De FFT spectrumanalyzer Algemeen blokschema. signaalconditionering en enti-aliasing A/D conversie Geheugen µ-processor display W. De Geest - Analoge meettechniek 1

De FFT spectrumanalyzer Fourierreeks continue signalen. Voorstelling in het tijdsdomein van het periodiek signaal fT(t). complexe vorm Fourierreeks trigonometrische vorm Fourierreeks A0/2= C(o) = DC- componente. W. De Geest - Analoge meettechniek 2

De FFT spectrumanalyzer Fourierreeks continue signalen. Voorstelling in het tijdsdomein van het periodiek signaal fT(t). Complex amplitudespectrum van een periodiek signaal. W. De Geest - Analoge meettechniek 3

De FFT spectrumanalyzer Fourierreeks voor continue signalen. Voorstelling in het tijdsdomein van het periodiek signaal fT(t). f A0 A1 A2 A3 A4 An Amplitudespectrum van een periodiek signaal. W. De Geest - Analoge meettechniek 4

De FFT spectrumanalyzer Fourierintegraal voor continue signalen. Voorstelling in het tijdsdomein van het periodiek signaal fT(t). Overgang naar een niet-periodiek signaal f(t) : T   W. De Geest - Analoge meettechniek 5

De FFT spectrumanalyzer Fourierintegraal voor continue signalen. Overgang naar een niet-periodiek signaal f(t) : T   W. De Geest - Analoge meettechniek 6

De FFT spectrumanalyzer Fourierintegraal voor continue signalen. Overgang naar een niet-periodiek signaal f(t) : T   W. De Geest - Analoge meettechniek 7

De FFT spectrumanalyzer Fourierintegraal voor continue signalen. Overgang naar een niet-periodiek signaal f(t) : T   W. De Geest - Analoge meettechniek 8

De FFT spectrumanalyzer Fourierintegraal voor continue signalen.  Besluiten:  F ()/ T is de omhullende van het amplitudespectrum van fT(t). Verband tussen F()/ T en C(n) W. De Geest - Analoge meettechniek 9

De FFT spectrumanalyzer Fourierintegraal voor continue signalen.  Besluiten: 2. Een periodiek signaal heeft een discreet amplitudespectrum (dimensie = V). Een niet-periodiek signaal heeft een continu amplitudedichtheidspectrum (dimensie: Vs of V/ Hz). W. De Geest - Analoge meettechniek 10

De FFT spectrumanalyzer Fourierintegraal voor continue signalen.  Besluiten: 3. Verandering van de frequentie of de periode van fT (t) verandert de afstand tussen de spectrale lijnen. De amplitude verandert met een factor 1/T. Zolang men de pulsvorm echter niet wijzigt, blijft F() ongewijzigd (en dus ook C(n).T).  W. De Geest - Analoge meettechniek 11

De FFT spectrumanalyzer Fourierintegraal voor continue signalen.  Besluiten: 4. F() kan men niet meten met een selectieve voltmeter of spectrum analyzer; de frequentie componenten zijn bij een éénmalige puls immers niet permanent aanwezig. Om F() van een pulsvormig signaal te meten, kan men de puls periodiek herhalen. De omhullende vanC(n) is dan gelijk aan F()/ T W. De Geest - Analoge meettechniek 12

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. f(t) een continu signaal f(nTs) een reeks meetwaarden N = aantal metingen Ts het interval tussen twee meetwaarden NTs = de meetduur W. De Geest - Analoge meettechniek 13

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. Periodieke herhaling met periode NTs W. De Geest - Analoge meettechniek 14

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. W. De Geest - Analoge meettechniek 15

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. W. De Geest - Analoge meettechniek 16

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. N-punts DFT W. De Geest - Analoge meettechniek 17

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. Eigenschap : C(k) = C(k+pN) met p = geheel getal Bewijs : W. De Geest - Analoge meettechniek 18

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. C(kf) 1 2 N-1 N k N/2 f fs fs/2 -fs/2 Fundamenteel interval f C(0) C(-1) C(-2) C(2) C(1) -N/2 -1 -2 W. De Geest - Analoge meettechniek 19

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. het is een discreet spectrum C(kf) 1 2 N-1 N k N/2 f fs fs/2 -fs/2 Fundamenteel interval f C(0) C(-1) C(-2) C(2) C(1) -N/2 -1 -2 W. De Geest - Analoge meettechniek 20

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. het is een periodiek spectrum C(kf) 1 2 N-1 N k N/2 f fs fs/2 -fs/2 Fundamenteel interval f C(0) C(-1) C(-2) C(2) C(1) -N/2 -1 -2 W. De Geest - Analoge meettechniek 21

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. Ook het bemonsteringstheorema is hier van toepassing: om het spectrum zonder vouwvervorming (aliasing) te kunnen berekenen moet fs minstens het dubbele zijn van de hoogste frequentiecomponente fM van het signaal f(t). C(kf) 1 2 N-1 N k N/2 f fs fs/2 -fs/2 Fundamenteel interval f C(0) C(-1) C(-2) C(2) C(1) -N/2 -1 -2 W. De Geest - Analoge meettechniek 22

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. De omhullende van C(k) is een voorstelling van de Fourier getransformeerde |F()/NTs| van het niet-periodieke continue signaal f(t) in het fundamenteel interval -fs/2 <f < +fs/2. C(kf) 1 2 N-1 N k N/2 f fs fs/2 -fs/2 Fundamenteel interval f C(0) C(-1) C(-2) C(2) C(1) -N/2 -1 -2 W. De Geest - Analoge meettechniek 23

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. Het aantal spectrale lijnen binnen dit interval is gelijk aan 2fs/ = fs NTs = N. C(kf) 1 2 N-1 N k N/2 f fs fs/2 -fs/2 Fundamenteel interval f C(0) C(-1) C(-2) C(2) C(1) -N/2 -1 -2 W. De Geest - Analoge meettechniek 24

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. Opmerkingen : f(t) is meestal als een reële functie te beschouwen, bijv. als het verloop van een spanning v(t) in functie van de tijd. Voor een reële functie f(t) is F(-) = F*() en dus F(-) = F() . Het volstaat dus F() voor te stellen in het interval 0 tot fs/2 of m.a.w. C(k) te berekenen voor k = 0,1,.....N/2. W. De Geest - Analoge meettechniek 25

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. Opmerkingen : f = 1/NTs = de afstand tussen twee spectrale lijnen = spectrale resolutie Hoe groter de meetduur NTs, hoe hoger de resolutie. f is tevens de laagste frequentie die men kan observeren (verschillend van 0 Hz). W. De Geest - Analoge meettechniek 26

De FFT spectrumanalyzer 2. De N-punts discrete Fouriertransformatie. Opmerkingen : Het aantal meetwaarden N zal praktisch als volgt bepaald worden: fM  fs (> 2 fM). f  N =fs/f. Voorbeeld : fM = 100 Hz, f = 0,1 Hz. Nemen we fs = 250 Hz  N = 250 Hz/0.1 Hz = 2500  NTs = 1/f = 10 s ! W. De Geest - Analoge meettechniek 27

De FFT spectrumanalyzer Overzicht. W. De Geest - Analoge meettechniek 28

De FFT spectrumanalyzer Overzicht. W. De Geest - Analoge meettechniek 29

De FFT spectrumanalyzer Overzicht. W. De Geest - Analoge meettechniek 30

De FFT spectrumanalyzer Overzicht. W. De Geest - Analoge meettechniek 31

De FFT spectrumanalyzer 3. Invloed van de eindige meetduur op het berekende spectrum. W. De Geest - Analoge meettechniek 32

De FFT spectrumanalyzer 3. Invloed van de eindige meetduur op het berekende spectrum. W. De Geest - Analoge meettechniek 33

De FFT spectrumanalyzer 3. Invloed van de eindige meetduur op het berekende spectrum. W. De Geest - Analoge meettechniek 34

De FFT spectrumanalyzer 3. Invloed van de eindige meetduur op het berekende spectrum. Gevolgen: “Uitsmeren" van het spectrum Amplitudefout: 3,92 dB W. De Geest - Analoge meettechniek 35

De FFT spectrumanalyzer 3. Invloed van de eindige meetduur op het berekende spectrum. Andere zienswijze: W. De Geest - Analoge meettechniek 36

De FFT spectrumanalyzer 4. De Hanning, Kaiser-Bessel en Flat Top-vensterfunctie W. De Geest - Analoge meettechniek 37

De FFT spectrumanalyzer 4. De Hanning, Kaiser-Bessel en Flat Top-vensterfunctie W. De Geest - Analoge meettechniek 38

De FFT spectrumanalyzer 4. De Hanning, Kaiser-Bessel en Flat Top-vensterfunctie W. De Geest - Analoge meettechniek 39

De FFT spectrumanalyzer 4. De Hanning, Kaiser-Bessel en Flat Top-vensterfunctie W. De Geest - Analoge meettechniek 40