Module ribCTH1 Construeren van een Tennishal Week 05 IBB Module ribCTH1 Construeren van een Tennishal Week 05 Studiejaar 2007 - 2008 Studiepunten 3 ECTS Bouwkunde / Civiele techniek

Toets hoekstaal Bepaal: Het zwaartepunt van de samengestelde ligger Het traagheidsmoment t.o.v. de y-as z 10 140 10 y 100

Oplossing 24,57 z 10 140 30,43 - 39,57 44,57 10 y 100

Oplossing A1 = 10 * 130 = 1300 A2 = 10 * 100 = 1000 Atotaal = 2300 Sy = 75 * 1300 + 5 * 1000 Z = 102500 / 2300 = 44,57 a1 = 75 – 44,57 = 30,43 a2 = 5 – 44,57 = -39,57

Oplossing Ieigen(1) = 1/12 * 10 * 1303 = 1830833,33 Iy = 1830833,33 + 30,432 * 1300 + 8333,33 + 39,572 * 1000 Iy = 4608731.93 mm4 = 461 * 104 mm4

Oplossing Sz = 5 * 1300 + 50 * 1000 y = 56500 / 2300 = 24,57 Samenvatting Zwaartepunt op (44.56,24.57) Iy = Iy = 4608731.93 mm4 = 461 * 104 mm4

Traagheidsmoment houten samengestelde ligger. A = b * x I = 2 * a2 * A x (a = e = uiterste vezelafstand) b

Voorbeeld - schuifspanning

Voorbeeld - schuifspanning Controleer de schuifspanning in de lijfplaten van het boven weergegeven samengesteld profiel. τ = Fd / (2h * d) = 2500 / (2 * 320 * 10) τ = 0,39 N/mm2 < 1 N/mm2, dus goed De dwarskracht wordt nagenoeg geheel door de lijfplaten opgenomen.

Voorbeeld - schuifspanning Het aantal draadnagels nodig voor de verbinding lijf – flens, als per nagel 0,2 kN toelaatbaar is . Fschuif = 0,39 * 10 * 5000 = 19,5 kN De nagels geven een verzwakking van 20%, dus Fpraktisch = 24 kN Het aantal nagels over de halve lengte is dan: 24 / 0,2 = 120 nagels. (gelijkmatig verdelen)

Sterkte Krachten: Krachten leiden tot spanningen Momenten Normaalkrachten Dwarskrachten Krachten leiden tot spanningen

Sterkte Bezwijkstadium Wanneer de spanningen groter worden dan de sterkte van het materiaal toelaat. Om bezwijken te voorkomen moet de sterkte van de constructie getoetst worden door de spanningen te berekenen op basis van de krachtsverdeling

Stijfheid Gebruiksstadium De vervorming van een constructie is afhankelijk van zijn stijfheid. Daarom worden er stijfheidseisen gesteld waaraan een constructie moet voldoen. Om vervormingen te voorkomen moet de constructie getoetst worden op zijn vervormingsgedrag van de op buiging belaste onderdelen.

Vervorming door buiging Vervormingen Elke krachtswerking in een constructie betekend per definitie dat er ook een vervorming optreedt. De weerstand tegen vervormingen van een constructie noemen we stijfheid. De volgende vier factoren bepalen de stijfheid van de constructie: 01. het constructiesysteem 02. de elasticiteit van het constructiemateriaal 03. de grootte van de doorsnede 04. de constructiehoogte

Vervorming door buiging F φ = hoekverandering ω = zakking A B Buigstijfheid EI in N/mm2 - φA φB zakkingslijn ω ωmax = (FL3) / 48EI

Vervorming door buiging Door een belasting zal; De as een verticale verplaatsing doormaken Deze zakking (ω) is op ieder punt te meten. De ligger-as zal buigen Bij de opleggingen ontstaan hoekverdraaiingen De constructie vervormt - φA φB ω

Vervorming door buiging Dwarsdoorsneden loodrecht op de ligger-as en evenwijdig aan elkaar x-as A Neutrale lijn Negatieve hoekverandering Positieve hoekverandering Positieve zakking ω Positief inwendig buigend moment M Dwarsdoorsneden loodrecht op de ligger-as maar niet evenwijdig aan elkaar z-as Iedere dwarsdoorsnede zal een klein beetje verdraaien en in de balk ontstaat een kromming. Door de kromming zal aan de bovenzijde druk en aan de onderzijde trek optreden. Door deze trek- en drukkrachten ontstaan momenten in de ligger.

Vervorming door buiging Verplaatsingen Hoekverandering Zakking Kromming vervorming

Vervorming door buiging Het verschil in verdraaiing is een maat voor de kromming. Er is een verband tussen de Verplaatsing De kromming Het moment De belasting

Vervorming door buiging Kinematische relatie Het verband tussen de verplaatsing en kromming Constitutieve relatie Het verband tussen kromming en moment Evenwichtsrelatie Het verband tussen moment en belasting

Kinematische relatie φ = - dw / dx Bij een gegeven zakking dw over een kleine afstand dx zal de ligger-as roteren over een kleine hoek. De rotatie draait tegen de positieve afspraak in. Dit verklaart het min-teken. Het verband tussen zakking en rotatie is dan: φ = - dw / dx

Kinematische relatie dφ = dx / R R = dx / dφ κ = 1/R = dφ / dx De kromtestraal R is afhankelijk van de kromming (κ). De kromming (κ) is weer afhankelijk is van de rotatiehoek φ. De kromtestraal over een kleine draaihoek over een kleine afstand wordt bepaald door: R = dx / dφ. dφ = dx / R R = dx / dφ κ = 1/R = dφ / dx dφ R Gedrukte bovenvezel. Lengte = dx - Δ dx - Δ Neutrale lijn Lengte = dx h Getrokken ondervezel Lengte = dx + Δ z dx + Δ dx

Kinematische relatie κ = 1 / R R (kromtestraal geeft aan hoe sterk de ligger gekromd is. Een grote R geeft een geringe kromming aan. De kromming wordt ook wel aan geduid met κ (kappa) Het verband tussen kromming en kromtestraal κ = 1 / R

Kinematische relatie Verband hoekverandering φ en de kromming. κ = dφ / dx en φ = - dω / dx κ = ((d * - dω) / dx) * 1 / dx Dus: κ = - d2ω / dx2

Kinematische relatie ε = κ * z dx / R = (dx + Δ) / (R + z) RΔ + Rdx = Rdx + zdx Δ = zdx / R ε(z) = Δl / l = Δ/x = zdx / Rdx = z / R = κ * z De rek op afstand z vanaf de neutrale lijn is is evenredig met de afstand tot de neutrale lijn. De mate waarin de rek toeneemt wordt bepaald door de kromming. Of het verband tussen verplaatsing en kromming is: ε = κ * z dφ R dx - Δ dx dx + Δ z dx

Constitutieve relatie Als de rek bekend is kan de spanning worden berekend dF = σ * dA dM = z * dF De som van alle vezelkrachten t.o.v. de neutrale lijn moet gelijk zij aan het inwendig moment in de ligger. M = EI * κ Wet van Hooke σ = E * ε

Constitutieve relatie Als de rek bekend is kan de spanning worden berekend. Wet van Hooke σ = E * ε Het produkt E * I wordt de buigstijfheid genoemd. Verband kromming en moment: M = EI * κ Kromming is rechtevenredig met de grootte van het moment

Evenwichtsrelatie q V M + dM M dx V + dV Verband tussen moment en belasting; d2M(x) / dx = dV(x) / dx = -qx

Buigingstheorie

Methode gereduceerde momentenvlak Wiskundig recept om de vervorming door buiging van de constructie te bepalen is dus: 01. Bepaal op basis van evenwicht de functie M(x) voor het inwendig moment van de ligger 02. Bepaal de hoekveranderingsfunctie (φ) 03. Bepaal de zakkingsfunctie (ω)

Methode gereduceerde momentenvlak

Eerste stelling gereduceerd momentenvlak Mmax = -F * L Mmax/EI = -FL / EI Oppervlakte: ½ F*L*L / EI 1e stelling (hoekverandering) φB = φA + opp. φB = φA – ½ FL2/EI. F φA = 0 A B L Mmax X-as M/EI-lijn

Tweede stelling gereduceerd momentenvlak φA = -dw/dx ωB = ωA - φAdx φ x ωB dω ωA φA z dx

Tweede stelling gereduceerd momentenvlak dx φ x x dφ ω dφ L - x L

Tweede stelling gereduceerd momentenvlak dφ = - dω / L –x Uit voorgaande: dφ = M/EI * dx De zakking is nu: dω = -M/EI * dx * (L-x)

Tweede stelling gereduceerd momentenvlak

1e en 2e stelling van het momentenvlak

Zwaartepunten - basisgevallen ½ h 7/10 h 2/3 h h h ½ h 1/3 h 3/10 h 1/3 b 2/3 b 1/4 b 3/4 b ½ b ½ b b b b A = b * h Rechthoek A = ½ *b * h Driehoek A = 1/3 *b * h Ex paraboolvlak

Zwaartepunten - basisgevallen 3/5 h R ½ D 3/4π R h 2/5 h R R 3/8 b 5/8 b D b 2R A = πD2 / 4 Circel A = 2/3 * b * h Half parabool A = πR2 / 2 Half circel

Uitkragende ligger met constant momentverloop Oppervlakte: Opp.(θ1) = M * L 1e stelling φB = φA + θ1 φB = φA + ML/EI. φB = ML/EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = - M * L * ½ L / EI ωB = - ML2 / EI φA = 0 A B L θ1 Mmax a = ½ L M-lijn Knikje (θ1) omhoog dan positieve hoek en negatieve zakking

Uitkragende ligger met puntlast op het einde F Mmax = - FL θ1 = ½ * -F* L * L / EI θ1 = -FL2 / 2EI 1e stelling φB = φA - θ1 φB = 0 - θ1 φB = - θ1 = -FL2 / 2 EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = 0 + θ1*a ωB = θ1*a ωB = ½ * F* L2 * 2/3L / EI ωB = FL3 / 3EI φA = 0 A B L Mmax θ1 a = 2/3 L M/EI-lijn Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek en positieve zakking

Uitkragende ligger met gelijkmatig verdeelde belasting Mmax = - ½ * qL * L θ1 = - 1/3 * ½ qL2 * L / EI θ1 = - 1/6 ql3 /EI 1e stelling φB = φA - θ1 φB = 0 - θ1 φB = - θ1 = - 1/6 ql3 / EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = 0 + θ1*a ωB = θ1*a ωB = 1/6 ql3 /EI * 3/4L / EI ωB = 3qL4 / 24 EI = ql4 / 8 EI q A B L Mmax θ1 a = 3/4 L M/EI-lijn Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek en positieve zakking

EINDE Docent: M.J.Roos