ribBMC01c Beginnen met construeren Carport – Lesweek 02 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek / ROP Propadeuse, kernprogramma 1e kwartaal

Week 02 Theorie: Wet van Hooke Onderwerp: Sterkte, spanning, elasticiteit Opdracht: Bereken de in week 1 genoemde constructie op sterkte en bepaal de verlenging/verkorting van de onderdelen. Boek: F.Vink, hst. 10, 11, 12 en 13 + opgaven

Grafisch ontbinden van krachten Presentatie Hijsinstallatie Presentatie Windbok

Normaalkrachten Normaalkrachten Een normaalkracht is een inwendige kracht, druk- of trekkracht, die loodrecht werkt op het vlak van de doorsnede van de constructie. Verdeling normaalkrachten De trekkracht: De trekkracht wordt positief beschouwd De drukkracht: De drukkracht wordt negatief beschouwd

Normaalkrachten σ + σ = F / A Normaalkracht F veroorzaakt normaalspanningen σ + σ = F / A plaats

Sterkte en spanningen Bezwijksterkte (Fu) De uiterste weerstand die een constructie kan bieden noemen we de bezwijksterkte (Fu). Gebruiksbelasting (F) De belasting die een constructiedeel moet dragen noemen we de gebruiksbelasting F. Veiligheid Tussen de gebruiksbelasting F en de bezwijksterkte Fu moeten we voldoende afstand nemen. Dit is de veiligheid. Belastings- en materiaalfactor De veiligheid bestaat uit een belastingsfactor γf en een materiaalfactor γm

Belastingsfactor (γf) De belastingsfactor γf , deze is ingevoerd vanwege; 01. benaderingen in de berekeningstheorie 02. onvolkomenheden in de uitvoering 03. het aantal mensen dat slachtoffer kan worden 04. de materiele schade die tijdens de levensduur kan ontstaan. De rekenwaarde De rekenwaarde Fd van belasting is gelijk aan de belastingsfactor maal de gebruiksbelasting, Fd = γf x F. De rekenwaarde Fd veroorzaakt in de constructie spanningen σd in N/mm2, σd = Fd / A

Materiaalfactor (γm) De materiaalsterkte: De materiaalsterkte is de bezwijksterkte gedeeld door de oppervlakte van de dwarsdoorsnede, fu = Fu / A De materiaalfactor , deze is ingevoerd vanwege; spreiding in de materiaalsterkte fu door ongelijkmatigheden in het materiaal. De rekenwaarde van de materiaalsterkte fd (N/mm2) is gelijk aan de materiaalsterkte fu gedeeld door de materiaalfactor γm . fd = fu / γm

Unity check Nu moet gelden: De rekenwaarde van de belasting moet kleiner of gelijk zijn aan de rekenwaarde van de sterkte. F;s;d ≤ F;r;d (d=design=rekenwaarde, s=sollicitation=belasting, r=resistance=sterkte) Of voor de spanning: σd ≤ fd of σd / fd ≤ 1 (= UNITY CHECK) Op eenvoudige manier kunnen we nu de spanningen σ berekenen en pas na de materiaalkeuze toetsen we of de berekende spanning voldoet.

De toets op sterkte: Belasting < Sterkte Fs;d < Fr;d Fs;rep Fs;m Fs;d vermenigvuldig met f 5% van totaal oppervlak Fr;rep Fr;m Fr;d delen door m Belasting < Sterkte Fs;d < Fr;d Of : U.C. ≤ 1 met U.C. = Belasting / Sterkte

Toetsen op stijfheid Het toetsen of een constructie stijf genoeg is, gebeurt ook met de hiervoor genoemde gebruiksbelastingen. Het gaat immers om de werkelijke doorbuigingen van balken, vloeren of bruggen die bij normaal gebruik optreden. Stijfheidseisen zijn dikwijls bij lange of hoge constructies maatgevend. (Er kunnen grote vervormingen optreden die hinderlijk of schadelijk zijn voor de constructie lang voordat deze bezweken is.)

Onderverdeling spanningen drukspanning trekspanning schuifspanning buigspanning knik

Drukspanning Door een drukkracht ontstaan er drukspanningen. De drukspanning is gelijk aan de drukkracht gedeeld door de oppervlakte van de balkdoorsnede. σc = F / A

Drukspanning Voorbeeld 1: Gegeven: Op een balk wordt een drukkracht van 63 kN uitgeoefend. De balk heeft een dwarsdoorsnede van 9000 mm2 Gevraagd: De drukspanning σc (compression) ? Oplossing: σc = F / A σc = 63000 / 9000 = 7 N/mm2

Drukspanning Voorbeeld 2: Gegeven: De doorsnede A van een balk is 8000 mm2. De drukspanning is 7.5 N/mm2. Gevraagd: De drukkracht ? Oplossing: F = A * σc → 8000 * 7.5 = 60.000 N = 60 kN

Trekspanning Door een trekkracht ontstaan er trekspanningen. De trekspanning is gelijk aan de trekkracht gedeeld door de oppervlakte van de balkdoorsnede. σt = F / A

Trekspanning Voorbeeld 3: Gegeven: Op een balk wordt een trekkracht van 72 kN uitgeoefend. De balk heeft een dwarsdoorsnede van 8000 mm2 Gevraagd: De trekspanning σt (t = tension) ? Oplossing: σt = F / A → 72000/8000 = 9 N/mm2

Trekspanning Voorbeeld 4: Gegeven: De doorsnede van een balk is 9000 N/mm2. De trekspanning is 10 N/mm2. Gevraagd: De trekkracht ? Oplossing: F = A * σt → 9000 * 10 = 90.000 N = 90 kN

Schuifspanning (τ) Als een kracht F op vlak CDGF werkt, zal het bovenste blokje materiaal willen afschuifen over vlak BCDE In dit vlak ontstaat dan een gemiddelde schuifspanning.

Schuifspanning (τ) Door een schuifkracht ontstaan er schuifspanningen. De schuifspanning is gelijk aan de schuifkracht gedeeld door de afschuivende oppervlakte (= l * b) τ = F / A (τ is de gemiddelde schuifspanning (tau)) De schuifspanning waarbij nog juist geen breuk optreedt noemen we de schuifsterkte τB De schuifsterkte waarmee we de waarde van τ toetsen is fv fv = fu / γm

Schuifspanning (τ) Voorbeeld 5 Gegeven: Op een balk wordt een afschuifkracht van 20 kN uitgeoefend. De afschuivende oppervlakte A bedraagt 25000 mm2 Gevraagd: De gemiddelde schuifspanning ? Oplossing: τ = F / A → 20000 / 25000 = 0.8 N/mm2

Schuifspanning (τ) Voorbeeld 6: Gegeven: De afschuivende oppervlakte van een balk is 15000 mm2. De gemiddelde schuifspanning is 1.2 N/mm2. Gevraagd: De afschuifkracht ? Oplossing: F = A * τ → 15000 * 1.2 = 18 kN

Elasticiteit Een staaf met een lengte l kan onder de inwerking van een kracht langer (bij trek) of korter (bij druk) worden. Werkt een kracht op een staaf dan zal de lengteverandering groter zijn naarmate de staaf langer is.

Elasticiteit De lengteverandering is binnen bepaalde grenzen recht evenredig met de lengte van de staaf. De lengteverandering wordt aangegeven met de griekse letter Δ. Onder invloed van een trekkracht zal bij een staaflengte van: a. 1l de lengteverandering Δl bedragen b. 2l de lengteverandering 2Δl bedragen c. 3l de lengteverandering 3Δl bedragen d. Etc.

Elasticiteit F F F F = l l Δl F F F F = 2l 2l 2Δl

Elasticiteit Voorbeeld 7: Gegeven Onder invloed van een kracht F rekt een staaf van 1000 mm lengte 2 mm uit. Gevraagd: Wat zal de uitrekking zijn als de staaf 2000 mm is ? Oplossing: Δl = (2000 / 1000) * 2 = 4 mm

Elasticiteit Voorbeeld 7 Gegeven: Voor een staaf geldt dat bij een lengte van 1200 mm de lengteverandering 2 mm is. Gevraagd: De lengteverandering bij een lengte van 1800 mm ? Oplossing: Δl = (1800 / 1200) * 2 = 3 mm

Elasticiteit Behalve de lengte is ook de staafdoorsnede van invloed op de lengteverandering bij een inwerkende kracht F. Een grote kracht geeft dus een grotere lengteverandering bij een kleinere doorsnede Een kleinere kracht geeft een kleinere lengteverandering bij die zelfde doorsnede. Een lengteverandering is dus groter als de kracht groter en/of de doorsnede kleiner is.

Elasticiteit Toename lengteverandering bij gelijkblijvende spanning en een grotere kracht. F F F F = l l Δl 2F 2F 2F 2F = l l 2Δl

Elasticiteit Toename lengteverandering bij gelijkblijvende spanning en een kleinere doorsnede F F F F d=A = d=A l l Δl F F F F d=1/2A d=1/2A = l l 2Δl

Elasticiteit Nemen we σ = F / A hierbij in ogenschouw, dan kunnen we ook zeggen; Een lengteverandering is groter als de spanning groter is. Onder invloed van een kracht zal de spanning: a. σ de uitrekking Δl zijn b. 2σ de uitrekking 2Δl zijn c. 3σ de uitrekking 3Δl zijn d. Etc.

Elasticiteit - evenredigheidspanning Tot een bepaalde spanning (evenredigheidspanning) is de lengteverandering Δl recht evenredig met de optredende spanning. Boven de evenredigheidspanning neemt de lengteverandering meer toe dan de spanning toeneemt. Hierbij ontstaan ontoelaatbare vervormingen. Daarom moet in de praktijk de toelaatbare spanning vaak veel kleiner dan de evenredigheidspanning zijn.

Elasticiteitsmodulus (E) De lengteverandering is ook afhankelijk van het soort materiaal. De mate waarin het materiaal weerstand bied tegen een lengteverandering onder de inwerking van krachten noemt men de elasticiteit van het materiaal. De elasticiteit van een materiaal drukt men uit in de Elasticiteitsmodulus E.

Elasticiteitsmodulus (E) In de elasticiteitsmodulus van een materiaal zijn 2 factoren verwerkt; De verhouding tussen de lengteverandering en de oorspronkelijke lengte, oftewel de rek. ε (epsilon) 2. De optredende spanning σ, mits kleiner dan de evenredigheidspanning. De verlenging per lengte-eenheid noemt men dus rek (relatieve verlenging), aangeduid met ε. ε = ∆l / l

Elasticiteitsmodulus (E) Het verband tussen ε en σ, dus het verband tussen rek en spanning, is aangegeven door de wet van Hooke: E = σ / ε

Elasticiteitsmodulus (E) E is een rekengrootheid (geen echte spanning) die iets zegt over de aard van het materiaal. E in N/mm2. Als de elasticiteitsmodulus groot is, dan wil dit zeggen: a. Het materiaal is weinig rekbaar. b. Een grote spanning σ c. Een kleine rek ε Staal: E = 210.000 N/mm2

De Wet van Hooke In de formule E = σ / ε, kunnen we voor σ de formule F/A substitueren Voor ε kunnen we de formule Δl / l substitueren. We vinden dan: E = (F * l) / (Δl * A) Deze kunnen we ook schrijven als: Δl = (F * l) / (E * A) (de wet van Hooke)

Spannings/rekdiagram Sterk De lengteverandering is dus omgekeerd evenredig met de elasticiteitsmodulus. De wet van Hooke geldt alleen voor het gedeelte OP in het hiernaast weergegeven diagram. Stug Zwak Bros Taai Slap

Elasticiteitsmodulus Voorbeeld 8: Gegeven: Een drukkracht veroorzaakt in een kolom een lengteverandering van 4 mm. Gevraagd: Als de elasticiteitsmodulus 8x zo groot wordt, hoe groot bedraagt dan de lengteverandering ? Oplossing: De lengteverandering is omgekeerd evenredig met de Elasticiteitsmodulus. (wet van Hooke) De lengteverandering bedraagt dan: 4/8 = 0.5mm bedragen.

Elasticiteitsmodulus Voorbeeld 9: Gegeven: De elasticiteitsmodulus van staal; E = 210.000 N/mm2 Op een stalen staaf met een lengte van 3 meter en een doorsnede van 1 cm2 laat men een kracht van 14 kN werken. Gevraagd: De lengteverandering ? Oplossing: Oppervlakte = 1cm2=100mm2 Wet van Hooke Δl = 14000 * 3000 / 210000 * 100 = 2 mm

Lineaire uitzetting Een staaf zal langer worden bij hoge temperatuur en korter worden bij lagere temperatuur. Een temperatuursverandering geven we aan met: ΔT Voor een staaf geldt dat bij een bepaalde temperatuurverandering de lengteverandering groter zal zijn naarmate de staaf langer is.

Lineaire uitzetting Bij een temperatuursverandering zal bij: a. een lengte l de lengteverandering Δl zijn b. een lengte 2l de lengteverandering 2Δl zijn c. een lengte 3l de lengteverandering 3Δl zijn. d. Etc. Een temperatuurverandering van: a. ΔT geeft een lengteverandering Δl b. 2ΔT geeft een lengteverandering 2Δl c. Etc.

Lineaire uitzettingscoefficient Bij een temperatuursverandering geeft een lineaire uitzettingscoefficient: a. α een lengteverandering van Δl b. 2α een lengteverandering van 2Δl c. 3α een lengteverandering van 3Δl d. Etc.

Lineaire uitzettingscoefficient De lengteverandering is ook afhankelijk van het soort materiaal. De lineaire uitzettingscoefficient van een materiaal is de lengteverandering per eenheid van lengte per 1º C temperatuurverschil. De lineaire utzettingscoefficient is een rekengrootheid en wordt aangegeven met α. De eenheid is: m / (m * ºC) = 1/ºC. De lengteverandering Δl kan bij een temperatuursverandering ΔT dus bepaald worden met de formule: Δl = l * α * ΔT

Lineaire uitzettingscoefficient Voorbeeld 10 Gegeven: Een spoorrail is 15 m lang bij 0°C. Bij deze temperatuur zijn de voegen (ruimten tussen de raildelen) 6 mm breed. α = 0,000 012 /°C, E = 2,1 * 105 N/mm2 Gevraagd: Bij welke temperatuur zijn de voegen juist gesloten ? Hoe groot is de spanning in de rail bij 40°C ?

Lineaire uitzettingscoefficient Oplossing: Deel a: Δl = 6 – 0 = 6mm Formule: Δl = l * α * ΔT  ΔT = 6 / (15000 * 0,000 012 ΔT = 33,3 °C T = 0°C + 33,3 °C = 33,3 °C, hierbij is de raillengte 15006 mm

Lineaire uitzettingscoefficient Oplossing: Deel b: Formule: Δl = l * α * ΔT  Δl = 15000 * 0,000 012 * (40 – 0) = 7,2 mm De rail heeft maar een tussenruimte van 6 mm, hij kan dus niet verder uitzetten. Dit levert spanning op in het materiaal. De verkorting van de rail is dan 7,2 – 6 = 1,2 mm Wet van Hooke Δl = F * l / E * A  Δl = σ * l / E  1,2 = σ * 15006 / 2,1 * 105 N/mm2 σ = 16,8 N/mm2

EINDE Docent: M.J.Roos