WIS21

Logaritmen Definitie Uit de definitie volgt: alog1=0 want a0=1 en a heet het grondtal; a>0 en a1 b>0 Uit de definitie volgt: alog1=0 want a0=1 en alogan=n want an=an

Meest gebruikt: grondtal 10: logb de 10 wordt niet vermeld. grondtal e (=2,7182818….): lnb (=elogb) ln: natuurlijke logaritme

Eigenschappen van logaritmen

maken opgaven 1, 2 en 3

logaritmische vergelijkingen les 2 logaritmische vergelijkingen

Logaritmische vergelijkingen Vergelijkingen waarin de logaritme van een onbekende voorkomt. voorbeeld: Oplossingsmethode: werk vergelijking om tot de vorm alogA=alogB, dan is: A=B. 

Omvormen grondtal met behulp van: Oplossing alleen mogelijk als logaritmen in vergelijking hetzelfde grondtal hebben. Omvormen grondtal met behulp van: stel alogb=x  b=ax voorbeeld: 3log6=log6/log3=0,77815/0,4771212=1,6309 3log6=ln6/ln3=1,79176/1,0986=1,6309

uitwerking voorbeeld: Kies één grondtal. Bijvoorbeeld 2: de vergelijking wordt: werk de 2 in de noemer weg:

Schrijf 4 als logaritme van 2: 4=2log24 De vergelijking wordt nu: De oplossingen zijn x1=-1, x2=16,83 en x3=-0,83.

Controleer de oplossingen door invullen in oorspronkelijke vergelijking: x1=-1 Voldoet niet, want log(0) bestaat niet x2=16,83 Voldoet niet, want log(negatief getal) kan niet. x3=-0,83 Dit antwoord voldoet wel, want logaritmes uit positieve getallen.

Maken opgave 4

definities en grafieken les 3 Functies definities en grafieken

Notatie: f:y=f(x) of f:x  f(x)   Definitie: De functie f:y=f(x) is de verzameling punten (x,y) waarvoor geldt y=f(x) en waarvoor bij elke x-waarde hoogstens één y-waarde hoort.

Principe Stel functie is: f:y=3x-4 bereken voor een aantal waarden van x de bijbehorende y: x -4 -2 2 4 6 8 y -16 -10 14 20

Teken de punten in het x,y-vlak en verbindt de losse punten door een vloeiende lijn.

Makkelijk in Excel.

Rechte lijn Lineaire functie: y=mx+b grafiek is rechte lijn. m heet de helling of richtingscoefficient lijnen met dezelfde m lopen evenwijdig m>0: rechte stijgt m<0: rechte daalt m=0: rechte loopt horizontaal (y=b) b=snijpunt met y-as b heet het intercept b=0: rechte gaat door (0,0) snijpunt met de x-as (y=0): x=-b/m

Maken opgaven 5,6 en 7

functies omvormen tot lineaire functies les 4 functies omvormen tot lineaire functies

Stel: y=e2t De grafiek hiervan is niet lineair: Bij metingen is het nodig de grafiek lineair te maken om de constante 2 te achterhalen.

Lineariseren Neem links en rechts de natuurlijke logaritme van y=e2t: lny=2t. Zet uit Y=lny tegen t: De helling hiervan is 2.

Lineariseren is een kwestie van proberen. Stel je hebt deze meetpunten: De grafiek ziet er zo uit t 1 2 3 4 5 6 7 y 20 45 80 125 180 245

Lijkt wel op een logaritmische functie. Neem van de y waarden de logaritme: (meteen al problemen met de 0: ln(0)= ERROR) Resultaat is niet-lineair.

Nu is het resultaat wel lineair: Probeer de wortel: Nu is het resultaat wel lineair: helling=15,7/7=2,24

De oorspronkelijke functie was dus y=5x2. Functie was y=ax2. wortel nemen: kennelijk is a=2,24 of a=5. De oorspronkelijke functie was dus y=5x2.

maken opgave 8

Goniometrische verhoudingen hoekmaten les 5 Goniometrische verhoudingen hoekmaten

Goniometrische verhoudingen In een driehoek met rechte hoek geldt: Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek AB'C'. de volgende verhoudingen zijn steeds gelijk:  A B C B' C' en

Definities voor de verhoudingen:  A B C B' C' Definities voor de verhoudingen:

relaties of Er zijn meer relaties.

Formules van Simpson Zie verder de sites: home.scarlet.be/~greetvrh/Word%20documenten/FormulariumGoniometrie.doc http://nl.wikipedia.org/wiki/Lijst_van_goniometrische_identiteiten

Voorbeeld opgave Gegeven: AB=6, =25º, =90º Gevraagd: AC en BC. Oplossing: Bekend zijn  en AB. Verhoudingen daarmee zijn: cos()=AB/AC  AC=AB/cos() tan()=BC/AB  BC=AB*tan() AC=6/0,9063077=6,6202 BC=6*0,4663076=2,7978  A B C  

Hoekmaten zestigdelige graden (º): DEG honderddelige graden: GRAD van een rechte hoek van (boogminuut) van (boogseconde) honderddelige graden: GRAD 1 grad = 0,01 van een rechte hoek

radialen: RAD Twee difinities: Goniometrische cirkel radiaal: Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan de straal gelijk is aan de lengte-eenheid. radiaal: Een hoek van 1 radiaal is een hoek waarvan de bijbehorende booglengte op de goniometrische cirkel gelijk is aan de lengte-eenheid.

Omrekenen Lengte van cirkelomtrek: 2r. dus als r=1: lengte is 2 360º=2 radialen 2 radialen=360º 1º=2/360 radialen 1 radialen=(360/2)º xº=x/180 radialen x radialen=(180x/)º

Voorbeeld opgave Gegeven: =15º23'45'' Gevraagd:  in radialen Oplossing: eerst alles omzetten naar graden: 45''=45/60'=0,75' (optellen bij 23') 23,75'=23,75/60º=0,3958333º (optellen bij 15º) omzetten naar radialen:

Maken opgaven 9 en 10

Goniometrische verhoudingen in de goniometrische cirkel les 6 Goniometrische verhoudingen in de goniometrische cirkel

sin In de goniometrische cirkel (r=1) + _ y>0 in bovenste helft en y<0 in onderste helft: Teken van de sinus: in cirkel  + _

cos In de goniometrische cirkel (r=1) + _ x>0 in rechter helft en x<0 in linker helft: Teken van de cosinus: in cirkel  + _

tan In de goniometrische cirkel (r=1) _ + y>0 in bovenste helft en y<0 in onderste helft: en x>0 in rechter helft en x<0 in linker helft: Teken van de tangens: in cirkel  + _

Teken van de hoek Tegen de wijzers van de klok in: positief. /2 +  2 3/2 Tegen de wijzers van de klok in: positief.

Teken van de hoek Met de wijzers van de klok in: negatief. -3/2  -2 - -2 -/2 Met de wijzers van de klok in: negatief.

relatie 0 = 2 = -2 /2 = /2-2 = -3/2 -/2 = -/2+2 = 3/2  +  - -2 -  2 3/2 -/2 0 = 2 = -2 /2 = /2-2 = -3/2 -/2 = -/2+2 = 3/2 algemeen: = +n.2 = -n.2

Op gele blad: tabel voor veel voorkomende hoeken  0 sin  0 cos  1  0 sin  0 cos  1 tan  0

Maken opgave 11

Goniometrische vergelijkingen les 7 Goniometrische vergelijkingen

Vergelijkingen van de vorm sinx=a Gegeven a Gevraagd x als sinx=a bepaal met rekenmachine of tabel de x wiskundig: x=arcsin(a) op rekenmachine: sin-1 in excel: =boogsin(a) de volledige oplossing is x=arcsin(a)+k.2 en x=-arcsin(a)+k.2 k kan positief, nul en negatief zijn

Vergelijkingen van de vorm cosx=a Gegeven a Gevraagd x als cosx=a bepaal met rekenmachine of tabel de x wiskundig: x=arccos(a) op rekenmachine: cos-1 in excel: =boogcos(a) de volledige oplossing is x=arccos(a)+k.2 en x=-arccos(a)+k.2 k kan positief, nul en negatief zijn

Vergelijkingen van de vorm tanx=a Gegeven a Gevraagd x als tanx=a bepaal met rekenmachine of tabel de x wiskundig: x=arctan(a) op rekenmachine: tan-1 in excel: =boogtan(a) de volledige oplossing is x=arctan(a)+k. k kan positief, nul en negatief zijn

Voorbeeld gegeven: sinx=0,52 gegeven is cosx=-0,6 volgens de tabel is x=/4 De volledige oplossing is : x=/4+k*2 en x=-/4+k*2=3/4+k*2 gegeven is cosx=-0,6 met rekenmachine: x=216,87 De volledige oplossing: x=+216,87+k*2 en x=-216,87+k*2

Grafiek van goniometrische functies Tekenen tussen x=-2 en x=+2 Maak gebruik van excel. maak de x-asverdeling voldoende fijn, zonder te overdrijven Excel geeft alleen uitkomsten tussen x=-/2 en x=+/2 voor boogfuncties!

Voorbeeld sin(x) met verschil tussen de hoeken van 30º.

Met sin(x) en cos(x) in één tekening:

Van 13 inleveren alle even opgaven of alle oneven opgaven Maken opgaven 12, 13 en 14 Van 13 inleveren alle even opgaven of alle oneven opgaven