevolg van een rechte draad Voorbeeld 28.1 berekenen in de buurt van een draad Door een elektrische draad in de wand van een gebouw loopt een gelijkstroom van 25 A. Hoe groot is de magnetische inductie B in het punt P 10 cm noordelijk van de draad, en wat is zijn richting? Aanpak Veronderstel dat de draad veel langer is dan 10 cm. Oplossing FIGUUR 28.2 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.1 Magnetisch veld als gevolg van een rechte draad Voorbeeld 28.2 Magnetische inductie midden tussen twee stromen Door twee evenwijdige draden die 10 cm van elkaar verwijderd zijn lopen stromen in tegengestelde richting (fig. 28.3). I1=5,0 A en I2=7,0 A. Bereken de grootte en de richting van de magnetische inductie B halverwege tussen de twee draden. Aanpak Bepaal de vectorsom van de velden van de afzonderlijke stromen. [Superpositie] Oplossing FIGUUR 28.3 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.1 Magnetisch veld als gevolg van een rechte draad Conceptvoorbeeld 28.3 Magnetisch veld als gevolg van vier draden In fig. 28.4 zijn vier lange evenwijdige draden weergegeven waardoor gelijke stromen in of uit het bord lopen. In welke configuratie is de inductie in het middelpunt van het vierkant het grootst? Antwoord (a) FIGUUR 28.4 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.2 Kracht tussen twee evenwijdige draden Een draad waardoor een stroom loopt wekt een magneetveld op. Een stroomvoerende draad ondervindt een kracht in een magneetveld. Het is te verwachten dat stroomvoerende draden ook een kracht op elkaar uitoefenen. Om te bepalen welke kracht de stroomvoerende draden op elkaar uitoefenen, veronderstellen we twee lange evenwijdige stroomvoerende geleiders. 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.2 Kracht tussen twee evenwijdige draden We duiden de onderlinge afstand tussen de draden aan met d en de stromen met I1 en I2. We berekenen de kracht F2 die de tweede draad ondervindt vanwege de eerste. Deze kracht gaat uit van het veld opgewekt door de eerste draad ter hoogte van de tweede. Voor de grootte van de kracht op het stuk met lengte geldt: Dus: (28.2) FIGUUR 28.5 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.2 Kracht tussen twee evenwijdige draden We duiden de onderlinge afstand tussen de draden aan met d en de stromen met I1 en I2. De oriëntatie van de kracht volgt uit de RHRs: Het veld wijst in het bord [RHR1]. De conventionele stroomzin is opwaarts. De kracht wijst naar links [RHR2].  Evenwijdige stromen in dezelfde richting trekken elkaar aan. Voor de grootte van de kracht op het stuk met lengte geldt: (28.2) FIGUUR 28.5 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.2 Kracht tussen twee evenwijdige draden Wat als de stroomzin in de tweede draad omkeert? Het veld wijst in het bord [RHR1]. De conventionele stroomzin is neerwaarts. De kracht wijst naar rechts [RHR2].  Evenwijdige stromen in tegengestelde richting stoten elkaar af. FIGUUR 28.6 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.2 Kracht tussen twee evenwijdige draden Voorbeeld 28.4 Kracht tussen twee stroomvoerende draden De twee draden van een 2,0 m lang netsnoer bevinden zich 3,0 mm van elkaar en geleiden een gelijkstroom van 8 A. Bereken de kracht die een draad uitoefent op de andere. Aanpak De draden voelen elkaars veld. Er geldt: (28.2) Oplossing 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.2 Kracht tussen twee evenwijdige draden 870 3. Door twee elkaar haaks kruisende lange geïsoleerde draden loopt een gelijke stroom I. Beschrijf de magnetische kracht die de ene draad uitoefent op de andere. 8-4-2017 - Hoofdstuk 27 - Magnetisme

28.2 Kracht tussen twee evenwijdige draden Voorbeeld 28.5 Een draad zwevend houden met behulp van een stroom Door een horizontale draad loopt een gelijkstroom I1 = 80 A. Door een tweede evenwijdige draad 20 cm er onder (fig. 28.7) loopt ook een stroom. Hoe groot moet deze stroom I2 zijn, zodanig dat deze draad niet valt als gevolg van de zwaartekracht? Aanpak De magnetische kracht moet de zwaartekracht compenseren. Oplossing FIGUUR 28.7 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.3 Definities van de ampère en de coulomb De eenheid ampère wordt gedefinieerd in termen van de kracht op twee evenwijdige stroomvoerende geleiders. (28.2) Als is de kracht per lengte-eenheid:  Een ampère is die stroom die loopt door elk van twee lange evenwijdige draden die 1m van elkaar zijn verwijderd, die een kracht oplevert van exact 2 x10-7 N per meter lengte van de draad. FIGUUR 28.6 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.3 Definities van de ampère en de coulomb De eenheid ampère wordt gedefinieerd in termen van de kracht op twee evenwijdige stroomvoerende geleiders.  Een ampère is die stroom die loopt door elk van twee lange evenwijdige draden die 1m van elkaar zijn verwijderd, die een kracht oplevert van exact 2 x10-7 N per meter lengte van de draad.  De coulomb wordt gedefinieerd als die hoeveelheid lading die in 1 s getransporteerd wordt door een stroom van 1 A. FIGUUR 28.6 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.4 De wet van Ampère Welk algemeen verband bestaat er tussen een stroom in een draad van een willekeurige vorm en het magneetveld daaromheen? Dit verband werd beredeneerd door Ampère op grond van een willekeurig gesloten pad dat een stroomvoerende rechte geleider omsluit: verdeel het pad in korte segmenten met lengte vermenigvuldig elke lengte met de lokale component van evenwijdig met het segment: tel alle termen samen… FIGUUR 28.8 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

28.4 De wet van Ampère Welk algemeen verband bestaat er tussen een stroom in een draad van een willekeurige vorm en het magneetveld daaromheen? tel alle termen samen… Hierin moet zo klein zijn dat constant is over . De formulering is dus enkel correct in de limiet : De wet van Ampère (28.3) FIGUUR 28.8 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden

Conceptvoorbeeld 28.14 Bewijs van de wet van Ampère Bewijs de wet van Ampère in het geval dat een willekeurige vlakke lus een rechte stroomvoerende geleider omsluit in het vlak loodrecht op de geleider. Heeft de richting van de oneindig kleine lengtevectoren invloed op de formulering van de wet? Aanpak Zie lesnota’s. Besluit De richting van de vectoren is via de RHR gekoppeld aan de conventionele stroomzin in de ingesloten geleider. De wet van Ampère (28.3) 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 18

referentiezin stromen 28.4 De wet van Ampère Algebraïsche uitbreiding van de wet van Ampère Wat als meerdere stromen omsloten worden? Kies de richting van (de omloopszin van de lijnintegraal) vrij en tel de stromen algebraïsch op: De wet van Ampère (28.3) referentiezin stromen omloopszin leid de referentiezin voor de stromen via de RHR af uit de omloopszin tel een stroom positief als zijn stroompijl samenvalt met die referentiezin tel een stroom negatief als zijn stroompijl tegengesteld is aan die referentiezin 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 19 19

Voorbeeld 28.6 Veld binnen en buiten een draad 28.4 De wet van Ampère Voorbeeld 28.6 Veld binnen en buiten een draad Een lange rechte cilindrische geleidende draad met straal R geleidt een stroom I die in de geleider een homogene stroomdichtheid heeft. (fig. 28.11). Bereken de magnetische inductie B als gevolg van deze stroom: (a) in punten buiten de geleider en (b) in punten binnen de geleider. Aanpak Gebruik de wet van Ampère en let daarbij op de symmetrie. FIGUUR 28.11 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 20

Voorbeeld 28.6 Veld binnen en buiten een draad 28.4 De wet van Ampère Voorbeeld 28.6 Veld binnen en buiten een draad Een lange rechte cilindrische geleidende draad met straal R geleidt een stroom I die in de geleider een homogene stroomdichtheid heeft. (fig. 28.11). Oplossing FIGUUR 28.11 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 21

Conceptvoorbeeld 28.7 Coaxiale kabel 28.4 De wet van Ampère Conceptvoorbeeld 28.7 Coaxiale kabel Een coaxiale kabel bestaat uit een draad omgeven door en cilindrische gevlochten metalen huls (fig. 28.12). De geleiders zijn gescheiden door een isolator. Bereken de magnetische inductie B als gevolg van de stroom in de kabel: (a) in punten tussen de geleiders en (b) in punten buiten de kabel. Aanpak Zie lesnota’s. FIGUUR 28.12 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 22

? 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 23

27.4 Kracht op een lading die in een magneetveld beweegt Oplossingsstrategie De wet van Ampère 1. De wet van Ampère is net als de wet van Gauss altijd geldig, maar enkel bruikbaar bij systemen met symmetrie. Herken de symmetrie. 2. Kies een gesloten integratiepad dat aansluit bij de symmetrie, en door het punt gaat waar je wil bepalen. 3. Gebruik de symmetrie om richting van langs het pad te bepalen. Door een slimme keuze van het pad zal ofwel evenwijdig liggen ofwel loodrecht staan op het pad. 4. Bereken de omsloten stroom. Let op de tekens; werk algebraïsch. 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 24 24

28.5 Magneetveld van een solenoïde Een lange draadspoel met veel lussen wordt een solenoïde genoemd. De veldverdeling tussen de lussen is voorspelbaar: Dicht bij de draden geldt de veldverdeling van een rechte draad. Binnen de spoel versterken de velden van de verschillende lussen elkaar. Tussen de draden werken de velden van naburige lussen elkaar tegen. FIGUUR 28.15 Globaal volgt het veld de as en is de richting ervan met de RHR uit de conventionele stroomzin af te leiden. 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 25 25

8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 26

28.5 Magneetveld van een solenoïde Een lange draadspoel met veel lussen wordt een solenoïde genoemd. Voor een oneindig lange, dicht gewikkelde spoel is het interne veld homogeen en het uitwendige veld nagenoeg nul. FIGUUR 28.15 De magnetische inductie volgt dan uit de wet van Ampère. 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 27 27

28.5 Magneetveld van een solenoïde Herken de symmetrie van het veld: homogeen veld parallel met de as. Kies de lus aansluitend bij de symmetrie: rechthoek abcd. FIGUUR 28.16 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 28 28

28.5 Magneetveld van een solenoïde Herken de symmetrie van het veld: homogeen veld parallel met de as. Kies de lus aansluitend bij de symmetrie: rechthoek abcd. referentiezin voor de omsloten stroom FIGUUR 28.16 [Solenoïde] (28.4) 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 29 29

28.5 Magneetveld van een toroïde Voorbeeld 28.10 Toroïde (torus) Gebruik de wet van Ampère om het magnetisch veld te bepalen (a) in punten binnen de toroïde en (b) in punten buiten de toroïde. (fig. 28.17a) Aanpak Volg de oplossingsstrategie. 1. Herken de symmetrie. 2. Kies integratiepad. 3. Werk het skalair product uit. 4. Bepaal (algebraïsch) de omsloten stroom. FIGUUR 28.17 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 30

28.6 De wet van Biot-Savart In het geval de stroomverdeling niet symmetrisch is, is de wet van Ampère niet bruikbaar om te bepalen in een punt P. Biot en Savart ontwikkelden een wet die de tegenhanger is van de elektrische wet van Coulomb. Verdeel de stroomvoerende geleider in stroomelementen gericht volgens de conventionele stroomzin. De bijdrage van elk stroomelement tot de inductie in P is dan: De wet van Biot-Savart (28.5) FIGUUR 28.18 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 31 31

28.6 De wet van Biot-Savart In het geval de stroomverdeling niet symmetrisch is, is de wet van Ampère niet bruikbaar om te bepalen in een punt P. Biot en Savart ontwikkelden een wet die de tegenhanger is van de elektrische wet van Coulomb. De wet van Biot-Savart (28.5) (28.6) FIGUUR 28.18 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 32 32

Voorbeeld 28.11 als gevolg van een stroom I in een rechte draad 28.6 De wet van Biot-Savart Voorbeeld 28.11 als gevolg van een stroom I in een rechte draad Toon aan dat de wet van Biot-Savart voor het veld in de buurt van een lange rechte draad waardoor een stroom I loopt hetzelfde resultaat oplevert als de wet van Ampère: Aanpak Bereken het -veld in P op loodrechte afstand R van een oneindig lange draad. FIGUUR 28.19 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 33

Voorbeeld 28.11 als gevolg van een stroomlus 28.6 De wet van Biot-Savart Voorbeeld 28.11 als gevolg van een stroomlus Bepaal voor punten op de as van een cirkelvormige draadlus met straal R waardoor een stroom I loopt. (fig. 28.20) Aanpak Bereken het -veld in P op afstand x van het middelpunt van de ring. Oplossing FIGUUR 28.20 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 34

28.6 De wet van Biot-Savart Een stroomlus wordt beschouwd als een magnetische dipool en gekenmerkt door een magnetisch dipoolmoment: Het veld van de dipool langs zijn as wordt dus bepaald door het dipoolmoment: (28.7a) (28.7b) FIGUUR 28.21 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 35 35

Voorbeeld 28.13 als gevolg van een draadsegment 28.6 De wet van Biot-Savart Voorbeeld 28.13 als gevolg van een draadsegment Een kwart van een cirkelvormige draadlus geleidt een stroom I zoals weergegeven in fig. 28.22. Bepaal het -veld in punt C. Aanpak De bijdrage van de rechte stukjes is nul. De bijdragen van de lijnelementjes van de cirkelboog zijn in het blad gericht en versterken elkaar. FIGUUR 28.22 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 36

28.7 Magnetische materialen; ferromagnetisme Bronnen van magneetvelden: stromen magnetische materialen opnametape, harde schijven, magneetstrips magneten ijzerkernen in elektromagneten, motoren en transformatoren Al deze toepassingen gebruiken ferromagnetische materialen. FIGUUR 28.24 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 37 37

B 28.7 Magnetische materialen; ferromagnetisme Kenmerken van ferromagnetische materialen zijn opgebouwd uit domeinen die zich als dipooltjes gedragen in de ongemagnetiseerde toestand zijn de domeinen willekeurig geordend in de gemagnetiseerde toestand zijn de domeinen voornamelijk in één richting gericht Magnetisch moment binnen een domein wordt veroorzaakt door de spinbeweging van de elektronen B FIGUUR 28.23 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 38 38

28.7 Magnetische materialen; ferromagnetisme Hoe wordt het veld opgebouwd door ferromagnetische materialen verklaard? ongemagnetiseerde toestand: de velden van de domeinen heffen elkaar op gemagnetiseerde toestand: de velden van de domeinen zijn de oorzaak van het globaal veld van de magneet FIGUUR 28.23 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 39 39

28.7 Magnetische materialen; ferromagnetisme Hoe wordt ferromagnetisch materiaal gemagnetiseerd? door een uitwendig veld veroorzaakt door een andere magneet of een spoel het uitwendig veld ordent de domeinen hun -vector kantelt naar de richting van toe de gunstig georiënteerde domeinen worden groter dit lukt maar onder de Curietemperatuur van het materiaal (1043 K voor Fe) FIGUUR 28.15 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 40 40

28.7 Magnetische materialen; ferromagnetisme Hoe wordt ferromagnetisch materiaal gemagnetiseerd? indien de stroom uitgeschakeld wordt blijft de orde enigszins bestaan – men bekomt een permanente magneet Hoe wordt ferromagnetisch materiaal gedemagnetiseerd? door de “wanorde” te herstellen: door opwarmen boven de Curietemperatuur van het materiaal (1043 K voor Fe) door de domeinen “door elkaar te schudden” door het te onderwerpen aan een veld in de omgekeerde richting FIGUUR 28.15 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 41 41

*28.8 Elektromagneten en solenoïdes - toepassingen Hoe worden sterke magnetische velden gemaakt? door een spoel te gebruiken in plaats van een draadlus door de spoel te vullen met ferromagnetisch materiaal: het veld is de som van het veld van de stroom en dat van het materiaal men spreekt van een elektromagneet Bij elektromagneten wil men via de stroom het veld in en uitschakelen. de kern wordt daarom uit “zacht ijzer” gemaakt: het is makkelijk te magnetiseren en te demagnetiseren. FIGUUR 28.25 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 42 42

*28.8 Elektromagneten en solenoïdes - toepassingen Principe van een deurbel: FIGUUR 28.26 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 43 43

*28.9 Magnetische velden in magnetische materialen; hysterese In een lange met lucht gevulde solenoïde heeft de inductie een grootte: Indien men een (ferro)magnetisch materiaal in de spoel stopt geldt: Men noteert voor het totaal veld in de spoel: 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 44 44

*28.9 Magnetische velden in magnetische materialen; hysterese In een toroïde gevuld met (ferro)magnetisch materiaal: FIGUUR 28.27 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 45 45

*28.9 Magnetische velden in magnetische materialen; hysterese In een toroïde gevuld met (ferro)magnetisch materiaal: verzadiging [alles geordend] FIGUUR 28.27 FIGUUR 28.28 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 46 46

*28.9 Magnetische velden in magnetische materialen; hysterese is geen constante. Hoe aflezen? A BA a FIGUUR 28.27 B0,A FIGUUR 28.28 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 47 47

*28.9 Magnetische velden in magnetische materialen; hysterese Indien men de stroom vanuit punt b terug op nul brengt, bereikt het materiaal punt c. (B=Brem) Om de inductie terug op nul te brengen moet men de stroomzin omkeren (punt d). Verder verhogen van de stroom in de omgekeerde richting leidt tot verzadiging (punt e). De stroom terug afbouwen tot nul leidt tot punt f. De stroom terug verhogen tot de oorspronkelijke waarde sluit de hysteresislus. Brem -Brem Werkpunten c en f = permanente magneet. FIGUUR 28.29 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 48 48

*28.9 Magnetische velden in magnetische materialen; hysterese Hard ijzer Zacht ijzer Brem -Brem FIGUUR 28.29 FIGUUR 28.30 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 49 49

*28.10 Paramagnetisme en diamagnetisme Niet-ferromagnetische materialen vallen uiteen in twee groepen: paramagnetische materialen diamagnetische materialen Er geldt nog steeds: Paramagnetische materialen Diamagnetische materialen Moleculen hebben een permanent dipoolmoment. In een uitwendig veld lijnen ze zich met dit veld op. versterkt . Moleculen hebben geen permanent dipoolmoment. In een uitwendig veld wordt een dipoolmoment geïnduceerd. verzwakt .  mr>1  mr <1 8-4-2017 - Hoofdstuk 28 - Bronnen van magnetische velden 50 50