Aad Goddijn (FIsme, Jcu) Snelle Vectoren Toegelicht practicum Aad Goddijn (FIsme, Jcu) Wiskunde D-dag 5 juni 2009

Wat volgt? Terugblik vectoren en kentallen Vectoren en beweging 1959 – 1965 – 2007 – 2008 Vectoren en beweging Practicum vectoren en hodograaf zonder kentallen, met hodograaf Practicum aardschollen schuiven De stelling van de Vliegende Staaf Inproductregel voor de afgeleide Nogmaals afrollen Geavanceerder voorbeeld De aarde ellipst om de zon, volgen Richard feynman Hoe verder?

Toelichting op het leerplan, februari 1959 Vraag: Is het geoorloofd de analytische meetkunde te behandelen met behulp van vectoren, zoals dat volgens de moderne opvatting geschiedt? Antwoord: Dit is stellig toegestaan; men bedenke echter dat de examenopgaven gebaseerd zullen zijn op toepassing van de traditionele methode.

Voor 1e jaars wiskunde, 1965

Dat sloeg aan! Sigma 4-5 V, 1979 20 blz. Introductie vectoren, zonder kentallen optelling (commutatief) scalaire vermenigvuldiging (associatief, 2* distributief) Lineaire (on)afhankelijkheid, etc. 8 blz. Vectoren en kentallen representanten t.o.v een basis uniciteit van de lineaire combinatie basisvectoren De auteurs hadden de New Math goed begrepen: Niet uitgaan van traditionale Euclidische meetkunde! Alles abstract opbouwen van arme structuur naar steeds rijkere structuur Maar ……

Norm, Inproduct en hoekbegrip: warboel bij Sigma Blz 7: Richting, vermenigvuldiging met scalair: ontleend aan voorkennis buiten vectorruimte,de ‘gewone’ rijke meetkunde. Tamelijk inconsequent …..

Hoekbegrip De opzet van de New Math was uiterlijk zichtbaar. Inhoudelijk klopte er in de schoolboeken weinig tot niets van.

MW, 2007, Wis D 1 Vwo 2 blz. Intro vectoren zonder kentallen Zwemmer over de rivier, tegenwind Aansluiting bij bekende (intuitief opgebouwde)meetkunde

Coördinaat is kental Scalaire  met kentallen uitgelegd (De nulvector heeft geen lengte ??)

Loodrechte stand Mooie aanzet naar het inproduct! Werkt voor hogere dimensies ook!

Hfst 3: inwendig product … (Inproduct was gedefinieerd: |a| . |b|. cos a Zo dadelijk een alternatief) Slordigheden (zetter?) Geen verband met voorgaande ?? ‘e’ is wel voorzichtig.

Inproduct en loodrechte stand

Gemengde opdrachten

Terugblik Wiskundige opbouw MW is eerlijker dan Sigma: geen schijn-diepgang. Pyramide echt niet triviaal! De theorie is goed te gebruiken. Hebben we iets moois ontdekt? Gemengde opdrachten: Statische stereometrie (er is een lang stuk verdieping) De zwemmer? Is die ooit aangekomen?

? Alternatief a Dit heet voortaan inproduct ( , ) GEVOLG: ( a, b ) = |a| . |b|. cos a a Dit heet voortaan inproduct ( , ) Wanneer is (?) minimaal? Loodrecht op lijn, Pythagoras. Of direct:

Uit module Complexe Stromen: eenheidswortels optellen (Wisselstroomschakelingen + complexe getallen) Uit de eindopdracht: Toon aan dat de n-de eenheidswortels samen 0 zijn

De coördinatisten falen (2007) Neem steeds twee tegenover elkaar liggende vectoren samen ????????? Kan alleen als n even is Als n niet even is: neem er 3 of 5 samen. ????????? Of 129? Kijk naar de y-coördinaten: vallen paarsgewijs weg tegen elkaar. x net zo …..

Jeroen zet ze kop aan staart (2007) 2008: ook met sommeren meetkundige rij

Uit module Complexe Stromen: ‘Afgeleiden’ sin en cos Hodograaf: alle snelheids-vectoren vanuit één punt. Gescheiden plaats en snelheidsdiagram

Bedoeling van het practicum: proefballon (Kennismaken met) vectoren zonder kentallen Smaakmaker voor andere vectoren dan de stereo-metrie ondersteuners Vectoren in diverse toepassingen: Kinematica, geofysica, sterrenkunde

Opgave 1: Construeer de Raaklijn in P aan de limaçon van Pascal

Snelheid en raken in de mail Hoera! Dat wil zeggen: het lijkt erop dat 14e gelukt is. Geruststellend dat ik de snelheidsvector inderdaad aan de baan van Z^2 + Z zag raken. Wat ik nu gemaakt/verbeterd heb, zijn de opdrachten 14e, 12, 13 en 8b. Het was even puzzelen, maar ik vergeet nooit meer wat de Limacon van Blaise Pascal is.

Hodograaf van de limaçon Z1 paramatriseert beide krommen.

De fameuze cycloïde Construeer de raaklijn in P en de hodograaf! Onderbouw enkele eigenschappen van de kormme en de snelheidsverdeling.

Buitensporige vectoren: Trochoïde Het wiel van een rijdende trein. De cirkel van P is groter dan de rol cirkel Er zijn altijd punten die achteruit bewegen. Het lijkt of de baan van P de rails loodrecht doorsnijdt.

Trochoïde en hodograaf

Aardschollen schuiven draaiend over elkaar

Verschil beweging draaiende schollen Vectorvelden: Rood: schol A Groen: schol B Zwart: verschil A-B

Draaingen op de bol als vectoren Draaingen op de bol als vectoren. As C geeft het verschil tussen A en B aan.

Mager bewijs In groote: h/b = vc’/vc h/c = vb’/vb b/c = vc/vb Dus:

Analytisch bewijs: (let op de fluxie-puntjes) Vaste lengte BC; dus Productregel voor inproducten toepassen: Dus: De projecties van de snelheden van B en C op B-C zijn gelijk.

“Ja, allicht!” – bewijs: Als het niet zo is, wordt de staaf korter of langer.

Nog een!! Een moderne Natuurkundige over de twee wiskundige methoden

Richard Feynman Motion of the planets around the sun (13/3/1964) Meetkundig, synthetisch bewijs voor ellipsvorm planeetbanen (Newton deed het ook meetkundig)

Hodograaf van planeet, (wis+natuur)kundig Zwaartekrachtwet Perkenwet

Hodograaf van ellips, wiskundig

Slotwoord Richard Feynman: It is not easy to use the geometrical method to discover things. It is very difficult, but the elegance of the demonstrations after the discoveries are made is really very great. The power of the analytic method is that it is much easier to discover things than to prove things. But not in any degree of elegance. It's a lot of dirty paper, with x's and y's and crossed out cancellations and so on.

Slotvraag Voorafgegaan door een eerdere verkenning van snelheidsdiagrammen in samenhang met banen, lijkt het goed vertaalbaar naar een Wiskunde D hoofdstuk voor VWO 6. Laat wie zin heeft en kans ziet mee te denken en iets uit te proberen, zich melden!