Wiskunde en Woestijnen De Dynamica van Patronen: Arjen Doelman CWI & UvA

Wat zijn patronen?

Zeer verschillende ordes van grootte...

(On)regelmatig

Patroonvorming vindt plaats in natuurlijke processen die gemodelleerd kunnen worden met differentiaalvergelijkingen. Een patroon verandert (bijna per definitie) in de ruimte en in de tijd. [De zand-/windgolfjes: -- de hoogte H van een golfje wordt (wiskundig) beschreven door een functie van twee plaatsvariabelen (x & y); -- de ligging verandert als functie van de tijdsvariabele t. Dus: H = H(x,y,t).] Wiskundig gezien zijn patronen dan ook oplossingen van `partiёle differentiaalvergelijkingen’ (PDVs). JARGON (en zeer grofweg): Een PDV is een `oneindig- dimensionaal dynamisch systeem’. [Q: Wat is dat???]

Als voorbeeld van het type vragen en methodes die een rol spelen in het vakgebied `pattern formation’ beschouwen we een expliciete en relevante toepassing: `vegetatiepatronen’ en hun rol in het proces van `verwoestijning’. We gaan met name in op een aspect dat er binnen de wiskunde soms/vaak bekaaid vanaf komt: de modelvorming. Motivatie: Alleen met een goede kennis van het model kan je de vragen vanuit de toepassing vertalen in een wiskundige probleemstelling. En andersom: alleen in dat geval kan je de wiskundige inzichten correct interpreteren. Opm. `Toegepaste vragen’ geven (zeer) vaak aanleiding tot het ontwikkelen van nieuwe wiskunde.

Enige achtergrond: Woestijngebieden in de wereld

Verwoestijning in Afrika (als voorbeeld)

WISKUNDE? Een `catastrofale hysterese-loop’ numerieke simulaties

`Spotted patterns’ als indicatie voor verwoestijning Niger, Africa; schaal: tientallen meters Negev, Isreal; schaal: tientallen centimeters

Pearson 1993 `Complex patterns in a simple system’ (D=0.5)

De Gray-Scott vergelijking is vooral bestudeerd voor het fenomeen van `self-replicating spots’ [Pearson, Swinney et al. 1994] Self-replicating vegetatie-patronen?? chemische reactie numerieke simulatie Negev, Isreal

[Pearson, Swinney et al. 1994] `Volcanoes’ en `Rings’ Negev, Isreal

Opmerking: Het is nu verleidelijk om bij elk vegetatie-patroon een soortgelijk patroon te zoeken dat optreedt in simulaties van de Gray-Scott vergelijking (voor zekere (A,B,D))... Maar is dit ook wiskunde/wetenschap?? Probeer de patronen wiskundig te begrijpen.

Wat voor oplossingen zijn er mogelijk? De PDV wordt een gewone DV: Ga op zoek naar stationaire/stilstaande `patronen’

woestijn begroeiing

woestijn begroeiing Restrictie tot 1 ruimtelijke dimensie Om de vegetatiepatronen te begrijpen bestudeer je eerst de homocliene bouwstenen, de `oases’.

Stabiliteit Vraag: Wat gebeurt er als je een homocliene oase iets verstoord? - Groeit deze verstoring? Dan is de oase instabiel, en kan deze in de praktijk niet worden waargenomen. - Dempt de verstoring uit? Dan is de oase stabiel, en kan inderdaad gezien worden als bouwsteen voor de meer complexe (en realistische) patronen.

Stabiliteit

CONCLUSIE: -De homocliene oases zijn instabiel, en kunnen dus niet worden waargenomen. Sterker nog: -De ruimtelijk periodieke patronen zijn allemaal instabiel. (Hoe toon je dat aan?) Met andere woorden: -De woestijn (W=0) is het enige stabiele patroon in de gereduceerde vergelijking! WAT NU?

De reductie naar het versimpelde model was een te grote stap! Bestudeer de `echte’ Gray-Scott vergelijking. Conclusie: Afhankelijk van de parameters kunnen de homocliene oases en de `bijna homocliene’ ruimtelijk periodieke patronen WEL stabiel zijn. begroeiing woestijn Opm: `nieuwe’ wiskunde! [D., Gardner, Kaper] (2002). (water)

Het splitsingsproces is door velen uitgebreid bestudeerd, maar nog steeds niet helemaal begrepen. Het is `ontdekt’ in het Gray-Scott systeem en komt voor in klasses van reactie-diffusie vergelijkingen. NIEUWE WISKUNDE?

De `vulkaan/ring-patronen’ zijn wiskundig vrij goed begrepen [Morgan & Kaper, 2004] Voorbeeld: de overgang van een `vulkaan’ naar een multi- spot patroon.

TERUG NAAR DE WOESTIJN: Wat kan de wiskunde doen? Vind een fundamentele verklaring - kwalitatief en zo mogelijk kwantitatief - voor het optreden van de hysterese loop onafhankelijk van het preciese model en de gekozen parameters. Nieuw researchproject Geertje Hek, Sjors van der Stelt & AD met Max Rietkerk & zijn groep (Aardwetenschappen, Utrecht).

DE WISSELWERKING: De vragen/waarnemingen van `de aardwetenschappers’ kunnen al snel niet met bestaande wiskunde worden beantwoord... Hoe `nuttig’ is de interactie? Multi-stabiliteit & sommige patterns `overleven’ langer dan andere... De dynamica van patronen aan de rand van een woestijn... begroeiing Beide voorbeelden staan sterk in de belangstelling als wiskundige problemen in het vakgebied `pattern formation’. Beide voorbeelden zijn uiterst relevant (`Kun je aan het karakter van een patroon zien hoe groot de `overlevingskans’ is?’)