BEWIJSPATRONEN EN LOGICA UvA open college, 15 october 2003 Hoe Wiskunde Werkt Johan van Benthem http://staff.science.uva.nl/~johan/ Institute for Logic, Language and Computation ILLC

Geschiedenis van bewijzen Euclides’ “Elementen” (300 v.Chr.): meetkundige axioma's, bewijzen, stellingen, constructies Open historische vraag: Waarom gingen Griekse wiskundigen eigenlijk bewijzen? Patronen in andere gebieden. Rekenkunde: natuurlijke inductie (Bernoulli RUG,  1700) Hilbert: "Grundlagen der Geometrie" ( 1900) volledige axiomatizering van de meetkunde Komen er wel nieuwe bewijsfiguren bij? kandidaat: Cantor's diagonaalargument

Euclides' Elementen Boek I, Stelling 1: Constructie van een gelijkzijdige driehoek met gegeven zijde: C A B Gebruikte axioma's: definitie cirkel, bestaan van cirkels, twee punten bepalen een lijn.

Is Euclides sluitend? Is dit bewijs sluitend? Eeuwen geaccepteerd: Grieken, Arabieren; maar niet door Duitsers… Extra axioma nodig voor bestaan snijpunt. Extra axioma bijvoorbeeld dat van Pasch: A D E! B C

Axioma's en bewijsregels Systematische opzet van de "Elementen" Definities: bijv. parallelle lijnen: nooit snijden Axioma's: bijv. elk punt buiten een gegeven lijn heeft precies één parallelle lijn: 'Algemene begrippen': bijv. 'optellen van gelijken van gelijken geeft gelijken' Presentatie: gegeven, stelling, bewijs. Stellingen versus constructies Verdere stellingen : I.47 = 'Pons Asinorum' 'Er zijn hoogstens 5 regelmatige veelvlakken'

Toenemende precizie Meetkunde: Parallellenpostulaat waar? 'Niet-Euclidische' meetkundes: neem ¬P5 aan: werken met alleen consistentie, minder intuïtie, Hilbert's "Grundlagen der Geometrie" (1899) Abstracte analyse: Euler, Cauchy, Weierstrasz: reparatie van fouten in bewijzen met continue functies, oneindige reeksen: de resulterende abstracte theorieën hebben meer 'tucht' nodig Paradoxen verzamelingenleer: Cantor, Russell 'Hilbert's Programma' (1900): consistentie der wiskunde bewijzen – met wiskundige middelen...

Logica: redeneerpatronen Geldige en ongeldige redeneerpatronen: AB, ¬A dus B AB, A dus B AB, ¬A dus ¬B AB, ¬B dus ¬A 'Bewijs uit het ongerijmde': stel dat lijst wel aftelling was van R, dan volgt tegenspraak. 'Iemand houdt van iedereen, dus Iedereen wordt door iemand bemind'. Omgekeerd?

Wiskundige taal, nogmaals Redeneerpatronen zien we in een taal: weer die van onze Week 1, met opbouw Basisbeweringen s=t, s<t, st, enz. Boolese operaties: , , , ,  Kwantoren: ,  Logische systemen beschrijven geldigheid en ongeldigheid voor vele soorten uitdrukkingen

Equationele logica Simpelste algebraische rekenregels Stel bijv. x = y+2 en y = 2–x. Dan x = (2–x)+2 = –x+4, zodat 2x = 4. Dus x = 2, en dan y = 2–2 = 0. Speciale feiten over getallen plus regels als: x = y, y = z  x = z x = y, z = u  x+z = y+u Equationele logica: veel gebruikt in automatische stellingbewijzers

Propositielogica Redeneerregels als eerder genoemd AB, ¬A dus B AB, ¬B dus ¬A Systeem: bijv. geldige equivalenties als (A  (BC))  ((AB)  (AC)) (AB)  (A  B) Zelf weer wiskundig te bestuderen – bijv. analogieën tussen geldigheden voor ,  Herinnering:  is inclusief: 'en/of'!

Propositielogisch voorbeeld 1 Jan komt als Marie of Anne komt (MÚ A) ® J 2 Anne komt als Marie niet komt ¬M ® A 3 Als Anne komt, dan komt Jan niet A ® ¬J Als Anne komt, dan komt Marie of Anne, dus komt Jan (met 1). Maar met 3: Jan komt niet: tegenspraak. Dus Anne komt niet. Met 2 dan: Marie komt wel. Dan komt dus Marie of Anne, en weer met 1: Jan komt. Redeneerstappen hier precies te bepalen: zelfde als voor wiskundig bewijzen!

Nationale Wetenschapsquiz 2001 Jantje zegt dat Pietje liegt. Pietje zegt dat Klaasje liegt. Klaasje zegt dat Jantje en Pietje liegen. Wie liegt er wel, en wie niet? J « ¬P, P « ¬K, K « (¬J & ¬P) Oplossing: J en K onwaar, P waar. Vind zelf de bewijsstappen!

Kwantorlogica Geldige patronen: x f(x)  f(t) voor elk object t x y Rxy  y x Rxy x y Rxy  y x Rxy x (PxQx)  x Px  x Qx Ongeldig bijv. y x Rxy  x y Rxy x (PxQx)  x Px  x Qx Lastiger !x f(x) 'er is precies één x met f' Geldt !x !y Rxy  !y !x Rxy ?

Russell's paradox Niemand scheert enkel de niet zelf-scheerders ¬$x "y (Sxy « ¬ Syy) Stel dat wel $x "y (Sxy « ¬ Syy). Zeg, r is zo'n x. Daarvoor geldt dan: "y (Sry « ¬ Syy). Dus dan zeker voor r zelf: Srr « ¬ Srr P « ¬P tegenspraak in propositielogica! Dus is het gestelde weerlegd. Zelfde logisch patroon (Cantor): de machts-verzameling P(x) is nooit bijectief met x.

Formele wiskundige theorieën Wiskundig bewijzen in de praktijk: mengsel axioma's en logische stappen. Nodig: axiomatizering van de theorie. Bijv. formele rekenkunde, inductie-axioma (f(0)  x (f(x) f(x+1))  xf(x) Verzamelingenleer, axioma's die bestaan van verzamelingen {x | f(x) } garanderen. Formele bewijzen voor stellingen als eindige ketens van kleine logische bewijsstappen.

Een logische calculus waar te maken onwaar te maken AÚ B, ¬A • B AÚ B • B, A A • B, A B • B, A sluit sluit Gesloten tableau: geen tegenvoorbeeld, gegeven gevolgtrekking is geldig

Tableaus, de regels ¬ links ¬A • ¬ rechts • ¬A • A A • Ú links AÚ B • Ú rechts • AÚ B A • B • • A, B

Tegenvoorbeelden Een open tak leidt tot een tegenvoorbeeld: de gegeven gevolgtrekking is ongeldig AÚ B • B Ú ¬A AÚ B • B, ¬A AÚ B, A • B A, A • B B, A • B open sluit tegenvb: A = waar (1), B = onwaar (0).

Toepassingen tableaus Alle genoemde vragen en puzzles: zie uitgebreide collegetekst op home page! Natuurlijk: alleen voor propositielogica. Kennelijk ook computer-implementeerbaar. Bron van complexiteit: groei van de boom.

Correctheid en volledigheid Geldigheid gevolgtrekking P1, .., Pk  C in elke situatie met P1, .., Pk waar is C waar Correctheid van een bewijssysteem: elke bewijsbare gevolgtrekking is geldig. Volledigheid van een bewijssysteem: Elke geldige gevolgtrekking is bewijsbaar. 'The whole truth, and nothing but the truth' Veel logische systemen correct en volledig.

Computer-bewijzen Logische bewijssystemen zijn volledig expliciet, en dus in programmeerbaar Automatisch bewijzen wiskundige stellingen Gebruik voor alle taken die zijn op te vatten als een logisch afleidingsproces: Redeneren van experts (rechters, artsen), Ontleden van natuurlijke taal 'Logisch programmeren' (PROLOG)

In de rechtszaal Drie personen verdacht bij de moord. (1) A was aanwezig of B A Ú B (2) A was aanwezig of C A Ú C (3) C is een maatje van A A ® C (4) incompabiliteit (C  A) ® ¬B De aanklager: "A was aanwezig!" De advocaat: "Nee, dat hoeft niet." Verschil in bewijslast: bewijs van A versus consistentie van de 4 gegevens en A. Wie kan winnen? Argumentatie ook spel!

Tableaus voor rechters A Ú B , A Ú C, A® C, (CA)® ¬B • A A , AÚ C, A® C, (CA)® ¬B • A sluit B , AÚ C, A® C, (CA)® ¬B • A B , A , A® C, (CA)® ¬B • A sluit B , C, A® C, (CA)® ¬B • A B , C, !, (CA)® ¬B • A B , C, ¬B • A  B , C • A, B sluit B , C • A, C  A B , C • A, C sluit B , C • A, C OPEN!

'Gewoon' redeneren Meer conclusies dan strikt logisch mag. Default aannamen: 'Als ik de trein neem, kom ik in Amsterdam Ik neem de trein. Dus ik kom in Amsterdam' Verzwegen aanname: 'de NS functioneert' A volgt niet geldig uit T en (T&N) ® A. Er kan blijken dat N. Extra mechanisme in menselijk redeneren: herziening van eerdere conclusies.

Psychologie van redeneren Wason Kaart Test (1970): conditionele beweringen anders dan in logica (?) Als er een klinker op de ene kant staat, dan een oneven getal op de andere kant. Welke kaarten moet u omdraaien om na te gaan of deze regel opgaat in de rij kaarten A K 4 7 Mensen: bias tegen negatie en weerleggen Redeneren onderwerp-afhankelijk (taak beter met regels voor drinken en minderjarigheid)

Redeneren 'in beeld' Deze analyse was sterk taal/symboolgericht Veel van Robbert's voorbeelden zijn visueel Meetkunde: rol van plaatjes en diagrammen Oude discussie: hebben plaatjes bewijskracht? Grote vraag in zowel informatica als cognitie: wat is visuele informatie, en evtl. rechtstreeks visueel 'rekenen'? Hoe integreren we dat dan met talige informatie en redeneren?

Logica in driedubbelrol Analyse van correct wiskundig bewijzen  Doel 1: grondslagen wiskundige theorieën Logische systemen zijn ook computer-im-plementeerbaar: mechanisch bewijzen, AI  Doel 2: creëer een virtuele redeneerpraktijk! Maar is eigenlijk ook alledaags redeneren  Doel 3: beschrijven van ons echte redeneren Wiskundige analyse blijkt mogelijk van mechanismen die daarbij een rol spelen.